流體力學(xué)第五章II

流體力學(xué)

（第五章流體動力學(xué)的基本原理）同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院目錄前言第一章緒論第二章流體的物理性質(zhì)及作用力第三章流體靜力學(xué)第四章流體運動學(xué)第五章流體動力學(xué)的基本原理第六章理想流體的無旋流動和有旋流動第七章相似原理和量綱分析第八章粘性流體力學(xué)第九章氣體動力學(xué)第一節(jié)理想流體的運動微分方程（1）根據(jù)牛頓第二定律，可寫出沿X軸的運動微分方程：用流體微團(tuán)的質(zhì)量通除上式，得：同理：一、歐拉運動微分方程第一節(jié)理想流體的運動微分方程（2）3、上述方程變成流體靜力學(xué)中的歐拉平衡微分方程。2、

此時的理想流體歐拉運動微分方程變成定常不可壓縮理想流體歐拉運動微分方程。第一節(jié)理想流體的運動微分方程（3）討論：

1、上式為非定常不可壓縮理想流體歐拉運動微分方程。第一節(jié)理想流體的運動微分方程（4）二、蘭姆運動微分方程

理想流體的基本方程—歐拉運動為微分方程，適用于理想流體的任何流動。但是，在該方程中只有表示移動線速度，而沒有表示旋轉(zhuǎn)運動的角速度，因此，方程顯示不出流動是有旋還是無旋。為此，將歐拉運動微分方程做變換：在歐拉運動方程第一式中加減

第一節(jié)理想流體的運動微分方程（5）上述蘭姆運動微分方程中只要流動便為無旋，如果其中一個不等于零，流動為有旋。第五章流體動力學(xué)的基本原理第一節(jié)理想流體的運動微分方程第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組1、理想、不可壓縮流體三元流動基本微分方程組第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組2、理想、不可壓縮流體二元流動的基本微分方程組第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組3、理想、不可壓縮流體一元流動的基本方程曲線坐標(biāo)下的一元流動微分方程重力場中的一元流動微分方程第五章流體動力學(xué)的基本原理第一節(jié)理想流體的運動微分方程第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題1、理想流體運動方程組的封閉問題a、理想流體的任何流動必須滿足連續(xù)性方程和運動微分方程組，且方程組要封閉。b、連續(xù)性方程和運動微分方程組共計四個方程。在這四個方程中發(fā)現(xiàn)有五個未知數(shù)，方程組不封閉需增添封閉方程。c、封閉方程：對于不可壓縮流體，密度等于常數(shù)，它的封閉方程為：對于正壓流體，密度僅是壓強(qiáng)的函數(shù)，它的封閉方程為：

1）運動學(xué)條件——理想流體沒有粘性，流體質(zhì)點的速度與物面只能相切，即流體質(zhì)點速度不可能有穿越物體表面的法向分量。A、初始條件

——初始條件是對不定常流動問題提出的，即給出某一時刻流場的中各點的所有運動參數(shù)值，方程組的解必須滿足這一初始條件。第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題2、理想流體運動方程組的定解條件問題B、邊界條件2）動力學(xué)條件——指邊界表面上的流體壓力條件。根據(jù)作用于反作用定律，即流場邊界面處流體的壓力與固體壁面所受的壓力相等。第五章流體動力學(xué)的基本原理第一節(jié)理想流體的運動微分方程第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用關(guān)于歐拉運動微分方程積分最常見的形式有兩種：1、定常無旋流動的歐拉積分

2、定常有旋流動的伯努利積分第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程一、歐拉積分式和伯努利積分式伯努利方程積分前提條件：1、流動是定常的3、流體不可壓縮，流體密度僅與壓強(qiáng)有關(guān)，為正壓流體。2、作用在流體上的質(zhì)量力有勢第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程A）歐拉積分（定常無旋流動）第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程此式說明，對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常無旋流動時，流場中任一點的單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強(qiáng)勢能和動能的總和保持不變，但可相互轉(zhuǎn)換。第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程B）伯努利積分（定常有旋流動）對有旋流動積分，必須沿某條流線積分。第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程此式說明，對于非粘性的不可壓縮流體和可壓縮的正壓流體，在有勢的質(zhì)量力作用下作定常有旋流動時，沿同一條流線上各點單位質(zhì)量流體質(zhì)量力的位勢能、壓強(qiáng)勢能和動能的總和保持常數(shù)值，但可相互轉(zhuǎn)換。一般說來，在不同的流線上，該常數(shù)值是不同的。如果質(zhì)量力是重力，則。對于不可壓縮流體，則第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程C）伯努利方程在重力作用下，不可壓縮理想流體作定常流動時，對于有旋流動，沿同一條流線單位質(zhì)量流體的位勢能、壓強(qiáng)勢能和動能的總和保持不變，但可轉(zhuǎn)換；對于無旋流動，在整個流場中機(jī)械能保持不變，但相互可以轉(zhuǎn)換。第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程二、伯努利方程的意義A、伯努利方程的幾何意義伯努利方程中每一項的量綱與長度單位相同，表示單位重力液體所具有的水頭。位置水頭測壓管水頭速度水頭總水頭第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程B、伯努利方程的能量意義位置勢能壓力位能動能總機(jī)械能伯努利方程中每一項表示單位重量流體具有的能量總位能第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程三、相對運動中的伯努利方程在相對坐標(biāo)系中：流體質(zhì)點的運動速度為相對速度流體上的質(zhì)量力除重力外，還有離心力的作用質(zhì)量力：第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程四、非定常有旋流動中伯努利積分第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程上式為不可壓縮流體非定常流動瞬刻間眼微小流束的伯努利方程第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程伯努利方程表達(dá)了沿流線壓強(qiáng)和速度的變化規(guī)律?，F(xiàn)在來討論垂直于流線方向的壓強(qiáng)和速度變化是如何變化的。根據(jù)牛頓第二定律，列出M點微元體的力平衡方程：由于：一、速度沿流線主法線的變化四、沿流線主法線的速度和壓力變化規(guī)律第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程如果伯努利常數(shù)對彎曲流場中所有流線的值都相等，則：或者：(b)(a)由a、b得：積分之：第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程二、壓強(qiáng)沿流線主法線的變化代入積分，得：曲線流動：直線流動：不計重力的直線流動：(c)(c)中令第五章流體動力學(xué)的基本原理第一節(jié)理想流體的運動微分方程第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用控制體的定義：控制體是指流場中某一確定的空間區(qū)域，區(qū)域的周界為控制面?？刂企w的形狀可根據(jù)流體流動情況和邊界位置任意選定，一旦選定之后，控制體的形狀和位置相對坐標(biāo)系固定不變。第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程

系統(tǒng)的定義：系統(tǒng)為一團(tuán)流體質(zhì)點的集合。系統(tǒng)所包含的流體具有確定的質(zhì)量，而系統(tǒng)的表面通常在流動的情況下是不斷地變形的。第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程流體系統(tǒng)所具有的物理量對時間的隨體導(dǎo)數(shù)：第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程或第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程

上式為流體系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的隨體導(dǎo)數(shù)，輸運公式。系統(tǒng)內(nèi)所具有的某種物理量對時間的隨體導(dǎo)數(shù)也是由兩部分組成的：

當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)，是控制體內(nèi)物理量總量的時間變化率：遷移導(dǎo)數(shù)，是單位時間流進(jìn)和流出控制體的某種物理量的差值?；蛟诙ǔＡ鲃訔l件下，整個系統(tǒng)內(nèi)部流體所具有的某種物理量的變化率只與通過控制面的流動有關(guān)，而不必知道系統(tǒng)內(nèi)部流動的詳細(xì)情況。定常流動條件下，

則有

第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程根據(jù)輸運公式式中代表單位質(zhì)量流體，

則系統(tǒng)內(nèi)流體總質(zhì)量。

根據(jù)流體系統(tǒng)的總質(zhì)量不會隨時間發(fā)生變化的質(zhì)量守恒定律有積分形式的連續(xù)性方程A、積分形式的連續(xù)性方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程非定常流動情況下：即單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加或減少等于同時間內(nèi)通過控制面流入或流出的凈流體質(zhì)量。如果控制體內(nèi)的流體質(zhì)量不變，則必然同一時間內(nèi)流入與流出控制體的流體質(zhì)量相等。在定場流動條件下，控制體內(nèi)的流體質(zhì)量不隨時間變化，通過控制面的流體質(zhì)量通量等于零。

取控制體為包含管壁與任意兩個有效截面構(gòu)成的流管，由于不可能有流體流過壁面，故得：

定常流動條件下：第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程B、動量方程

式中

代表單位質(zhì)量流體的動量，則為流體系統(tǒng)的動量，它為矢量。流體系統(tǒng)的隨體導(dǎo)數(shù)為：根據(jù)動量定理：流體系統(tǒng)動量的時間變化率等于作用在流體系統(tǒng)上的外力的矢量和。根據(jù)輸運公式第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程式中：為單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力，為沿外法線方向作用在上的表面應(yīng)力。由于時刻流體系統(tǒng)與控制體重合，故上式可寫成：右端——表示作用在流體系統(tǒng)上的所有外力的矢量和。左端第一項——是控制體內(nèi)流體動量隨時間變化而產(chǎn)生的力，它反映流體運動的非定常性左端第二項——是單位時間內(nèi)流體流入和流出控制體的動量之差，它表示流入動量與流出動量不等所產(chǎn)生的力。積分形式的動量方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程定常流動條件：定常流動條件下，控制體內(nèi)質(zhì)量力與控制面上的表面力的主矢量之和應(yīng)等于單位時間通過控制體表面的流體動量通量的主矢量，而與控制體內(nèi)部的流動狀態(tài)無關(guān)。第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程C、動量矩方程根據(jù)動量矩定理：流體系統(tǒng)動量矩的時間變化率等于作用在流體系統(tǒng)上的外力矩的矢量和，即：

代表單位質(zhì)量流體的動量矩，則為流體系統(tǒng)的動量矩，它的隨體導(dǎo)數(shù)為：代入上式，得：積分形式的動量矩方程根據(jù)輸運公式第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程定常流動條件下：左端第一項等于零，上式可寫成：定常流動條件下積分形式的動量矩方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程

根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)換定律，流體系統(tǒng)中能量的時間變化率應(yīng)等于單位時間質(zhì)量力和表面力對系統(tǒng)所做的功加上單位時間與系統(tǒng)交換的熱量。單位質(zhì)量流體的能量，則

流體系統(tǒng)的總能量根據(jù)式D、能量方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程對于定比熱的完全氣體：

重力作用下的一維絕熱流：

將方程右端中的表面應(yīng)力分解為垂直于表面的法向應(yīng)力

和相切于表面的切向應(yīng)力

第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程對于一維管道流動：在整個控制面上的切向應(yīng)力功率項為零

得下式：

在定常條件下：

由于在管壁上

，上式只需對在流入、流出截面上積分。

在

流出截面上

，在

流出截面上

重力場中的一維絕能定常流積分形式的能量方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程討論：1、控制面上切向應(yīng)力做功等于零，并不意味流體內(nèi)部的切向應(yīng)力不做功2、控制體內(nèi)粘性流體間只要有相對運動，切向應(yīng)力的摩擦功將導(dǎo)致流體的機(jī)械能損失。3、流體的機(jī)械能損失將轉(zhuǎn)化為熱，在與外界物熱量交換時，這種熱使流體的溫度上升，內(nèi)能提高。第五章流體動力學(xué)的基本原理第一節(jié)理想流體的運動微分方程第二節(jié)理想不可壓縮流體運動基本方程組第三節(jié)理想流體運動微分方程組的封閉和定解問題第四節(jié)理想流體運動微分方程的積分——伯努利方程第五節(jié)流體動力學(xué)的積分方程第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用1）小孔出流問題：已知:圖示一敞口貯水箱,孔與液面的垂直距離為h(淹深).設(shè)水位保持不變.求：(1)出流速度v(2)出流流量Q小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng)已知:圖示一敞口貯水箱,孔與液面的垂直距離為h(淹深).設(shè)水位保持不變.

(1)設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件.解：求：(1)出流速度v(2)出流流量Q從自由液面上任選一點1畫一條流線到小孔2，并列伯努利方程(a)

小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng)討論1：(b)式稱為托里拆里(E．Tomcelli,1644)公式,形式上與初始速度為零的自由落體運動一樣.(b)式也適用于水箱側(cè)壁平行于液面的狹縫出流。液面的速度可近似取為零v1=0，液面和孔口外均為大氣壓強(qiáng)p1=p2=0(表壓)，由(a)式可得(b)

(2)在小孔出口,發(fā)生縮頸效應(yīng).設(shè)縮頸處的截面積為Ae,縮頸系數(shù)ε

(c)

小孔出流量(d)

小孔出流：托里拆里公式及縮頸效應(yīng)討論2：上述各式均只適用于小孔情況(孔直徑d≤0.1h),對大孔口(d>0.1h)應(yīng)考慮速度不均勻分布的影響。收縮系數(shù)ε與孔口邊緣狀況有關(guān)：實際孔口出流應(yīng)乘上一修正系數(shù)k

<1

(e)

上式中μ=kε,稱為流量修正系數(shù)，由實驗測定。

內(nèi)伸管ε=0.5,流線型圓弧邊ε=1.0.銳角邊ε=0.61,伯努利方程的應(yīng)用2）畢托測速管已知:設(shè)畢托管正前方的流速保持為v,靜壓強(qiáng)為p,流體密度為ρ,U

形管中液體密度ρm

.

求：用液位差Δh表示流速v畢托測速管已知:設(shè)畢托管正前方的流速保持為v,靜壓強(qiáng)為p,流體密度為ρ,U形管中 液體密度ρm.求：用液位差Δh表示流速v(a)

AOB線是一條流線(常稱為零流線),

沿流線AO段列伯努利方程設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件。解：(b)

端點O,v0=0,稱為駐點(或滯止點),p0稱為駐點壓強(qiáng).由于zA=z0,可得

畢托測速管稱為動壓強(qiáng),p0稱為總壓強(qiáng)AB的位置差可忽略(c)因vB=v,由上式pB=p.在U形管內(nèi)列靜力學(xué)關(guān)系式

由(c),(d)式可得k稱為畢托管系數(shù)。由(e)式可得(d)(e)伯努利方程的應(yīng)用3）文特里管流量計已知:文特里管如圖所示求：管內(nèi)流量Q文特里流量計：一維平均流動伯努利方程已知:文特里管如圖所示求：管內(nèi)流量Q設(shè)流動符合不可壓縮無粘性流體定常流動條件，截面為A1、A2，平均速度為V1、V2，流體密度為ρ.設(shè)解：由一維平均流動伯努利方程移項可得(b)(a)文特里流量計：一維平均流動伯努利方程A1、A2截面上為緩變流，壓強(qiáng)分布規(guī)律與U形管內(nèi)靜止流體一樣，可得

(3),(5)位于等壓面上,p3=p5，由壓強(qiáng)公式

及(c)(d)將上兩式代入(d)式可得

(e)文特里流量計：一維平均流動伯努利方程將(c)、(e)式代入(b)式，整理后可得討論：當(dāng)ρ、ρm確定后,Q與Δh的關(guān)系僅取決于文德利管的面積比A1/A2，且與管子的傾斜角θ無關(guān).A1、A2截面之間存在收縮段急變流并不影響應(yīng)用伯努利方程。(f)由連續(xù)性方程

代入(f)式,整理后可得大管的平均速度為上式中μ稱為流速系數(shù)，文特里管的流量公式為

動量方程的應(yīng)用第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用動量方程的應(yīng)用1）彎曲噴管受力分析已知:設(shè)固定的收縮管的前半部向下彎曲,偏轉(zhuǎn)角為θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水噴入大氣，忽略重力作用。求：(1)水流對噴管的作用力F的表達(dá)式

(2)若θ=30°,求水流對噴管的作用力

彎曲噴管受力分析：壓強(qiáng)合力的影響已知:設(shè)固定的收縮管的前半部向下彎曲,偏轉(zhuǎn)角為θ,A0=0.00636m2,Q=0.02m3/s,d0=9cm,d3=2cm。出口端水噴入大氣，忽略重力作用，求：(1)水流對噴管的作用力F的表達(dá)式(2)若θ=30°,求水流對噴管的作用力

解：1.只包含水流的控制體2.建立如圖所示坐標(biāo)系oxy。3.由一維不可壓縮流體連續(xù)性方程4.由伯努利方程因p3=0,p0=395332.85pa5.由一維定常流動動量方程設(shè)水對噴管的作用力F如圖所示。本例中對控制體的合外力包括噴管對水流的反作用力－F和壓強(qiáng)合力。作用在控制面上的壓強(qiáng)用表壓強(qiáng)表示，本例中入口截面壓強(qiáng)為p0，方向沿x軸正向；出口截面壓強(qiáng)為零：(1)F的表達(dá)式為(2)設(shè)θ=30°,F在x,y方向的分量式為壓強(qiáng)合力動量變化討論：(1)一般可不必考慮大氣壓強(qiáng)作用，控制面上壓強(qiáng)用表壓強(qiáng)即可。(2)力F的方向可任意設(shè)定，計算出的數(shù)值為正說明假設(shè)方向正確。若欲求固定噴管的力，該力通過噴管直接作用在水流上，與本例F大小相等，方向相反。(3)從計算結(jié)果來看,噴管受力中壓強(qiáng)占主要成分,流體加速造成的動量變化引起的力只占次要成分.當(dāng)θ角改變時,壓強(qiáng)合力保持不變,僅動量變化引起力的改變,且占的比例始終很小.如在Fx中動量變化占的比例在θ=83.62°時為零,在θ=180°時為最大值,占25%.動量方程的應(yīng)用2）主動脈弓流動已知:圖示人主動脈弓,條件及所取控制體CV均前例相同,設(shè)血液的密度為ρ=1055kg/m3

求：從控制體凈流出的動量流量主動脈弓流動：多個一維出入口動量方程已知:圖示人主動脈弓,條件及所取控制體CV均與例B4.2.1相同,設(shè)血液 的密度為ρ=1055kg/m3

解：建立坐標(biāo)系oxy如圖所示求：從控制體凈流出的動量流量主動脈弓流動：多個一維出入口動量方程討論：計算結(jié)果表明從控制體凈流出的動量流量很小，這說明血流對主動脈弓壁的沖擊力很小。Δ(mV)y=ρQ1(0.11V2cos16°+0.07V3cos6°+0.04V4cos23°-0.78V5-V1)

=0.1055(0.11×11.6×0.9613+0.07×18.2×0.9945+0.04×8×0.9205

-0.78×24.8-20.4)×10-2

=-0.039N

Δ(mV)x=ρQ1(－0.11V2sin16°+0.07V3sin6°+0.04V4sin23°)=0.1055(-0.11×11.6×0.2756+0.07×18.2×0.1045+0.04×8×0.3907)×10-2凈流出控制體的動量流量的x、y坐標(biāo)分量為

=-1×10–4N

第六節(jié)伯努利方程、動量方程、動量矩方程的應(yīng)用動量矩方程的應(yīng)用已知:一小型混流離心泵如圖。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm,n

=4000轉(zhuǎn)/分，。動量矩方程的應(yīng)用CV1）混流式離心泵求：(1)輸入軸矩Ts(2)輸入軸功率

求：(1)輸入軸矩Ts混流式離心泵：固定控制體動量矩方程

已知:一小型混流離心泵如圖。d1=30mm，d2=100mm，b=10mm, n=4000轉(zhuǎn)/分，=3m/s。(2)輸入軸功率

解：取包圍整個葉輪的固定控制體CV，忽略體積力和表面力。設(shè)流動是定常的，由連續(xù)性方程可得CV混流式離心泵：固定控制體動量矩方程

Vθ1=0,由歐拉渦輪機(jī)方程輸入功率為

葉輪旋轉(zhuǎn)角速度為

ω=2πn/60=2π×4000/60=418.88(1/s)

出口切向速度為

Vθ2=ωR2=ωd2/2=418.88×0.1/2=20.94(m/s)

動量矩方程的應(yīng)用2）灑水器已知:灑水器示意圖。R=0.15m,噴口A=40mm2,θ=30°,Q=120