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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下圖為一個(gè)正四面體的側(cè)面展開圖,為的中點(diǎn),則在原正四面體中,直線與直線所成角的余弦值為()A. B.C. D.2.在中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且.若,的面積為,則()A.5 B. C.4 D.163.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象()A.向右平移個(gè)單位 B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位4.已知,則()A. B. C. D.5.已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn),且,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.6.函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則a的值為()A.3 B.-3 C.2 D.-27.已知函數(shù),,若對(duì)任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.8.已知四棱錐的底面為矩形,底面,點(diǎn)在線段上,以為直徑的圓過點(diǎn).若,則的面積的最小值為()A.9 B.7 C. D.9.如圖,在中,點(diǎn)是的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn),若,,則()A.1 B. C.2 D.310.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.11.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局發(fā)布的數(shù)據(jù),2019年11月全國CPI(居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)),同比上漲4.5%,CPI上漲的主要因素是豬肉價(jià)格的上漲,豬肉加上其他畜肉影響CPI上漲3.27個(gè)百分點(diǎn).下圖是2019年11月CPI一籃子商品權(quán)重,根據(jù)該圖,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.CPI一籃子商品中所占權(quán)重最大的是居住B.CPI一籃子商品中吃穿住所占權(quán)重超過50%C.豬肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為0.18%12.已知,若,則等于()A.3 B.4 C.5 D.6二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知,,且,若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.14.關(guān)于函數(shù)有下列四個(gè)命題:①函數(shù)在上是增函數(shù);②函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱;③不存在斜率小于且與函數(shù)的圖象相切的直線;④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不存在極小值.其中正確的命題有______.(寫出所有正確命題的序號(hào))15.某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位,當(dāng)它的底面半徑和高的比值為______.時(shí),可使得所用材料最省.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)分別為的內(nèi)角的對(duì)邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí),求的周長.18.(12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)實(shí)數(shù)為的最小值,若實(shí)數(shù),,滿足,求的最小值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,過的直線與曲線相交于,兩點(diǎn).(1)若的斜率為2,求的極坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;(2)求的值.20.(12分)已知函數(shù)().(1)討論的單調(diào)性;(2)若對(duì),恒成立,求的取值范圍.21.(12分)已知在多面體中,平面平面,且四邊形為正方形,且//,,,點(diǎn),分別是,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(m為參數(shù)),以坐標(biāo)點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+)=1.(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程;(2)已知點(diǎn)M(2,0),若直線l與曲線C相交于P、Q兩點(diǎn),求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】

將正四面體的展開圖還原為空間幾何體,三點(diǎn)重合,記作,取中點(diǎn),連接,即為與直線所成的角,表示出三角形的三條邊長,用余弦定理即可求得.【詳解】將展開的正四面體折疊,可得原正四面體如下圖所示,其中三點(diǎn)重合,記作:則為中點(diǎn),取中點(diǎn),連接,設(shè)正四面體的棱長均為,由中位線定理可得且,所以即為與直線所成的角,,由余弦定理可得,所以直線與直線所成角的余弦值為,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角,將展開圖折疊成空間幾何體,余弦定理解三角形的應(yīng)用,屬于中檔題.2.C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運(yùn)用,屬于中檔題.3.D【解析】

直接根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移規(guī)則得出正確的結(jié)論即可;【詳解】解:函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象平移的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

利用誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】,本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.5.A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù),根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意,得,故,故,,,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查推理論證能力,屬基礎(chǔ)題.6.A【解析】

求出,對(duì)分類討論,求出單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn),結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征,即可求解.【詳解】,若,,在單調(diào)遞增,且,在不存在零點(diǎn);若,,在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查分類討論思想,熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7.C【解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn),并求得,根據(jù)當(dāng)時(shí)可得的值域;由函數(shù)在上單調(diào)遞減可得的值域,結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系,即可求得的取值范圍.【詳解】依題意,則,當(dāng)時(shí),,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),;而函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,則只需,故,解得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.8.C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定,根據(jù)勾股定理,得到之間的等量關(guān)系,再用表示出的面積,利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè),,則.因?yàn)槠矫妫矫?,所?又,,所以平面,則.易知,.在中,,即,化簡(jiǎn)得.在中,,.所以.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng),時(shí)等號(hào)成立,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用,考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,涉及線面垂直的判定和性質(zhì),屬中檔題.9.C【解析】

連接AO,因?yàn)镺為BC中點(diǎn),可由平行四邊形法則得,再將其用,表示.由M、O、N三點(diǎn)共線可知,其表達(dá)式中的系數(shù)和,即可求出的值.【詳解】連接AO,由O為BC中點(diǎn)可得,,、、三點(diǎn)共線,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算,由三點(diǎn)共線求參數(shù)的問題,熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.10.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.11.D【解析】

A.從第一個(gè)圖觀察居住占23%,與其他比較即可.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判斷.C.食品占19.9%,再看第二個(gè)圖,分清2.5%是在CPI一籃子商品中,還是在食品中即可.D.易知豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%.【詳解】A.CPI一籃子商品中居住占23%,所占權(quán)重最大的,故正確.B.CPI一籃子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,權(quán)重超過50%,故正確.C.食品占中19.9%,分解后后可知豬肉是占在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.5%,故正確.D.豬肉與其他畜肉在CPI一籃子商品中所占權(quán)重約為2.1%+2.5%=4.6%,故錯(cuò)誤.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查統(tǒng)計(jì)圖的識(shí)別與應(yīng)用,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】

先求出,再由,利用向量數(shù)量積等于0,從而求得.【詳解】由題可知,因?yàn)?,所以有,得,故選:C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)向量的問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量的減法坐標(biāo)運(yùn)算公式,向量垂直的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題目.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(-4,2)【解析】試題分析:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以考點(diǎn):基本不等式求最值14.①②③【解析】

由單調(diào)性、對(duì)稱性概念、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】函數(shù)的定義域是,由于,在上遞增,∴函數(shù)在上是遞增,①正確;,∴函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱,②正確;,時(shí)取等號(hào),∴③正確;,設(shè),則,顯然是即的極小值點(diǎn),④錯(cuò)誤.故答案為:①②③.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與極值,解題時(shí)按照相關(guān)概念判斷即可,屬于中檔題.15.【解析】

設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導(dǎo)數(shù)求出最值,從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),取得最小值,即材料最省,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫出表面積的表示式,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.16.【解析】解:由題意可知:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理,將,化角為邊,即可求出,再利用正弦定理即可求出;(2)根據(jù),選擇,所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時(shí),最大,結(jié)合(1)中條件,即可求出最大時(shí),對(duì)應(yīng)的的值,再根據(jù)余弦定理求出邊,進(jìn)而得到的周長.【詳解】(1)由,得,即.因?yàn)?,所?由,得.(2)因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立.因?yàn)榈拿娣e.所以當(dāng)時(shí),的面積取得最大值,此時(shí),則,所以的周長為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形,涉及到基本不等式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.18.(1);(2)【解析】

(1)首先通過對(duì)絕對(duì)值內(nèi)式子符號(hào)的討論,將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式組,再分別解各不等式組,最后求各不等式組解集的并集,得到所求不等式的解集;(2)首先確定m的值,然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?,即恒成立,所以恒成立由單調(diào)性可知當(dāng)時(shí),有最大值為4,即;(2)由(1)知,,由柯西不等式知所以,即的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí),等號(hào)成立【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,柯西不等式及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19.(1):,:;(2)【解析】

(1)根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線的直角坐標(biāo)方程,并轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程,利用,將曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程.(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程,結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義以及根與系數(shù)關(guān)系,求得的值.【詳解】(1)的直角坐標(biāo)方程為,即,則的極坐標(biāo)方程為.曲線的普通方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),為的傾斜角),代入曲線的普通方程,得.設(shè),對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,,所以,在的兩側(cè).則.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),考查參數(shù)方程化為普通方程,考查直線參數(shù)方程,考查直線參數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.20.(1)①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增;(2).【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)函數(shù),,對(duì)討論,得導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得原函數(shù)的單調(diào)性;(2)法一:由得,分別運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)(),的單調(diào)性,和其函數(shù)的最值,可得,可得的范圍;法二:由得,化為令(),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得的取值范圍.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋?,①?dāng)時(shí),由得,得,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;②當(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增;(2)法一:由得,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,令,則,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞減,所以,即,(*)當(dāng)時(shí),,(*)式恒成立,即恒成立,滿足題意法二:由得,,令(),則,在上單調(diào)遞減,,,即,當(dāng)時(shí),由(Ⅰ)知在上單調(diào)遞增,恒成立,滿足題意當(dāng)時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),,,使得,當(dāng)時(shí),,即,又,,,不滿足題意,綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性的討論,不等式恒成立時(shí),求解參數(shù)的范圍,屬于難度題.21.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)構(gòu)造直線所在平面,由面面平行推證線面平行;(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,分別

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