傾斜角與斜率

【課標要求】1．理解直線的傾斜角和斜率的概念．2．掌握求直線斜率的兩種方法．3．了解在平面直角坐標系中確定一條直線的幾何要素．3.1.1傾斜角與斜率3.1

直線的傾斜角與斜率【核心掃描】1．求直線的傾斜角和斜率．(重點)2．常與三點共線、平面幾何知識等結合命題．(難點)3．準確把握與y軸平行或重合的直線的傾斜角和斜率．(易混點)1．傾斜角的概念和范圍

當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸_______與直線l_____方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．

當直線l與x軸_____或_____時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°.直線的傾斜角α的范圍是____≤α＜_____．

溫馨提示：直線的傾斜角概念的理解注意三個方面：

(1)直線與x軸相交； (2)x軸正方向； (3)直線向上的方向新知導學正方向向上平行重合0°180°2．斜率的概念及斜率公式定義傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的__________叫做這條直線的斜率，記為k，即k＝________取值范圍當α＝0°時，______;當0°＜α＜90°時，_______;當90°＜α＜180°時，_________；當α＝90°時，斜率___________過兩點的直線的斜率公式直線經過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率正切值tanαk＝0k＞0k＜0不存在溫馨提示

(1)直線的斜率與傾斜角既有區(qū)別，又有聯(lián)系．它們都反映了直線的傾斜程度，本質上是一致的．但傾斜角是角度，是直線傾斜度的直接體現；斜率是實數，是直線傾斜度的間接反映，用斜率比用傾斜角更方便．(2)直線的傾斜角α與斜率的關系如下表：直線情況平行(或重合)于x軸由左向右上升垂直于x軸由右向左上升α的大小0°0°<α<90°90°90°<α<180°斜率的取值范圍0(0，＋∞)不存在(－∞，0)斜率的增減性單調增單調增探究點1直角坐標系中的任何一條直線是否都有一個傾斜角？

提示是．探究點2(1)與x軸垂直的直線l傾斜角等于多少度？其斜率存在嗎？ (2)不垂直于x軸的直線l的斜率的大小與在l上取的兩個點有關嗎？

提示

(1)90°不存在(2)無關互動探究類型一直線的傾斜角與斜率的概念【例1】已知直線l向上方向與y軸正向所在的角為30°，則直線l和傾斜角為________．[思路探索]直線的傾斜角的定義中強調直線向上方向與x軸正向所成的角，才是直線的傾斜角，因而將l與y軸正向所成的30°角轉化即可．解析有兩種情況：①如圖(1)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為60°，即直線l的傾斜角為60°.②如圖(2)，直線l向上方向與x軸正向所成的角為120°，即直線l的傾斜角為120°.答案

60°或120°[規(guī)律方法]

(1)由已知角推斷傾斜角，常畫出圖形，借助圖形來解決，注意畫圖時要考慮出現的各種情況．(2)斜率或傾斜角之間的大小比較要根據k＝tanα在0°≤α＜90°及90°＜α＜180°的增減性來判斷．【活學活用1】(1)已知點P(1，1)，直線l過點P且不經過第四象限，則直線l的傾斜角α的最大值為

(

)． A．135° B．90° C．45° D．30°(2)如圖，設直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關系為

(

)．A．k1＜k2＜k3

B．k1＜k3＜k2C．k2＜k1＜k3

D．k3＜k2＜k1解析

(1)如圖，因為直線l不經過第四象限，故當直線l處于圖示位置，即過坐標原點(0，0)時，它的傾斜角有最大值．易求得其值為45°，故選C.(2)設直線l1、l2、l3的傾斜角分別為α1、α2、α3，則0°＜α1＜α2＜α3＜90°，故k1＜k2＜k3，選A.答案(1)C

(2)A【例2】已知直線l過P(－2，－1)，且與以A(－4，2)，B(1，3)為端點的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍． [思路探索]由已知畫出圖形，由斜率公式求出kPA，kPB，利用數形結合思想解決．類型二

求斜率及其范圍【活學活用2】已知兩點A(－3，4)，B(3，2)，過點P(1，0)的直線l與線段AB有公共點． (1)求直線l的斜率k的取值范圍； (2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．類型三

斜率公式的應用【示例】求經過A(m，3)，B(1，2)兩點的直線的斜率，并指出傾斜角α的取值范圍．[錯因分析]未考慮兩點斜率公式運用的條件從而忽略了對m＝1情況．易錯辨析

因忽略兩點斜率公式的條件而致錯1．下列說法中，正確的是

(

)． A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα B．直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為α C．若直線的傾斜角為α，則sinα＞0 D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時，斜率為tanα

解析對于A，當α＝90°時，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tanα，但只有0°≤α＜180°時，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當直線平行于x軸時，α＝0°，sinα＝0，故C不正確，故選D.

答案

D課堂達標2．直線l經過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是

(

)． A．0°≤α＜90°B．90°≤α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°

解析直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°，又直線 l經過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是 90°＜α＜180°.

答案

C3．已知直線過點A(0，4)和點B(1，2)，則直線AB的斜率為________．答案－24．過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角是135°，則y等于 (

)． A．1 B．5 C．－1 D．－5答案

D5．已知點A(1，2)，在坐標軸上求一點P，使直線PA的傾