計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)-多元線性回歸(一)

《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)》

Econometrics

問題導(dǎo)入

1.影響消費(fèi)支出的因素只有收入嗎？

2.商品需求量只受價(jià)格影響嗎？

3.工資由哪些變量引起？2關(guān)于模型中的趨勢變量如果要考察消費(fèi)與可支配收入的關(guān)系，可以引入時(shí)間趨勢變量，目的是為模型能夠描述消費(fèi)與收入的真實(shí)關(guān)系（不受時(shí)間影響）因?yàn)閭€(gè)人消費(fèi)與可支配收入這兩個(gè)變量的共同特點(diǎn)是隨時(shí)間而遞增。在模型中引入時(shí)間變量，從而使消費(fèi)與收入的關(guān)系為一種不依賴于時(shí)間的關(guān)系。3為什么要引入趨勢變量？為了分析應(yīng)變量與時(shí)間的關(guān)系趨勢變量代替一個(gè)影響Y的基本變量（如技術(shù)進(jìn)步、人口增長、經(jīng)濟(jì)發(fā)展等等）4第4章多元線性回歸（一）

4.1多變量線性回歸模型

4.2多元線性回歸模型的若干假設(shè)

4.3多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)

4.4多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度

4.5多元線性回歸模型的參數(shù)檢驗(yàn)

4.6多元線性回歸模型的預(yù)測

4.7案例分析

54.1多變量線性回歸模型總體回歸模型：在線性回歸模型中的解釋變量有多個(gè)總體回歸函數(shù)：6i=1,2…,n其中:k為解釋變量的數(shù)目，j稱為回歸參數(shù)，也叫偏回歸系數(shù)。表示在其他解釋變量保持不變的情況下，Xj每變化1個(gè)單位時(shí),Y的均值E(Y)的變化;即：j給出了Xj的單位變化對Y均值的“直接”（不含其他變量）影響。樣本回歸模型樣本回歸函數(shù)7kikiiiXXXYbbbb?????22110++++=LikikiiieXXXY+++++=bbbb????22110L

ei稱為殘差或剩余項(xiàng)(residuals)，可看成是總體回歸函數(shù)中隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)i的近似替代。8思考

假設(shè)要求建立一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型來說明在學(xué)院跑道上慢跑半個(gè)小時(shí)或半個(gè)小時(shí)以上的人數(shù)，以便決定是否修建第二條跑道以滿足所有的鍛煉者，你通過整個(gè)學(xué)年收集數(shù)據(jù)，得到兩個(gè)可能的解釋性方程：其中：Y為某天慢跑者的人數(shù)，X1為該天的降雨量，

X2為該天日照時(shí)間，

X3為該天的最高溫度，

X4為第二天需交學(xué)期論文的班級(jí)數(shù)。請回答：（1）這兩個(gè)方程你認(rèn)為哪個(gè)更合理些？（2）為什么用相同的數(shù)據(jù)去估計(jì)相同變量的系數(shù)卻得到不同的符號(hào)？4.2多元線性回歸模型的若干假設(shè)關(guān)于X的假設(shè)X是確定性變量，不是隨機(jī)變量各X之間不相關(guān)（無多重共線性）關(guān)于μ的假設(shè)零均值、同方差、不序列相關(guān)服從正態(tài)分布關(guān)于X與μ的假設(shè)X與μ不相關(guān)9零均值、同方差、不序列相關(guān)104.3多元線性回歸模型的參數(shù)估計(jì)普通最小二乘估計(jì)11對于隨機(jī)抽取的n組觀測值如果樣本函數(shù)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，則有：i=1,2…n

根據(jù)最小二乘原理，參數(shù)估計(jì)值應(yīng)該是右列方程組的解kikiiiXXXYbbbb?????22110++++=L12于是得到關(guān)于待估參數(shù)估計(jì)值的正規(guī)方程組：即：解該（k+1）

個(gè)方程組成的線性代數(shù)方程組，即可得到(k+1)個(gè)待估參數(shù)的估計(jì)值隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)

13

可以證明，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差的無偏估計(jì)量為：樣本容量問題最小樣本容量：樣本最小容量必須不少于模型中解釋變量的數(shù)目（包括常數(shù)項(xiàng)）,即n≥k+1滿足基本要求的樣本容量:n30時(shí)，Z檢驗(yàn)才能應(yīng)用；

n-k≥8時(shí),t分布較為穩(wěn)定一般經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為:當(dāng)n≥30或者至少n≥3(k+1)時(shí)，才能說滿足模型估計(jì)的基本要求。14多元回歸模型參數(shù)估計(jì)實(shí)例人均消費(fèi)水平、人均GDP、上一年度消費(fèi)水平的關(guān)系（P23）建立模型Eviews實(shí)現(xiàn)（兩種方法）直接在命令框中輸入“l(fā)sYcXY(-1)”生成Y(-1)，在打開一個(gè)新組，輸入命令15請注意觀察：此時(shí)的樣本容量為多大？自由度為多大？16DependentVariable:XFMethod:LeastSquaresDate:03/22/13Time:08:54Sample:19782007Includedobservations:30VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C224.303555.648204.0307420.0004GDP0.3864340.00774449.901920.0000R-squared0.988881Meandependentvar2175.067AdjustedR-squared0.988484S.D.dependentvar2021.413S.E.ofregression216.9246Akaikeinfocriterion13.66132Sumsquaredresid1317576.Schwarzcriterion13.75473Loglikelihood-202.9198F-statistic2490.202Durbin-Watsonstat0.115833Prob(F-statistic)0.000000DependentVariable:XFMethod:LeastSquaresDate:03/22/13Time:08:56Sample(adjusted):19792007Includedobservations:29afteradjustingendpointsVariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C89.4006927.310563.2734840.0030GDP0.1288270.0227855.6540610.0000XF(-1)0.7394490.06501811.372930.0000R-squared0.998127Meandependentvar2243.724AdjustedR-squared0.997983S.D.dependentvar2021.281S.E.ofregression90.77644Akaikeinfocriterion11.95237Sumsquaredresid214249.4Schwarzcriterion12.09382Loglikelihood-170.3094F-statistic6928.210Durbin-Watsonstat0.449287Prob(F-statistic)0.000000XF=C(1)+C(2)*GDPXF=C(1)+C(2)*GDP+C(3)*XF(-1)17XF=C(1)+C(2)*GDPXF=C(1)+C(2)*GDP+C(3)*XF(-1)多元回歸的若干重要結(jié)論OLS估計(jì)量仍然是最佳線性無偏估計(jì)量線性性、無偏性、有效性樣本回歸線過均值點(diǎn)Y的估計(jì)的均值等于真實(shí)的Y的均值殘差與X不相關(guān)殘差與Y不相關(guān)184.4多元線性回歸模型的擬合優(yōu)度可決系數(shù)與調(diào)整的可決系數(shù)19記總離差平方和的分解自由度（n-1）=（n-k-1）+(k)20XiXSRFY21

可決系數(shù)該統(tǒng)計(jì)量越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。

問題：隨著解釋變量個(gè)數(shù)增加而減小，至少不會(huì)增加，所以R2是解釋變量數(shù)目的增函數(shù)。

這就給人一個(gè)錯(cuò)覺：要使得模型擬合得好，只要增加解釋變量即可——R2需調(diào)整，必須消除這種因素。22調(diào)整的可決系數(shù)調(diào)整的思路:將殘差平方和與總離差平方和分別除以各自的自由度，以剔除變量個(gè)數(shù)對擬合優(yōu)度的影響:其中：n-k-1為殘差平方和的自由度

n-1為總體平方和的自由度k為回歸平方和的自由度

23R2

與的性質(zhì)調(diào)整的可決系數(shù)：使得具有不同樣本容量和解釋變量數(shù)目的回歸方程可以進(jìn)行擬合優(yōu)度的比較。與的關(guān)系24赤池信息準(zhǔn)則（AIC）與施瓦茨準(zhǔn)則（SC）這兩個(gè)準(zhǔn)則均要求僅當(dāng)所增加的解釋變量能夠減少AIC值或SC值時(shí)才在原模型中增加該解釋變量。比較上例的輸出結(jié)果中的AIC和SC，你的結(jié)論是什么？赤池信息準(zhǔn)則和施瓦茨準(zhǔn)則4.5多元線性回歸模型的參數(shù)檢驗(yàn)4.5.1參數(shù)顯著性檢驗(yàn)——t檢驗(yàn)4.5.2參數(shù)的置信區(qū)間4.5.3方程顯著性檢驗(yàn)——F檢驗(yàn)這部分與一元線性回歸不同4.5.4R2與F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系254.5.3方程顯著性檢驗(yàn)——F檢驗(yàn)26

模型的顯著性檢驗(yàn)就是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷娜w解釋變量總體上對被解釋變量是否存在明顯的影響。即檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

中的參數(shù)j是否不全為0。即

可提出如下原假設(shè)與備擇假設(shè)：H0：1=2==k=0H1：j不全為0i=1,2…,n27XiXSRFYF檢驗(yàn)的思想來自于總離差平方和的分解式：

TSS=ESS+RSS28

如果這個(gè)比值較大，則X的聯(lián)合體對Y的解釋程度高，可認(rèn)為總體存在線性關(guān)系，反之總體上可能不存在線性關(guān)系。

因此,可通過該比值的大小對總體線性關(guān)系進(jìn)行推斷。由于回歸平方和?=2?iyESS是解釋變量X的聯(lián)合體對被解釋變量Y的線性作用的結(jié)果，考慮比值

29

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的知識(shí)，在原假設(shè)H0成立的條件下，統(tǒng)計(jì)量

服從自由度為(k,n-k-1)的F分布。

給定顯著性水平，可得到臨界值F(k,n-k-1)

，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量F的數(shù)值，通過

來拒絕（或接受）原假設(shè)H0，以判定原方程總體上的線性關(guān)系是否顯著成立。~F(k,n-k-1)4.5.1參數(shù)顯著性檢驗(yàn)——t檢驗(yàn)必須對每個(gè)解釋變量進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。這一檢驗(yàn)是由對變量的t檢驗(yàn)完成的。3031

1、t統(tǒng)計(jì)量

32

2、t檢驗(yàn)

原假設(shè)與備擇假設(shè)：

給定顯著性水平，可得到臨界值t/2(n-k-1)，由樣本求出統(tǒng)計(jì)量t的數(shù)值，通過

t

t/2(n-k-1)或t≤-t/2(n-k-1)來拒絕或接受原假設(shè)H0，從而判定對應(yīng)的解釋變量是否應(yīng)包括在模型中。如果顯著性水平不太高，也不要簡單地剔除變量，還要看它在模型及應(yīng)用中的作用。H1：j0H0：j=0（i=1,2…k）注意：一元線性回歸中，t檢驗(yàn)與F檢驗(yàn)一致

33檢驗(yàn)步驟0,0,)()(4)(3)?(?205.0)1(00222不顯著異于參數(shù)則不拒絕顯著異于參數(shù)則拒絕，，若）判斷：（

。分布表，找出）查（）計(jì)算統(tǒng)計(jì)量：（。，如選擇顯著水平j(luò)jjiHHn-k-1ttn-k-1ttk-1nttStbbbbaaaaa<3-==34一個(gè)關(guān)于個(gè)人收入與物價(jià)水平及失業(yè)率的關(guān)系的回歸方程如下（括號(hào)內(nèi)為估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差）：其中：W為第t年每位雇員的收入，P為第t年的物價(jià)水平，U為第t年的失業(yè)率。（1）對系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。（2）討論P(yáng)t－1在理論上的正確性，是否可以從方程中刪除？為什么？

4.5.2參數(shù)的置信區(qū)間35

參數(shù)的置信區(qū)間用來考察：在一次抽樣中所估計(jì)的參數(shù)值離參數(shù)的真實(shí)值有多“近”。在(1-)的置信水平下i的置信區(qū)間是:

如何才能縮小置信區(qū)間？

增大樣本容量n

提高模型的擬合優(yōu)度提高樣本觀測值的分散度4.6多元線性回歸模型的預(yù)測點(diǎn)預(yù)測區(qū)間預(yù)測364.7案例分析37生產(chǎn)函數(shù)是描述生產(chǎn)過程中投入的生產(chǎn)要素的某種組合與其最大的可能產(chǎn)出之間的數(shù)學(xué)依存關(guān)系的表達(dá)式。38取對數(shù)之后391.建立模型根據(jù)生產(chǎn)理論，建立模型：只有取對數(shù)后，才能將其變成線性模型估計(jì)模型直接在命令框中輸入“l(fā)slog(Y)clog(k)log(L)”生成三個(gè)對數(shù)序列后再進(jìn)行回歸4041DependentVariable:LOG(Y)Method:LeastSquaresDate:03/22/13Time:11:20Sample:19872006Includedobservations:20VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.LOG(K)0.8062760.02456532.821880.0000LOG(L)0.4026990.1420822.8342670.0114C-3.0082051.359114-2.2133580.0408R-squared0.997005Meandependentvar9.903467AdjustedR-squared0.996653S.D.dependentvar0.547656S.E.ofregression0.031686Akaikeinfocriterion-3.928423Sumsquaredresid0.017068Schwarzcriterion-3.779063Loglikelihood42.28423F-statistic2829.504Durbin-Watsonstat0.652073Prob(F-statistic)0.000000估計(jì)結(jié)果：（-2.21）（32.82）（2.83）2.模型檢驗(yàn)（1）經(jīng)濟(jì)意義檢驗(yàn)

（2）變量顯著性檢驗(yàn)p值均小于0.05，顯著（3）方程顯著性檢驗(yàn) F統(tǒng)計(jì)量的p值小于0.01，顯著423.預(yù)測已知2007年固定資本存量為117908.2億元，就業(yè)人數(shù)為76990.00萬人。打開Workfile窗口，Procs/Structure/ResizeCurrent將k和l序列中錄入2007年數(shù)據(jù)再次得到回歸模型Equation/procs/forecast，將范圍改為1987——2007打開yf序列,即可觀測到1987-2007年度的所有預(yù)測值43課后練習(xí)：2、5、7、10、12、1344知識(shí)延伸：受約束回歸我們對參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)僅僅是對系數(shù)是否顯著為0進(jìn)行的檢驗(yàn)，如果要對參數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)，該如何做？——受約束回歸45一、模型參數(shù)的線性約束46例如對模型:施加約束:得:或:(1)(2)如果對（2）式回歸得出:則由約束條件可得：這些約束條件是否為真，需要進(jìn)行檢驗(yàn)常用F檢驗(yàn)47XiXSRFY受約束與無約束模型都有相同的TSS受約束樣本回歸模型的殘差平方和RSSR>=無約束RSSU48

這意味著，通常情況下，對模型施加約束條件會(huì)降低模型的解釋能力。但是，如果約束條件為真，則受約束回歸模型與無約束回歸模型具有相同的解釋能力，RSSR

與RSSU的差異變小?？捎肦SSR-RSSU的大小來檢驗(yàn)約束的真實(shí)性

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)：于是：?注意，kU-kR恰為約束條件的個(gè)數(shù)。二、對回歸模型增加或減少解釋變量49考慮如下兩個(gè)回歸模型(1)(2)(1)式可看成是（2）式的受約束回歸：H0：相應(yīng)的Ｆ統(tǒng)計(jì)量為：50

如果約束條件為真，即額外的變量Xk+1,…,Xk+q對Ｙ?zèng)]有解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較??；否則，約束條件為假，意味著額外的變量對Ｙ有較強(qiáng)的解釋能力，則Ｆ統(tǒng)計(jì)量較大。因此，可通過F的計(jì)算值與臨界值的比較，來判斷額外變量是否應(yīng)包括在模型中。應(yīng)用：51下表列出了1960-1982美國家庭人均雞肉年消費(fèi)量Y與家庭月收入X，雞肉價(jià)格P1、豬肉價(jià)格P2、牛肉價(jià)格P3、每磅雞肉替代品的綜合真實(shí)價(jià)格P23（豬肉與牛肉的零售價(jià)格的加權(quán)平均）的相關(guān)數(shù)據(jù)。綜合練習(xí)YEARY人均雞肉消費(fèi)量X1人均真實(shí)可支配收入p1每磅雞肉的真實(shí)零售價(jià)格p2每磅豬肉的真是零售價(jià)格p3：每磅牛肉的真實(shí)零售價(jià)格p23：每磅雞肉替代品的綜合真實(shí)價(jià)格196027.8397.542.250.778.365.8196129.9413.338.15279.266.9196229.8439.240.35479.267.8196330.8459.739.555.379.269.6196431.2492.937.354.777.468.7196533.3528.638.163.780.273.6196635.6560.339.369.880.476.3196736.4624.637.865.983.977.2196836.7666.438.464.585.578.1196938.4717.840.17093.784.7197040.4768.238.673.2106.193.3197140.3843.339.867.8104.889.7197241.8911.639.779.1114100.7197340.4931.152.195.4124.1113.5197440.71021.548.994.2127.6115.3197540.11165.958.3123.5142.9136.7197642.71349.657.9129.9143.6139.2197744.11449.456.5117.6139.2132197846.71575.563.7130.9165.5132.1197950.61759.161.6129.8203.3154.4198050.11994.258.9128219.6174.9198151.72258.166.4141221.6180.8198252.92478.770.4168.2232.6189.452現(xiàn)在考慮下面的需求函數(shù)，請回答以下問題：（1）你會(huì)選擇哪個(gè)模型，為什么？（2）你怎樣解釋模型中X和P1的系數(shù)？（3）模型2和模型4的設(shè)定有何不同？（4）如果你采用第四個(gè)模型，可能會(huì)遇到什么問題？（5）因?yàn)槟Ｐ?中包含牛肉和豬肉的綜合價(jià)格，你認(rèn)為函數(shù)5比和函數(shù)4更好嗎？（6）豬肉和牛肉是雞肉的競爭或替代品嗎？你怎樣知道？（7）假定函數(shù)5是正確的，估計(jì)此模型，解釋你的結(jié)果（8）如果你使用了“錯(cuò)誤”模型2，通過考察系數(shù)的關(guān)系，評估這個(gè)模設(shè)定錯(cuò)誤的后果。53（1）模型5看起來最好，因?yàn)樗怂薪?jīng)濟(jì)相關(guān)的變量，其中P3，還可以減少模型中變量的個(gè)數(shù)，減輕豬肉價(jià)格與牛肉價(jià)格之間可能存在的多重共線性。（2）lnX前的系數(shù)代表了收入彈性，lnP1系數(shù)代表了雞肉價(jià)格彈性。（3）4同時(shí)考慮了牛肉和豬肉（4）如果采用模型4，則模型中豬肉和牛肉價(jià)格之間存在多重共線性（5）是的，因?yàn)橛兄跍p輕多重共線性（6）應(yīng)該是替代品（7）（8）54假如現(xiàn)在要考慮雞肉的家庭消費(fèi)需求是否受豬肉及牛肉價(jià)格的影響。系數(shù)分別代表收入彈性、自價(jià)格彈性、與豬肉的交叉價(jià)格彈性和與牛肉的交叉價(jià)格彈性，根據(jù)經(jīng)濟(jì)理論，我們預(yù)期：lnx前的系數(shù)>0;lnp1的系數(shù)<0;lnp2的系數(shù)>0，如果雞肉和豬肉是替代品；<0,如果雞肉和豬肉是互補(bǔ)品；=0，如果雞肉和豬肉是無關(guān)產(chǎn)品看輸出的模型，豬肉和牛肉的系數(shù)并不顯著，于是我們認(rèn)為，雞肉和兩者不相干，做出假設(shè)：55結(jié)論：？雞肉的需求不依賴于豬肉和牛肉的價(jià)格。自價(jià)格彈性小于0，絕對值小于1，說明什么？56結(jié)論：？57第四章結(jié)束練習(xí)題為了研究投資率（投資占GDP的比例）與儲(chǔ)蓄率（儲(chǔ)蓄占GDP的比例）之間的關(guān)系，馬丁和查爾斯得到21個(gè)國家的樣本數(shù)據(jù)。每個(gè)國家的投資率是1960——1974年間的平均投資率，儲(chǔ)蓄率是同期的平均儲(chǔ)蓄率。變量INVERATE表示投資率，SAVRATE表示儲(chǔ)蓄率。（1）將投資率對儲(chǔ)蓄率描點(diǎn)（2）基于這個(gè)描點(diǎn)圖，你認(rèn)為如下模型對這些數(shù)據(jù)的擬合效果同樣好嗎？線性——