2022屆江蘇省無錫市錫山區(qū)天一中學(xué)高考數(shù)學(xué)一模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.關(guān)于的不等式的解集是,則關(guān)于的不等式的解集是()A. B.C. D.2.歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要,被譽為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復(fù)數(shù)位于復(fù)平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知雙曲線的左右焦點分別為,,以線段為直徑的圓與雙曲線在第二象限的交點為,若直線與圓相切,則雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.4.已知,函數(shù),若函數(shù)恰有三個零點,則()A. B.C. D.5.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.6.已知拋物線的焦點為,過焦點的直線與拋物線分別交于、兩點,與軸的正半軸交于點,與準(zhǔn)線交于點,且,則()A. B.2 C. D.37.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,函數(shù)(),則函數(shù)與函數(shù)的圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為()A.2 B.4 C.5 D.68.一小商販準(zhǔn)備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品,甲每件進(jìn)價元,乙每件進(jìn)價元,甲商品每賣出去件可賺元,乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取最大收益,則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別為()A.甲件,乙件 B.甲件,乙件 C.甲件,乙件 D.甲件,乙件9.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.10.已知我市某居民小區(qū)戶主人數(shù)和戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意率分別如圖和如圖所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結(jié)構(gòu)的滿意程度,用分層抽樣的方法抽取的戶主進(jìn)行調(diào)查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)分別為A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,1811.已知函數(shù)(,是常數(shù),其中且)的大致圖象如圖所示,下列關(guān)于,的表述正確的是()A., B.,C., D.,12.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”,這可視為中國古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示),當(dāng)n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限,則實數(shù)的范圍為______.14.已知實數(shù),滿足,則目標(biāo)函數(shù)的最小值為__________.15.在一底面半徑和高都是的圓柱形容器中盛滿小麥,有一粒帶麥銹病的種子混入了其中.現(xiàn)從中隨機取出的種子,則取出了帶麥銹病種子的概率是_____.16.已知橢圓:的左、右焦點分別為,,如圖是過且垂直于長軸的弦,則的內(nèi)切圓方程是________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的左焦點坐標(biāo)為,,分別是橢圓的左,右頂點,是橢圓上異于,的一點,且,所在直線斜率之積為.(1)求橢圓的方程;(2)過點作兩條直線,分別交橢圓于,兩點(異于點).當(dāng)直線,的斜率之和為定值時,直線是否恒過定點?若是,求出定點坐標(biāo);若不是,請說明理.18.(12分)已知的圖象在處的切線方程為.(1)求常數(shù)的值;(2)若方程在區(qū)間上有兩個不同的實根,求實數(shù)的值.19.(12分)數(shù)列的前項和為,且.數(shù)列滿足,其前項和為.(1)求數(shù)列與的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.20.(12分)2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當(dāng)務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準(zhǔn)備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進(jìn)行兩次檢測,當(dāng)?shù)谝淮螜z測合格后,才能進(jìn)行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.21.(12分)等差數(shù)列的前項和為,已知,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式及前項和為;(Ⅱ)設(shè)為數(shù)列的前項的和,求證:.22.(10分)2019年春節(jié)期間,某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動,若顧客一次消費達(dá)到400元則可參加一次抽獎活動,超市設(shè)計了兩種抽獎方案.方案一:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券,若抽到白球則獲得20元的返金券,且顧客有放回地抽取3次.方案二:一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球,其中10個紅球,20個白球,攪拌均勻后,顧客從中隨機抽取一個球,若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券,若抽到白球則未中獎,且顧客有放回地抽取3次.(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會,且都按方案一抽獎,試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率;(2)若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望;②為了吸引顧客消費,讓顧客獲得更多金額的返金券,該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動?

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】

由的解集,可知及,進(jìn)而可求出方程的解,從而可求出的解集.【詳解】由的解集為,可知且,令,解得,,因為,所以的解集為,故選:A.【點睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集,考查學(xué)生的計算求解能力與推理能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

計算,得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故,表示的復(fù)數(shù)在第一象限.故選:.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計算,意在考查學(xué)生的計算能力和理解能力.3.B【解析】

先設(shè)直線與圓相切于點,根據(jù)題意,得到,再由,根據(jù)勾股定理求出,從而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點,因為是以圓的直徑為斜邊的圓內(nèi)接三角形,所以,又因為圓與直線的切點為,所以,又,所以,因此,因此有,所以,因此漸近線的方程為.故選B【點睛】本題主要考查雙曲線的漸近線方程,熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可,屬于??碱}型.4.C【解析】

當(dāng)時,最多一個零點;當(dāng)時,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖,根據(jù)草圖可得.【詳解】當(dāng)時,,得;最多一個零點;當(dāng)時,,,當(dāng),即時,,在,上遞增,最多一個零點.不合題意;當(dāng),即時,令得,,函數(shù)遞增,令得,,函數(shù)遞減;函數(shù)最多有2個零點;根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點,在,上有2個零點,如圖:且,解得,,.故選.【點睛】遇到此類問題,不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù),故按“一元化”想法,逐步分類討論,這一過程中有可能分類不全面、不徹底.5.B【解析】

先考慮奇偶性,再考慮特殊值,用排除法即可得到正確答案.【詳解】是奇函數(shù),排除C,D;,排除A.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)圖象的判斷,屬于??碱}.6.B【解析】

過點作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點,由和拋物線的定義可求得,利用拋物線的性質(zhì)可構(gòu)造方程求得,進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】過點作準(zhǔn)線的垂線,垂足為,與軸交于點,由拋物線解析式知:,準(zhǔn)線方程為.,,,,由拋物線定義知:,,,.由拋物線性質(zhì)得:,解得:,.故選:.【點睛】本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用,關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.7.B【解析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得:的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,由函數(shù)圖像的作法可知兩個圖像有四個交點,且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4得解.【詳解】由偶函數(shù)滿足,可得的圖像關(guān)于直線對稱且關(guān)于軸對稱,函數(shù)()的圖像也關(guān)于對稱,函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像的位置關(guān)系如圖所示,可知兩個圖像有四個交點,且兩兩關(guān)于直線對稱,則與的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和為4.故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想,掌握函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.8.D【解析】

由題意列出約束條件和目標(biāo)函數(shù),數(shù)形結(jié)合即可解決.【詳解】設(shè)購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應(yīng)分別,利潤為元,由題意,畫出可行域如圖所示,顯然當(dāng)經(jīng)過時,最大.故選:D.【點睛】本題考查線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,解決此類問題要注意判斷,是否是整數(shù),是否是非負(fù)數(shù),并準(zhǔn)確的畫出可行域,本題是一道基礎(chǔ)題.9.A【解析】

求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進(jìn)行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】

利用統(tǒng)計圖結(jié)合分層抽樣性質(zhì)能求出樣本容量,利用條形圖能求出抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù).【詳解】樣本容量為:(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)為:故選A.【點睛】本題考查樣本容量和抽取的戶主對四居室滿意的人數(shù)的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認(rèn)真審題,注意統(tǒng)計圖的性質(zhì)的合理運用.11.D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項.【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出,故得,故選:D.【點睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征,本題屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點,在第二象限,得,且,從而求出實數(shù)的范圍.【詳解】解:∵復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第二象限,∴,且,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點之間的關(guān)系,解不等式,且是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.14.-1【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出實數(shù)x,y滿足對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影所示;由z=x+2y﹣1,得yx,平移直線yx,由圖象可知當(dāng)直線yx經(jīng)過點A時,直線yx的縱截距最小,此時z最小.由,得A(﹣1,﹣1),此時z的最小值為z=﹣1﹣2﹣1=﹣1,故答案為﹣1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,是基礎(chǔ)題15.【解析】

求解占圓柱形容器的的總?cè)莘e的比例求解即可.【詳解】解:由題意可得:取出了帶麥銹病種子的概率.故答案為:.【點睛】本題主要考查了體積類的幾何概型問題,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

利用公式計算出,其中為的周長,為內(nèi)切圓半徑,再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標(biāo).【詳解】由已知,,,,設(shè)內(nèi)切圓的圓心為,半徑為,則,故有,解得,由,或(舍),所以的內(nèi)切圓方程為.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓中三角形內(nèi)切圓的方程問題,涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識,考查學(xué)生的運算能力,是一道中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)直線過定點【解析】

(1),再由,解方程組即可;(2)設(shè),,由,得,由直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系,代入計算即可.【詳解】(1)由題意知:,又,且解得,,∴橢圓方程為,(2)當(dāng)直線的斜率存在時,設(shè)其方程為,設(shè),,由,得.則,(*)由,得,整理可得(*)代入得,整理可得,又,∴,即,∴直線過點當(dāng)直線的斜率不存在時,設(shè)直線的方程為,,,其中,∴,由,得,所以∴當(dāng)直線的斜率不存在時,直線也過定點綜上所述,直線過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓位置關(guān)系中的定點問題,在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時,一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解,本題是一道中檔題.18.(1);(2)或.【解析】

(1)求出,由,建立方程求解,即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,極值,做出函數(shù)在的圖象,即可求解.【詳解】(1),由題意知,解得(舍去)或.(2)當(dāng)時,故方程有根,根為或,+0-0+極大值極小值由表可見,當(dāng)時,有極小值0.由上表可知的減函數(shù)區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.因為,.由數(shù)形結(jié)合可得或.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵,意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力,屬于中檔題.19.(1),;(2).【解析】

(1)令可求得的值,令,由得出,兩式相減可推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列的通項公式,再利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得出數(shù)列的通項公式;(2)運用等差數(shù)列的求和公式,運用數(shù)列的分組求和和裂項相消求和,化簡可得.【詳解】(1)當(dāng)時,,所以;當(dāng)時,,得,即,所以,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,.;(2)由(1)知數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,.,.所以.【點睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運用,注意結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式,考查數(shù)列的求和方法:分組求和法和裂項相消求和,考查運算能力,屬于中檔題.20.(1)0.98;可用線性回歸模型擬合.(2)【解析】

(1)根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)求出,代入相關(guān)系數(shù)公式求出,根據(jù)的大小來確定結(jié)果;(2)求出藥品的每類劑型經(jīng)過兩次檢測后合格的概率,發(fā)現(xiàn)它們相同,那么經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,服從二項分布,利用二項分布的期望公式求解即可.【詳解】解:(1)由題意可知,,由公式,,∴與的關(guān)系可用線性回歸模型擬合;(2)

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