數(shù)值分析誤差

科學(xué)和工程計(jì)算第一章緒論福州大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院教材及參考資料清華大學(xué)出版社《科學(xué)和工程計(jì)算基礎(chǔ)》

施妙根顧麗珍編著清華大學(xué)出版社《數(shù)值分析》

李慶揚(yáng)王能超易大義編數(shù)值分析的學(xué)科別名1.1數(shù)值分析研究對(duì)象與特點(diǎn)計(jì)算方法科學(xué)與工程計(jì)算1.1數(shù)值分析研究對(duì)象與特點(diǎn)

應(yīng)用實(shí)例湖水在夏天會(huì)出現(xiàn)分層現(xiàn)象，接近湖面溫度較高，越往下溫度變低，這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對(duì)流和混合過程，是的下層水域缺氧，導(dǎo)致水生魚類的死亡。如果把水溫看成深度的函數(shù)T(x)，有某個(gè)湖的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：環(huán)境工程師希望：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)能求出T(x)。1.1數(shù)值分析研究對(duì)象與特點(diǎn)什么是數(shù)值分析“數(shù)值分析”就是研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法。數(shù)值算法的構(gòu)造算法的理論分析計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機(jī)計(jì)算數(shù)值分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算計(jì)算機(jī)近似解1.1數(shù)值分析研究對(duì)象與特點(diǎn)計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算和簡(jiǎn)單的函數(shù)計(jì)算1.數(shù)值代數(shù):求解線性和非線性方程的解法,分直接方法和間接方法。2.插值和數(shù)值逼近。3.數(shù)值微分和數(shù)值積分。4.常微分方程和偏微分方程數(shù)值解法。1.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差的基本理論1用計(jì)算機(jī)進(jìn)行實(shí)際問題的數(shù)值計(jì)算時(shí),往往求得的是問題的近似解,都存在誤差誤差來源與分類在建立數(shù)學(xué)模型過程中,要將復(fù)雜的現(xiàn)象抽象歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對(duì)問題作一些簡(jiǎn)化,因此和實(shí)際問題有一定的區(qū)別.—模型誤差在建模和具體運(yùn)算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測(cè)量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有觀測(cè)誤差誤差來源與分類如:若將前若干項(xiàng)的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項(xiàng)都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差。Taylor展開誤差來源與分類機(jī)器字長有限—舍入誤差由于計(jì)算機(jī)的字長有限,只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算,超過的位數(shù)按一定規(guī)則舍入,產(chǎn)生“舍入誤差”.誤差來源與分類小結(jié):模型誤差.觀測(cè)誤差不是數(shù)值分析討論的內(nèi)容,計(jì)算方法主要研究截?cái)嗾`差和舍入誤差在計(jì)算過程中的傳播和對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響,以提高計(jì)算的精度.2誤差是不可避免的,既要允許誤差,又要控制誤差.要重視誤差分析,分析誤差的來源,誤差的傳播及對(duì)誤差作出估計(jì)1.2數(shù)值計(jì)算的誤差誤差的基本理論據(jù)說，美軍1910年的一次部隊(duì)的命令傳遞是這樣的:營長對(duì)值班軍官:明晚大約8點(diǎn)鐘左右，哈雷彗星將可能在這個(gè)地區(qū)看到，這種彗星每隔76年才能看見一次。命令所有士兵著野戰(zhàn)服在操場(chǎng)上集合，我將向他們解釋這一罕見的現(xiàn)象。如果下雨的話，就在禮堂集合，我為他們放一部有關(guān)彗星的影片。值班軍官對(duì)連長:根據(jù)營長的命令，明晚8點(diǎn)哈雷彗星將在操場(chǎng)上空出現(xiàn)。如果下雨的話，就讓士兵穿著野戰(zhàn)服列隊(duì)前往禮堂，這一罕見的現(xiàn)象將在那里出現(xiàn)。連長對(duì)排長:根據(jù)營長的命令，明晚8點(diǎn)，非凡的哈雷彗星將身穿野戰(zhàn)服在禮堂中出現(xiàn)。如果操場(chǎng)上下雨，營長將下達(dá)另一個(gè)命令，這種命令每隔76年才會(huì)出現(xiàn)一次。排長對(duì)班長:明晚8點(diǎn)，營長將帶著哈雷彗星在禮堂中出現(xiàn)，這是每隔76年才有的事。如果下雨的話，營長將命令彗星穿上野戰(zhàn)服到操場(chǎng)上去。班長對(duì)士兵:在明晚8點(diǎn)下雨的時(shí)候，著名的76歲哈雷將軍將在營長的陪同下身著野戰(zhàn)服，開著他那“彗星”牌汽車，經(jīng)過操場(chǎng)前往禮堂。2.傳播與積累/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來了？！NYBJ以上是一個(gè)病態(tài)問題

/*ill-posedproblem*/關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學(xué)家去頭痛吧！蝴蝶效應(yīng)是氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出來的。其大意為：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。其原因在于：蝴蝶翅膀的運(yùn)動(dòng)，導(dǎo)致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并引起微弱氣流的產(chǎn)生，而微弱氣流的產(chǎn)生又會(huì)引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應(yīng)的變化，由此引起連鎖反映，最終導(dǎo)致其他系統(tǒng)的極大變化。此效應(yīng)說明，事物發(fā)展的結(jié)果，對(duì)初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會(huì)引起結(jié)果的極大差異。

例：計(jì)算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增走勢(shì)。可見初始的小擾動(dòng)公式二：注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇∪?/p>

Wejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。誤差與有效數(shù)字絕對(duì)誤差/*Absoluteerror*/定義1.

Heyisn’titsimple?Ohyeah?ThentellmetheabsoluteerrorofOops!絕對(duì)誤差限或誤差限,或且誤差限的大小還不能完全表示近似值的好壞.注：e*理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負(fù)。

e*>0不唯一，當(dāng)然e*越小越具有參考價(jià)值。顯然Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.哪個(gè)更精確呢?定義2.

relativeerrorNowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?Don’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?絕對(duì)誤差限相對(duì)誤差限往往未知代替相對(duì)誤差代替相對(duì)誤差限條件是較小,這是因?yàn)锳mathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain."Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"注：從的定義可見，實(shí)際上被偷換成了，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？嚴(yán)格的說法是，與是否反映了同一數(shù)量級(jí)的誤差？因此是的平方項(xiàng)集,所以可以忽略不計(jì)!例.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對(duì)誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個(gè)單位有效數(shù)字有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字只有4位有效數(shù)字定義2.有效數(shù)字是0到9中的一個(gè)數(shù)字。那么注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！定理1.證明:定理說明，有效位數(shù)越多，相對(duì)誤差限越小§2ErrorandSignificantDigits

例：為使的相對(duì)誤差小于0.001%,至少應(yīng)取幾位有效數(shù)字？解：假設(shè)*取到n

位有效數(shù)字，則其相對(duì)誤差上限為要保證其相對(duì)誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應(yīng)取*=3.14159。例3.解:則有定理3,相對(duì)誤差滿足即應(yīng)取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過0.1%.問題：對(duì)于y=f(x)，若用x*

取代x，將對(duì)y

產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheorem=f’()(x*x)x*與x非常接近時(shí)，可認(rèn)為f’()

f’(x*)，則有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f’(x*)|倍。故稱|f’(x*)|為放大因子

/*amplificationfactor*/

或

絕對(duì)條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)相對(duì)誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱f在該點(diǎn)是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。在數(shù)值運(yùn)算中，參加運(yùn)算的數(shù)若有誤差，那么一定會(huì)影響到計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性.數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)例4已測(cè)得某場(chǎng)地長l的值為寬d的值為已知試求面積的絕對(duì)誤差限與相對(duì)誤差限？解：1.3.2避免誤差危害的若干原則1.四則運(yùn)算中的穩(wěn)定性問題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計(jì)算機(jī)的位數(shù)引起假如作一個(gè)有效數(shù)字為4位的連加運(yùn)算而如果將小數(shù)放在前面計(jì)算在作連加時(shí),為防止大數(shù)吃小數(shù),應(yīng)從小到大進(jìn)行相加,如此,精度將得到適當(dāng)改善.當(dāng)然也可采取別的方法.解方程解:由中學(xué)知識(shí)韋達(dá)定理可知,方程的精確解為而如果在字長為8,基底為10的計(jì)算機(jī)上利用求根公式機(jī)器吃了因此在計(jì)算機(jī)上上式是解二次方程的數(shù)值公式求

的小正根.

方程的兩根為

只有一位有效數(shù)字小正根為避免兩相近數(shù)相減可改用

(2)作減法時(shí)應(yīng)避免相近數(shù)相減兩個(gè)相近的數(shù)相減,會(huì)使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失在算法設(shè)計(jì)中,若可能出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減,則改變計(jì)算公式,如使用三角變換、有理化等等例：a