晶體的對稱性

第四節(jié)晶體的對稱性對晶體施加某種幾何操作后，晶體可以完全復原的性質，稱為晶體的對稱性，這種幾何操作為對稱操作。在晶體對稱操作過程中，若至少有一點保持不變，這種對稱操作稱為點對稱操作，晶體的這種對稱性稱為點對稱性或宏觀對稱性。本節(jié)主要內容:一、群的基本概念二、對稱性與對稱操作三、晶系和布拉菲原胞一、群的基本概念群是一組元素的集合，即這些元素必須滿足如下條件：(1)群的封閉性：集合中任意兩個元素的“乘積”仍為集合內的元素，即：(2)存在單位元素E，使得所有元素滿足：(3)對于任意元素A，存在逆元素A-1,有(4)元素間的“乘法運算”滿足結合律，即二、對稱性與對稱操作對稱性：經過某種動作后，晶體能夠自身重合的特性。對稱操作：使晶體自身重合的動作。對稱素：對稱操作所依賴的幾何要素。1.對稱操作與線性變換經過某一對稱操作，把晶體中任一點變?yōu)榭梢杂镁€性變換來表示。Ox1x3x2操作前后，晶體兩點間的距離保持不變，O點和X點間距與O點和點間距相等。I為單位矩陣，即：或者說A為正交矩陣，即

，其矩陣行列式。2.簡單對稱操作(旋轉對稱、中心反映、鏡象、旋轉反演對稱)(1)旋轉對稱(Cn,對稱素為線)若晶體繞某一固定軸轉以后自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉對稱軸。下面我們計算與轉動對應的變換矩陣。當OX繞Ox1轉動角度時，圖中若OX在Ox2x3平面上投影的長度為R，則Ox1x3x2藍色線表示OX在Ox2x3面上的投影晶體中允許有幾度旋轉對稱軸呢?設B1ABA1是晶體中某一晶面（紙面）上的一個晶列，AB為這一晶列上相鄰的兩個格點。A1ABB1若晶體繞通過格點A并垂直于紙面的u軸順時針轉角后能自身重合，則也應為格點。A1ABB1

由于晶體的周期性，通過格點B也有一轉軸u，繞此軸逆時針轉角后也能自身重合，則也應為格點。是的整數倍，由于cos只能在－1到1之間取值，則m只能?。?、0、1、2、3，只能取：綜合上述證明得：晶體中允許的旋轉對稱軸只能是1，2，3，4，6度軸。12346正五邊形沿其垂直軸每旋轉720恢復原狀，但它不能重復排列充滿一個平面而不出現空隙。因此晶體的旋轉對稱軸中不存在五次軸，只有1，2，3，4，6度旋轉對稱軸。(2)中心反演(i，對稱素為點)取中心為原點，經過中心反演后，圖形中任一點變?yōu)?3)鏡象(m，對稱素為面)如以x3=0面作為對稱面，鏡象是將圖形的任何一點變?yōu)?4)旋轉--反演對稱若晶體繞某一固定軸轉以后，再經過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n次(度)旋轉--反演對稱軸。

旋轉--反演對稱軸只能有1，2，3，4，6度軸。旋轉--反演對稱軸用表示。旋轉--反演對稱軸并不都是獨立的基本對稱素。如：1212123456動畫1234566'1234ABDCEFGH正四面體無四度軸，但有四度-反演軸。動畫動畫6=3+m點對稱操作：(1)旋轉對稱操作：1，2，3，4，6度旋轉對稱操作。

C1，C2，C3，C4，C6

（熊夫利符號）1，2，3，4，6（國際符號）(2)旋轉反演對稱操作：1，2，3，4，6度旋轉反演對稱操作。S1，S2，S3，S4，S6（熊夫利符號）（國際符號）(3)中心反映：i。(4)鏡象反映：m。

獨立的對稱操作有8種,即1，2，3，4，6，i，m，?；駽1，C2，C3，C4，C6

，Ci，Cs，S4。立方體對稱性(1)立方軸C4：3個立方軸；(2)體對角線C3：4個3度軸；(3)面對角線C2：6個2度軸；與4度軸正交的對稱面與2度軸正交的對稱面所有點對稱操作都可由這8種操作或它們的組合來完成。一個晶體的全部對稱操作構成一個群，每個操作都是群的一個元素。對稱性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉、中心反演、鏡象和旋轉--反演點對稱操作構成的群，稱作點群。理論證明，所有晶體只有32種點群，即只有32種不同的點對稱操作類型。這種對稱性在宏觀上表現為晶體外形的對稱及物理性質在不同方向上的對稱性。所以又稱宏觀對稱性。晶體的32種對稱類型（32種點群）符號符號的意義對稱類型數目Cnn度旋轉對稱軸C1、C2、C3、C4、C65Ci對稱心(i)Ci(=S2)1Cs對稱面(m)Cs1Cnhn度軸＋與軸垂直的水平對稱面C2h、C3h、C4h、C6h4CnVn度軸＋通過該軸的鉛垂對稱面C2V、C3V、C4V、C6V4Dnn度軸＋n個與之垂直的2度軸D2、D3、D4、D64符號符號的意義對稱類型數目DnhDn＋與軸垂直的水平對稱面D2h、D3h、D4h、D6h4DndDn＋平分兩個2度軸間夾角的對稱面D2d、D4d2Sn經n度旋轉后，經垂直該軸的平面的鏡像C3i(=S6)、C4i(=S4)2T4個3度軸＋3個2度軸T1Thh與前面相同Th1Tdd與前面相同Td1符號符號的意義對稱類型數目O3個相互垂直的4度軸＋6個2度軸＋4個3度軸O1Ohh與前面相同Oh1總共32如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。（5）n度螺旋軸：若繞軸每旋轉2/n角以后，再沿該軸方向平移T/n的l倍，晶體能自身重合，則稱此軸為n度螺旋軸。其中T是軸方向的周期，l是小于n的整數。n只能取1、2、3、4、6。（6）滑移反映面：若經過某面進行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個方向平移T/n后，晶體能自身重合，則稱此面為滑移反映面。T是平行方向的周期，n可取2或4。T4度螺旋軸T點對稱操作加上平移操作構成空間群。全部晶體構有230種空間群，即有230種對稱類型。二、晶系和布拉菲單胞根據不同的點對稱性，將晶體分為7大晶系，14種布拉菲晶格。為布拉菲單胞三個基矢，分別為取間的夾角。7大晶系的特征及布拉菲晶格如下所述：1.三斜晶系：簡單三斜(1)2.單斜晶系：簡單單斜(2)底心單斜(3)3.三角晶系：三角(4)4.正交晶系：簡單正交(5