2022屆云南省沾益縣第四中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第1頁
2022屆云南省沾益縣第四中學(xué)高三下第一次測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析_第2頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.2.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.3.五行學(xué)說是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為,天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成,如圖,分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類元素中任選2類元素,則2類元素相生的概率為()A. B. C. D.4.把滿足條件(1),,(2),,使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”,下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為()①②③④⑤A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)5.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.6.已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.7.如圖,用一邊長為的正方形硬紙,按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形,做成一個(gè)蛋巢,將體積為的雞蛋(視為球體)放入其中,蛋巢形狀保持不變,則雞蛋中心(球心)與蛋巢底面的距離為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),下列結(jié)論不正確的是()A.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 B.既是奇函數(shù),又是周期函數(shù)C.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D.的最大值是9.一個(gè)袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為;當(dāng)無放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為,則()A., B.,C., D.,10.如圖,在平行四邊形中,為對(duì)角線的交點(diǎn),點(diǎn)為平行四邊形外一點(diǎn),且,,則()A. B.C. D.11.根據(jù)黨中央關(guān)于“精準(zhǔn)”脫貧的要求,我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)部門派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為()A. B. C. D.12.設(shè)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的概率為_______.14.以,為圓心的兩圓均過,與軸正半軸分別交于,,且滿足,則點(diǎn)的軌跡方程為_________.15.連續(xù)2次拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子(六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的正方體),觀察向上的點(diǎn)數(shù),則事件“點(diǎn)數(shù)之積是3的倍數(shù)”的概率為____.16.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺(tái)是由中宣部主管,以深入學(xué)習(xí)宣傳習(xí)近平新時(shí)代中國特色社會(huì)主義思想為主要內(nèi)容,立足全體黨員、面向全社會(huì)的優(yōu)質(zhì)平臺(tái),現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài),緊跟時(shí)代脈搏的熱門app.該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”和“視聽學(xué)習(xí)”兩個(gè)學(xué)習(xí)板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項(xiàng)答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個(gè)答題板塊.某人在學(xué)習(xí)過程中,將六大板塊依次各完成一次,則“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間最多間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有________種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)求在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)已知在上恒成立,求的值.(Ⅲ)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,證明:.18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),若直線與曲線相交于、兩點(diǎn),求的值19.(12分)已知函數(shù)是減函數(shù).(1)試確定a的值;(2)已知數(shù)列,求證:.20.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,求的最小值以及此時(shí)的直角坐標(biāo).21.(12分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.22.(10分)已知的面積為,且.(1)求角的大小及長的最小值;(2)設(shè)為的中點(diǎn),且,的平分線交于點(diǎn),求線段的長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】

推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,由題意得出,進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的值,并對(duì)的值進(jìn)行檢驗(yàn),即可得出結(jié)果.【詳解】,則,,,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.若函數(shù)的零點(diǎn)不為,則該函數(shù)的零點(diǎn)必成對(duì)出現(xiàn),不合題意.所以,,即,解得或.①當(dāng)時(shí),令,得,作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示:此時(shí),函數(shù)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn),不合乎題意;②當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,則函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查函數(shù)圖象對(duì)稱性的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是推導(dǎo)出,在求出參數(shù)后要對(duì)參數(shù)的值進(jìn)行檢驗(yàn),考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.2.C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關(guān)系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關(guān)鍵是建立三者間的方程或不等關(guān)系,本題是一道基礎(chǔ)題.3.A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種,其中2類元素相生的結(jié)果有5種,再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類,共有:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果,其中兩類元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果,所以2類元素相生的概率為,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題,利用古典概型概率公式求概率時(shí),找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵,基本亊件的探求方法有(1)枚舉法:適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的;(2)樹狀圖法:適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí),一定要按順序逐個(gè)寫出:先,….,再,…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.4.B【解析】

滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】滿足(1)(2)的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①不滿足(2);②不滿足(1);③不滿足(2);④⑤均滿足(1)(2).故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問題,涉及到函數(shù)的性質(zhì),考查學(xué)生邏輯推理與分析能力,是一道容易題.5.A【解析】

易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.6.C【解析】

先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.7.D【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離,再加上側(cè)面三角形的高,即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為,球心為,由題意,球的體積為,即可得球的半徑為1,又由邊長為的正方形硬紙,可得圓的半徑為,利用球的性質(zhì)可得,又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高,其中高為,所以球心到底面的距離為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,以及推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

通過三角函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性,函數(shù)的最值判斷選項(xiàng)的正誤即可得到結(jié)果.【詳解】解:,正確;,為奇函數(shù),周期函數(shù),正確;,正確;D:,令,則,,,,則時(shí),或時(shí),即在上單調(diào)遞增,在和上單調(diào)遞減;且,,,故D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對(duì)稱性的判斷,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)最值,屬于中檔題.9.B【解析】

分別求出兩個(gè)隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為;可能的取值為,,,,故,.,,故,,故,.故選B.【點(diǎn)睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計(jì)算,應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值,再利用排列組合知識(shí)求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率,然后利用公式計(jì)算期望和方差,注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.10.D【解析】

連接,根據(jù)題目,證明出四邊形為平行四邊形,然后,利用向量的線性運(yùn)算即可求出答案【詳解】連接,由,知,四邊形為平行四邊形,可得四邊形為平行四邊形,所以.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問題,屬于基礎(chǔ)題11.A【解析】

每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家,基本事件總數(shù),甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對(duì)三個(gè)縣區(qū)進(jìn)行調(diào)研,每個(gè)縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù):甲,乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為:本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.12.C【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),比較即可.【詳解】解:顯然,所以是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù),且在單調(diào)遞增,所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算及偶函數(shù)的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先求出隨機(jī)抽取a,b的所有事件數(shù),再求出滿足的事件數(shù),根據(jù)古典概型公式求出結(jié)果.【詳解】解:從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,從集合中隨機(jī)取一個(gè)元素,記為,則的事件數(shù)為9個(gè),即為,,,其中滿足的有,,,共有8個(gè),故的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的計(jì)算,解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確列舉出所有事件數(shù).14.【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上,由此得到,同理可得,由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可知,從而化簡得到,由此確定軌跡方程.【詳解】,,和的中點(diǎn)坐標(biāo)為,且在線段的垂直平分線上,,即,同理可得:,,,點(diǎn)的軌跡方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則構(gòu)造出滿足的方程,由此得到結(jié)果.15.【解析】總事件數(shù)為,目標(biāo)事件:當(dāng)?shù)谝活w骰子為1,2,4,6,具體事件有,共8種;當(dāng)?shù)谝活w骰子為3,6,則第二顆骰子隨便都可以,則有種;所以目標(biāo)事件共20中,所以。16.【解析】

先分間隔一個(gè)與不間隔分類計(jì)數(shù),再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結(jié)果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊相鄰,則學(xué)習(xí)方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學(xué)習(xí)”兩大學(xué)習(xí)板塊之間間隔一個(gè)答題板塊的學(xué)習(xí)方法有種;因此共有種.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查排列組合實(shí)際問題,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析【解析】

(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.(Ⅱ)求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.(Ⅲ)根據(jù)(Ⅰ)(Ⅱ)的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】(Ⅰ)由題,故.且.故在點(diǎn)處的切線方程為.(Ⅱ)設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當(dāng)時(shí),此時(shí),且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意;當(dāng)時(shí),此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;當(dāng)時(shí),此時(shí)有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾;故(Ⅲ).由(Ⅰ),在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因?yàn)?,故設(shè)的解為,因?yàn)?故.所以在遞減,在遞增.因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)數(shù)根,故.結(jié)合(Ⅰ)(Ⅱ)有,在上恒成立.設(shè)的解為,則;設(shè)的解為,則.故,.故,得證.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.18.(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2).【解析】

(1)在曲線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出曲線的普通方程,利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),并設(shè)點(diǎn)、所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為、,利用韋達(dá)定理可求得的值.【詳解】(1)由,得,,曲線的普通方程為,由,得,直線的直角坐標(biāo)方程為;(2)設(shè)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入,得,則,設(shè)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為、,,,,,.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時(shí)也考查了直線參數(shù)方程幾何意義的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19.(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】

(Ⅰ)求導(dǎo)得,由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立,構(gòu)造函數(shù),通過求導(dǎo)判斷它的單調(diào)性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,則,即,兩邊同除以得,,即,從而,兩邊取對(duì)數(shù),然后再證明恒成立即可,構(gòu)造函數(shù),,通過求導(dǎo)證明即可.【詳解】解:(Ⅰ)的定義域?yàn)椋?由是減函數(shù)得,對(duì)任意的,都有恒成立.設(shè).∵,由知,∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴在時(shí)取得最大值.又∵,∴對(duì)任意的,恒成立,即的最大值為.∴,解得.(Ⅱ)由是減函數(shù),且可得,當(dāng)時(shí),,∴,即.兩邊同除以得,,即.從而,所以①.下面證;記,.∴,∵在上單調(diào)遞增,∴在上單調(diào)遞減,而,∴當(dāng)時(shí),恒成立,∴在上單調(diào)遞減,即時(shí),,∴當(dāng)時(shí),.∵,∴當(dāng)時(shí),,即②.綜上①②可得,.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系,考查了函數(shù)的最值,考查了構(gòu)造函數(shù)的能力,考查了邏輯推理能力與計(jì)算求解能力,屬于難題.,20.(1):,:;(2),此時(shí).【解析】試題分析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為;(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為到的距離當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.試題解析:(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為,因?yàn)槭侵本€,所以的最小值即為到的距離的最小值,.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值,最小值為,此時(shí)的直角坐標(biāo)為.考點(diǎn):坐標(biāo)系與參數(shù)方

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