流體靜力學(xué)-工程流體力學(xué)-課件-02

第二章流體靜力學(xué)§2—0流體靜力學(xué)定義

§2—1流體靜壓強(qiáng)特性§2—2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程§2—3流體靜力學(xué)基本方程第二章流體靜力學(xué)§2—4液體的相對(duì)平衡§2—5作用在平面上的液體總壓力§2—6作用在曲面上的液體總壓力

§2—7浮力和潛體及浮體的穩(wěn)定§2—0流體靜力學(xué)

§2—0流體靜力學(xué)

1、流體靜力學(xué)(hydrostatics//fluidstatics)：

研究流體處于靜止(包括相對(duì)靜止)狀態(tài)下的力學(xué)平衡規(guī)律及其在工程申的應(yīng)用。

2、靜止?fàn)顟B(tài)(staticcharacteristic）：

指流體質(zhì)點(diǎn)之間不存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)。

3、流體靜壓強(qiáng)（staticpressureoffluid//hydrostaticpressure）:

靜止流體中的壓應(yīng)力。

靜止流體中不會(huì)有切應(yīng)力，亦不會(huì)產(chǎn)生拉應(yīng)力，而只有壓應(yīng)力。

動(dòng)壓強(qiáng)(dynamicpressureoffluid):

運(yùn)動(dòng)流體中的壓應(yīng)力。

流體靜力學(xué)主要研究靜止流體處于力學(xué)平衡的一般條件和流體中的壓強(qiáng)分布規(guī)律。

§2—1流體靜壓強(qiáng)特性

§2一1流體靜壓強(qiáng)特性

一、流體靜壓強(qiáng)具有特性1

流體靜壓強(qiáng)既然是一個(gè)壓應(yīng)力，它的方向必然總是沿著作用面的內(nèi)法線方向，即垂直于作用面，并指向作用面(actingsurface)。

證明：

在靜止液體內(nèi)任取一分界面N-N，如圖所示：

設(shè)想作用于該面上某點(diǎn)壓強(qiáng)p的方向?yàn)槿我夥较?，該壓?qiáng)p可分解為垂直分量pn和切向分量τ。顯然，在pn和τ作用下，液體將失去平衡而流動(dòng)，這與靜止液體的假設(shè)相違背。只有當(dāng)τ

＝0，才不會(huì)使液體流動(dòng)而保持靜止或平衡狀態(tài)。

ApnpNN'Bp二、流體靜壓強(qiáng)特性2§2一1流體靜壓強(qiáng)特性

靜止流體中任一點(diǎn)上流體靜壓強(qiáng)的大小與其作用面的方位無(wú)關(guān)，即同一點(diǎn)上各方向的靜壓強(qiáng)大小均相等。

證明：

取一包含點(diǎn)M在內(nèi)的微小四面體：

根據(jù)平衡條件，四面體處于靜止?fàn)顟B(tài)下，各坐標(biāo)軸方向的作用力之和均分別為零。

由：

現(xiàn)以x軸方向?yàn)槔骸?一1流體靜壓強(qiáng)特性

當(dāng)dx、dy、dz趨近于零，縮到M時(shí)

各式代入：

各式代入：

說(shuō)明：靜止流體中任一點(diǎn)上壓強(qiáng)的大小與通過(guò)此點(diǎn)的作用面的方位無(wú)關(guān)，只是該點(diǎn)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。即

所以：

同理：在y軸、z軸方向分別可得

----------(2-1)

----------(2-2)

§2—2流體平衡微分方程—?dú)W拉平衡微分方程

§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程2-2-1流體的平衡微分方程—?dú)W拉平衡微分方程

1、用微元分析法推導(dǎo)流體的平衡微分方程：

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x、y、z，壓強(qiáng)為p。

和

表面力為：

質(zhì)量力為：

利用泰勒級(jí)數(shù)，ABCD和EFGH中心點(diǎn)處的壓強(qiáng)分別為：

x軸方向受力分析：P(x,y,z)MAEFBDHGCdzdydxyxzo§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

化簡(jiǎn)移項(xiàng)后得

和

上面三個(gè)式的矢量形式為：

上式為流體的平衡微分方程式，又稱歐拉平衡微分方程（Eular’sequationofequilibriumfluid）。

同理：

因?yàn)槲⑿×骟w處于平衡狀態(tài)，所以作用力在x軸方向的分量之和應(yīng)等于零

----------(2-4)

----(2-3)

P(x,y,z)MAEFBDHGCdzdydxyxzo§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

它表明了處于平衡狀態(tài)的流體中壓強(qiáng)的變化率（壓強(qiáng)梯度pressuregradient）與單位質(zhì)量力之間的關(guān)系，即對(duì)于單位質(zhì)量的流體來(lái)講，質(zhì)量力分量和表面力分量是對(duì)應(yīng)相等的。

2、歐拉平衡微分方程的物理意義2-2-2流體平衡微分方程的積分

§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

將方程組(2-3)中的各式依次乘以dx、dy、dz，并將它們相加，得

右邊也必須是某一個(gè)坐標(biāo)函數(shù)W（x，y，z）的全微分，

其中：

W是力函數(shù)或勢(shì)函數(shù)(potentialfunction)，它對(duì)各坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于力場(chǎng)的力在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸上的分量。質(zhì)量力則是有勢(shì)力(potentialforce)。

左邊為壓強(qiáng)p的全微分dp：

-----------(2-5)

-----------(2-6)

將式(2-6)代人式(2-5)得

可壓縮流體的平衡微分方程形式：

-----------(2-8)

-----------(2-7)

對(duì)于不可壓縮均質(zhì)流體來(lái)講，其密度ρ為常數(shù)，積分上式得，§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

已知邊界條件，勢(shì)函數(shù)為W0和壓強(qiáng)為p0，則得C=p0-ρW0。

p=p0+ρ(W-W0)-----------(2-9)

上式為不可壓縮均質(zhì)流體平衡微分方程積分后的普遍關(guān)系式。它表明不可壓縮均質(zhì)流體要維持平衡，只有在有勢(shì)的質(zhì)量力作用下才有可能；任一點(diǎn)上的壓強(qiáng)等于外壓強(qiáng)p0與有勢(shì)的質(zhì)量力所產(chǎn)生的壓強(qiáng)之和。

2-2-3等壓面·帕斯卡定律

§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

1、等壓面（EquipressureSurface）

：流體中壓強(qiáng)相等的點(diǎn)所組成的面。p=常數(shù)

（1）等壓面就是等勢(shì)面（Equipotential

linee）。

2、等壓面的方程：

3、等壓面特點(diǎn)：則dp=0

因?yàn)榧?----------(2-10)

dp=0又dp=ρdW=0

因?yàn)閯tW=常數(shù)

（2）等壓面和質(zhì)量力正交。

因?yàn)?/p>

則等壓面上移動(dòng)距離ds與質(zhì)量力f正交。

4、只有重力作用下的等壓面應(yīng)滿足的條件：§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

1)、靜止；

2)、連通；

3)、連通的介質(zhì)為同一均質(zhì)流體；

4)、質(zhì)量力僅有重力；

5)、同一水平面。BB'p0A+12CC§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程靜水壓強(qiáng)實(shí)驗(yàn)裝置圖

1、測(cè)壓管；2、帶標(biāo)尺測(cè)壓管；3、連通管；4、真空測(cè)壓管；5、U型測(cè)壓管；

6、通氣閥；7、加壓打氣球；8、截止閥；9、油柱；10、水柱；11、減壓放水閥。

5、帕斯卡定律(Pascal’sLaw)：§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

在平衡的不可壓縮均質(zhì)流體中，由于部分邊界面上的外力作用而產(chǎn)生的壓強(qiáng)將均勻地傳遞到該流體的各點(diǎn)上。

由

若p0有所增減

流體中各點(diǎn)的壓強(qiáng)p也隨之有同樣大小的數(shù)值變化

例：§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程

水壓機(jī)是由兩個(gè)尺寸不同而彼此連通的圓筒以及置于筒內(nèi)的一對(duì)活塞所組成的，筒內(nèi)充滿著水或油。已知大小活塞的面積分別為ω1

、ω2

。若忽略兩活塞的重量及其與圓臺(tái)摩阻的影響，當(dāng)小活塞加力p1時(shí)，求活塞所產(chǎn)生的力p2

。

解：

在作用下小活塞上產(chǎn)生流體靜壓強(qiáng)為

按帕斯卡定律，p1

將不變地傳遞到ω2上，所以§2一2流體平衡微分方程——?dú)W拉平衡微分方程思考題

1、什么是等壓面？等壓面的條件是什么？它適用于哪種流體？

3、判斷是不是等壓面？

2、相對(duì)平衡的流體的等壓面是否為水平面？為什么？什么條件下的等壓面是水平面？zo相對(duì)平衡的流體存在慣性力?！?一3流體靜力學(xué)基本方程

§2一3流體靜力學(xué)基本方程2-3-1重力作用下的流體平衡方程

靜止重力流體：所受的質(zhì)量力只有重力的靜止流體。

單位質(zhì)量流體上的質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸方向的分量。

得

對(duì)于不可壓縮均質(zhì)流體，ρ=常數(shù)，積分得：

代入：

-----------(2-11)

-----------(2-12)

對(duì)于靜止流體中任意兩點(diǎn)來(lái)講，上式可寫為

或：

-----------(2-14)

-----------(2-13)

§2一3流體靜力學(xué)基本方程

上述兩式為流體靜力學(xué)基本方程，又稱水靜力學(xué)基本方程。

式中:z1、z2分別為任意兩點(diǎn)在z軸上的鉛垂坐標(biāo)值，基準(zhǔn)面選定了，其值亦就定了；p1、p2分別為上述兩點(diǎn)的靜壓強(qiáng)；h為上述兩點(diǎn)間的鉛垂向下深度。p2/ooZ1Z2p1/(1)(2)h

或：

-----------(2-14)

-----------(2-13)

自由表面上為大氣壓強(qiáng)p0的液體，水靜力學(xué)基本方程為§2一3流體靜力學(xué)基本方程

說(shuō)明：

1）靜止流體中某一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)隨深度按線性(linearity)規(guī)律增加。

2）靜止流體中某一點(diǎn)的靜水壓強(qiáng)等于表面壓強(qiáng)加上流體的容重與該點(diǎn)淹沒(méi)深度的乘積。后一部分即為單位面積上淹沒(méi)深度液柱的重量。-----------(2-15)

2-3-2壓強(qiáng)的計(jì)量單位和表示方法

§2一3流體靜力學(xué)基本方程一、常用三種壓強(qiáng)計(jì)量單位

1、壓強(qiáng)的基本定義：用單位面積上的力來(lái)表示，單位為Pa。

2、大氣壓(atmosphericpressure)：的倍數(shù)來(lái)表示，有兩種大氣壓?jiǎn)挝唬?/p>

標(biāo)準(zhǔn)大氣壓(standardatmosphericpressure)：溫度為0℃、緯度為45°時(shí)海平面上的壓強(qiáng)，用atm表示。相當(dāng)于760mm水銀柱對(duì)柱底部所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（atm）＝101.3kPa＝1.033kgf／cm2

。

工程大氣壓(engineeringatmosphericpressure)：海拔200m處的正常大氣壓。相當(dāng)于736mm水銀柱對(duì)柱底部所產(chǎn)生的壓強(qiáng)，即1個(gè)工程大氣壓（at）＝98kPa＝1kgf／cm2

。

3、液柱高度來(lái)表示，常用水柱高度或水銀柱高度來(lái)表示，其單位為mH2O或mmHg。二、從不同的基準(zhǔn)算起，兩種不同的計(jì)量壓強(qiáng)的方法?！?一3流體靜力學(xué)基本方程

1、絕對(duì)壓強(qiáng)（AbsolutePressure）：以絕對(duì)真空作為壓強(qiáng)的零點(diǎn)，這樣計(jì)量的壓強(qiáng)值。以p’表示。

絕對(duì)壓強(qiáng)值與相對(duì)壓強(qiáng)值之間關(guān)系。-----------(2-16)

3、相對(duì)壓強(qiáng)的正值稱為正壓(positivepressure)(即壓力表讀數(shù))，負(fù)值稱為負(fù)壓(negativepressure)。絕對(duì)壓強(qiáng)值小于大氣壓強(qiáng)時(shí)，流體中就出現(xiàn)真空（Vacuum）。

真空壓強(qiáng)（VacuumPressure）是指流體中某點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)小于大氣壓強(qiáng)的部分。

如果自由表面的壓強(qiáng)p0=pa，則相對(duì)壓強(qiáng)值為。-----------(2-17)

2、相對(duì)壓強(qiáng)（RelativePressure）：以當(dāng)?shù)卮髿鈮簭?qiáng)(localatmosphericpressure)

pa作為零點(diǎn)起算的壓強(qiáng)值。以p表示。-----------(2-18)

用液柱高度來(lái)表示真空壓強(qiáng)的大小，即真空度（VacuumPressure）

。

-----------(2-19)

真空壓強(qiáng)的演示§2一3流體靜力學(xué)基本方程

絕對(duì)壓強(qiáng)值、相對(duì)壓強(qiáng)值、真空度之間關(guān)系§2一3流體靜力學(xué)基本方程oo絕對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)o'o'相對(duì)壓強(qiáng)基準(zhǔn)p1’p1壓強(qiáng)pp2’pa1at=98KN/m2注意：計(jì)算時(shí)無(wú)特殊說(shuō)明時(shí)均采用相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)算。

例

求淡水自由表面下2m深處的靜水壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)（認(rèn)為自由表面的絕對(duì)壓強(qiáng)為1工程大氣壓）

§2一3流體靜力學(xué)基本方程解：絕對(duì)壓強(qiáng)：相對(duì)壓強(qiáng)：

例

設(shè)如圖所示，h=2m時(shí)，求封閉容器A中的真空值。

§2一3流體靜力學(xué)基本方程解：設(shè)封閉容器內(nèi)的絕對(duì)壓強(qiáng)為pahs，

真空值為P

。

則：pabs=pa-h

根據(jù)真空值定義：

p=pa-pabs=pa-(pa-h)=h=9800×2=19．6Kpa

pahAB水空氣（略）2-3-3流體靜力學(xué)基本方程的物理意義和幾何意義

§2一3流體靜力學(xué)基本方程一、流體靜力學(xué)基本方程的物理意義（physicalproperty）

2、：?jiǎn)挝恢亓苛黧w所具有的壓能（pressurepotentialenergy），稱單位壓能。

1、：?jiǎn)挝恢亓苛黧w從某一基準(zhǔn)面算起所具有的位能（elevationpotentialenergy），因?yàn)槭菍?duì)單位重量而言，所以稱單位位能

。

z

4、流體靜力學(xué)基本方程的物理意義是：在靜止流體中任一點(diǎn)的單位位能與單位壓能之和，亦即單位勢(shì)能為常數(shù)。

ooZp—h(1)(2)

3、：?jiǎn)挝恢亓苛黧w所具有的勢(shì)能（potentialenergy），稱單位勢(shì)能。二、流體靜力學(xué)基本方程的幾何意義（geometicproperty）§2一3流體靜力學(xué)基本方程

流體靜力學(xué)基本方程中的各項(xiàng)，從量綱來(lái)看都是長(zhǎng)度，可用幾何高度來(lái)表示它的意義。在水力學(xué)中則常用水頭來(lái)表示一個(gè)高度。

2、：流體從所在點(diǎn)到水面所具有的高度，稱壓強(qiáng)水頭（pressurehead）

。

1、：流體從基準(zhǔn)面算起從到所在點(diǎn)的高度，稱位置水頭（elevationhead）

。

z

4、流體靜力學(xué)基本方程的幾何意義是：在靜止液體中任一點(diǎn)的位置水頭與壓強(qiáng)水頭之和，亦即測(cè)壓管水頭Hp為常數(shù)。

3、壓強(qiáng)水頭與位置水頭之和，稱測(cè)壓管水頭(piezometrichead)。。oo

Zp—h(1)(2)流體靜力學(xué)基本方程的幾何意義§2一3流體靜力學(xué)基本方程

2、在均質(zhì)（=常數(shù)）、連通的液體中，水平面（=常數(shù)）必然是等壓面（=常數(shù)）。

1、僅受重力作用處于靜止?fàn)顟B(tài)的流體中，任意點(diǎn)對(duì)同一基準(zhǔn)面的單位勢(shì)能為一常數(shù)，即各點(diǎn)測(cè)壓管水頭相等，位頭增高，壓頭減低。2-3-4靜壓強(qiáng)分布圖

§2一3流體靜力學(xué)基本方程

1、靜壓強(qiáng)分布圖(diagramofpressuredistribution)：表示出各點(diǎn)靜壓強(qiáng)大小和方向的圖。

2、靜壓強(qiáng)分布圖繪制：

在液體中取任意鉛直面AB，并設(shè)縱坐標(biāo)為h，橫坐標(biāo)為p，

1)由式p=h計(jì)算壓強(qiáng)值，選好比例尺，用線段長(zhǎng)度表示壓強(qiáng)大?。?/p>

2)以帶箭頭的線段垂直指向受壓面，以表示壓強(qiáng)的方向；

3)以直線或曲線連接箭的尾端，畫成完整的靜水壓強(qiáng)分布圖。h

h§2一3流體靜力學(xué)基本方程靜壓強(qiáng)分布圖繪制：

2—3—5測(cè)壓計(jì)

(manometer)

/壓強(qiáng)表（pressuregage）§2一3流體靜力學(xué)基本方程

1．測(cè)壓管：

根據(jù)流體靜力學(xué)基本方程

測(cè)壓管（PiezometricTube）：是以液柱高度為表征測(cè)量點(diǎn)壓強(qiáng)的連通管。

適用范圍：測(cè)壓管適用于測(cè)量較小的壓強(qiáng)。A

hp0

2．U形管測(cè)壓計(jì)(U-tubePiezometer)：§2一3流體靜力學(xué)基本方程

根據(jù)流體靜力學(xué)基本方程

絕對(duì)壓強(qiáng)和相對(duì)壓強(qiáng)值:

適用范圍：用于測(cè)定管道或容器中某點(diǎn)流體壓強(qiáng)。

U形管測(cè)壓計(jì)：一般是一根兩端開(kāi)口的U形玻璃管，管徑不小于10mm。在管子的彎曲部分盛有與待測(cè)流體不相混摻的某種液體，如測(cè)量氣體壓強(qiáng)時(shí)可盛水或酒精，測(cè)量液體壓強(qiáng)時(shí)可盛水銀等。

U形管測(cè)壓計(jì)一端與待測(cè)點(diǎn)A處的器壁小孔相接通，另一端與大氣相通。

例2-1設(shè)有一盛靜水的密閉容器，如圖2-12所示。由標(biāo)尺量出水銀真空計(jì)左肢內(nèi)

水銀液面距A點(diǎn)的鉛垂高度h1=0.46m，真空計(jì)左右兩肢內(nèi)水銀液面高差h2=0.4m。試

求容器內(nèi)液體中點(diǎn)A的真空度hAv?！?一3流體靜力學(xué)基本方程解：

2．U形管壓差(differentialpressure)計(jì)§2一3流體靜力學(xué)基本方程根據(jù)流體靜力學(xué)基本方程絕對(duì)壓強(qiáng)或相對(duì)壓強(qiáng)差值:

壓差計(jì)空氣壓差計(jì)：用于測(cè)中、低壓差油壓差計(jì)：用于測(cè)很小的壓差水銀壓差計(jì)：用于測(cè)高壓差

適用范圍：測(cè)定液體中兩點(diǎn)的壓強(qiáng)差或測(cè)壓管水頭差。

U形管壓差（比壓）計(jì)：它一般亦是一根兩端開(kāi)口的U形玻璃管，在管子的彎曲部分盛有與待測(cè)流體不相混摻的某種液體。U形管壓差計(jì)的兩端分別與兩待測(cè)點(diǎn)A、B處的器壁小孔相接通。

若A、B中流體均為水，3為水銀，h3=h，則§2一3流體靜力學(xué)基本方程A+13zAh1h2

h3zBNMho

oz02+B

得到：

例2-2設(shè)水銀壓差計(jì)與三根有壓水管相連接，如圖2-14所示。已知A、B、C三點(diǎn)的高程相同，壓差汁水銀液面的高程，自左肢向右肢分別為0.21m，1.29m，1.78m。試求A、B、C三點(diǎn)之間的壓強(qiáng)差值?！?一3流體靜力學(xué)基本方程解：1-1水平面為等壓面。設(shè)壓差計(jì)左肢內(nèi)水銀液面距A點(diǎn)的高度為h，則，因此§2一3流體靜力學(xué)基本方程思考題

1、若人所能承受的最大壓力為1.274MPa（相對(duì)壓強(qiáng)），則潛水員的極限潛水深度

為多少？

2、若測(cè)壓管水頭為1m，壓強(qiáng)水頭為1.5m，則測(cè)壓管最小長(zhǎng)度應(yīng)該為多少？

3、為什么虹吸管能將水輸送到一定的高度？潛水員的極限潛水深度為oop1/=1.5z測(cè)壓管最小長(zhǎng)度為1.5m。因?yàn)楹缥軆?nèi)出現(xiàn)了真空?！?一3流體靜力學(xué)基本方程思考題

1、靜水中某點(diǎn)的絕對(duì)壓強(qiáng)為39.2kN/m2。問(wèn)該點(diǎn)是否存在真空？若存在，則真空高度為多少？

2、基本方程z+p/γ中，壓強(qiáng)p是相對(duì)壓強(qiáng)還是絕對(duì)壓強(qiáng)？或二者都可？為什么？相對(duì)；不可；絕對(duì)需加水頭10m，而已互相抵消。

1、在傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)中，為什么常用水銀作U型測(cè)壓管的工作流體？

2、測(cè)壓管的管徑不應(yīng)小于1cm，為什么？

壓縮性??；

汽化壓強(qiáng)低；

密度大。避免毛細(xì)現(xiàn)象§2-4液體的相對(duì)平衡

§2-4液體的相對(duì)平衡

一、圓桶以等加速度a=g自由降落

受力分析：

重力：積分得：

慣性力：

說(shuō)明圓筒內(nèi)各點(diǎn)壓強(qiáng)相同。桶底總壓力為：

合力：

代入：

相對(duì)平衡（relativeequilibrium）：指各液體質(zhì)點(diǎn)彼此之間及液體與器皿之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。相對(duì)平衡液體中，質(zhì)量力除重力外，還受到慣性力的作用。

二、圓筒容器，繞其鉛垂中心軸以等角轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)

§2-4液體的相對(duì)平衡

1、液體中壓強(qiáng)分布的規(guī)律

原點(diǎn)取在旋轉(zhuǎn)軸與自由表面的交點(diǎn)上，z軸鉛垂向上。

受力分析：

離心慣性力：

重力：

單位質(zhì)量力分量：

合力：

代入：

積分得：§2-4液體的相對(duì)平衡

在原點(diǎn)處，x=y=z=0，壓強(qiáng)為p0，所以C=p0。

當(dāng)以相對(duì)壓強(qiáng)計(jì)，則為

-----(2-20)

------(2-21)

2、等壓面方程及其形狀

§2-4液體的相對(duì)平衡

取p為某一常數(shù)，可得等壓面方程

它表明等壓面是一族以z為軸的旋轉(zhuǎn)拋物面，不同的壓強(qiáng)p值有一相應(yīng)的等壓旋轉(zhuǎn)拋物面(paraboloid)

。

對(duì)于自由表面，p=0，自由表面(freesurface)方程為

表示半徑r處的液面高出坐標(biāo)平面Oxy的鉛垂距離。所以：

是任一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)后自由表面以下的深度。

-------(2-23)

-----(2-22)

所以：

它表明旋轉(zhuǎn)后液體中在鉛垂線上的壓強(qiáng)分布和靜壓強(qiáng)一樣，按直線規(guī)律分布。gAxyrAzoxxyyop0zz0hB

等角轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)液體的一個(gè)顯著特點(diǎn)，就是在同一水平面上軸心處的壓強(qiáng)最低，邊緣處的壓強(qiáng)最高?！?-4液體的相對(duì)平衡

注意：在旋轉(zhuǎn)液體中各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭不等于常數(shù)。

例2-4§2-4液體的相對(duì)平衡

試用容器作等角轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)時(shí)的液體平衡原理來(lái)說(shuō)明離心分離器的分離原理。

當(dāng)ml=m時(shí)，ΔF=0，雜質(zhì)混合在流體中，不能用這個(gè)原理來(lái)清除。當(dāng)m1>m時(shí)，ΔF向右下方傾斜，雜質(zhì)在ΔF的作用下，下沉于底部。離心除塵器除去空氣中粉塵的。當(dāng)m1<m時(shí)，ΔF向左上方傾斜，雜質(zhì)在ΔF的作用下，上浮于流體表面。油脂分離器回收水中的油脂。

合力：

解：設(shè)開(kāi)敞容器中的液體混有雜質(zhì)，ml為某一雜質(zhì)的質(zhì)量，m為與該雜質(zhì)同體積的流體質(zhì)量，容器繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)的等角轉(zhuǎn)速為ω，該雜質(zhì)離旋轉(zhuǎn)軸的距離為r。

受力分析：

鉛垂方向：重力ΔG與浮力ΔFB之差

水平方向：離心慣性力ΔFI與壓力差ΔFp之差

§2-4液體的相對(duì)平衡思考題

1、“等壓面必為水平面”，這種說(shuō)法正確嗎？為什么？否；因?yàn)橄鄬?duì)平衡的流體存在慣性力

2、在靜止流體中，各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭是否相等？在流動(dòng)流體中呢？相等；均勻流、漸變流中相等，急變流中不相等，例如：在旋轉(zhuǎn)液體中各點(diǎn)的測(cè)壓管水頭不等于常數(shù)?！?-5作用在平面上的液體總壓力

§2-5作用在平面上的液體總壓力

2-5-1圖解法

靜壓強(qiáng)分布圖的體積：根據(jù)繪制靜壓強(qiáng)分布圖的方法，做出的整個(gè)矩形平面上靜壓強(qiáng)分布圖的直角三棱柱體圖。

A’’A’B’’B’ABCC’’C’

流體總壓力（Totalpressure）：作用在容器或建筑物上的流體壓力，包括它的大小、方向和作用點(diǎn)。確定靜止流體作用在平面上的總壓力的方法，有圖解法和解析法。

1、液體總壓力Fp的大小：§2-5作用在平面上的液體總壓力

即為靜壓強(qiáng)分布圖的體積，它等于矩形平面對(duì)稱軸AB垂線上靜壓強(qiáng)分布圖ABC的面積Ω與矩形平面頂寬b的相乘積。

-------(2-24)

2、液體總壓力Fp的方向：§2-5作用在平面上的液體總壓力

垂直于矩形平面，并指向平面。液體總壓力的作用線通過(guò)靜壓強(qiáng)分布圖體積的重心，或者講通過(guò)矩形平面對(duì)稱軸AB線上的靜壓強(qiáng)分布圖面積的形心。

3、液體總壓力Fp的作用點(diǎn)：

液體總壓力作用線與矩形平面相交的作用點(diǎn)D稱壓力中心(centerofpressure)。壓力中心D距自由表面的位置：

例2-6：§2-5作用在平面上的液體總壓力

設(shè)有一鉛垂放置的水平底邊矩形閘門，如圖2-22所示。已知閘門高度h=2m，寬度b=3m，閘門上緣到自由表面的距離hl=1m。試用圖解法求解作用在閘門上的靜水總壓力。

解：繪制閘門對(duì)稱軸AB線上的靜水壓強(qiáng)分布圖ABEF。根據(jù)式(2-24)可得靜水總壓力大小

靜水總壓力Fp的方向垂直于閘門平面，并指向閘門。

bh

壓力中心D距自由表面的位置yD，根據(jù)合力矩定理§2-5作用在平面上的液體總壓力

則

根據(jù)合力矩定理，

,得

2-5-2解析法

§2-5作用在平面上的液體總壓力

1、作用力的大小

微小面積dA上的液體總壓力:

整個(gè)受壓平面面積為A上的液體總壓力為:-------(2-25)

作用在任意形狀平面上的液體總壓力大小，等于該平面的淹沒(méi)面積與其形心處?kù)o壓強(qiáng)的乘積，而形心處的靜壓強(qiáng)就是整個(gè)受壓平面上的平均壓強(qiáng)。hDhchdFFyycyDEF自由液面DCMxyoα

2、液體總壓力Fp的方向：§2-5作用在平面上的液體總壓力

總壓力的方向垂直于平面，并指向平面。

3、液體總壓力Fp的作用點(diǎn)（壓力中心）：

根據(jù)合力矩(momentofforce)定理(即：合力對(duì)任一軸的力矩等于各分力對(duì)該軸力矩之代數(shù)和):-------(2-26，27)

得

式中：Ix—面積A繞ox軸的慣性矩(momentofinertia)。

Ic—面積A繞其與ox軸平行的形心軸的慣性矩。hDhchdFFyycyDEF自由液面DCMxyoα注意：只要平面面積與形心深度不變:§2-5作用在平面上的液體總壓力

1、面積上的總壓力就與平面傾角α無(wú)關(guān)；

2、壓心的位置與受壓面傾角α無(wú)關(guān)，并且壓心總是在形心之下。只有當(dāng)受壓面位置為水平放置時(shí)，壓心與形心才重合。h垂直水平傾斜

例2-7：§2-5作用在平面上的液體總壓力

試用解析法求解例2-6所述情況下的作用在閘門上的靜水總壓力Fp

。

解：由式(2-25)知

靜水總壓力Fp的方向垂直于閘門平面，并指向閘門。

壓力中心D距自由表面的位置yD，根據(jù)合力矩定理§2-5作用在平面上的液體總壓力思考題h

2、擋水面積為A的平面閘門，一側(cè)擋水，若饒通過(guò)其形心C的水平軸任轉(zhuǎn)角，其靜水總壓力的大小、方向和作用點(diǎn)是否變化？為什么？相同；不相同

1、浸沒(méi)在水中的三種形狀的平面物體，面積相同。問(wèn)：哪個(gè)受到的靜水總壓力最大？壓心的水深位置是否相同？大小不變；方向變；作用點(diǎn)變

3、使用圖解法和解析法求靜水總壓力時(shí)，對(duì)受壓面的形狀各有無(wú)限制？為什么？圖解法有，規(guī)則形狀，為作壓強(qiáng)分布圖；解析法無(wú)?！?-6作用在曲面上的液體總壓力

§2-6作用在曲面上的液體總壓力

一、水平主軸的二向曲面上的液體總壓力

二向曲面，即具有水平或鉛垂主軸的圓柱形曲面。

M§2-6作用在曲面上的液體總壓力

§2-6作用在曲面上的液體總壓力

一、水平主軸的二向曲面上的液體總壓力

二向曲面，即具有水平或鉛垂主軸的圓柱形曲面。

M

微小面積上的液體總壓力為：

水平分力、鉛垂分力

水平總分力、鉛垂總分力

液體總壓力大?。骸?-6作用在曲面上的液體總壓力

作用在圓柱形曲面上液體總壓力的水平總分力的大小等于該淹沒(méi)曲面相應(yīng)的鉛垂投影面積上所承受的液體總壓力。FPx的方向和作用線，則用前一節(jié)所述的方法即可確定

。

M

作用在圓柱形曲面上液體總壓力的鉛垂總分力的大小等于壓力體體積的液體重量。FPz的作用線通過(guò)壓力體的重心(centerofgravity)；FPz的方向(向上或向下)取決于液體與曲面表面的相互位置。

壓力體（pressurevolume）：以曲面本身與其在自由表面(或自由表面的延續(xù)面)上的投影面積之間的鉛垂柱體A’B’C’A”B”C”幾何體。

它的體積稱壓力體體積V

。F

Px

壓力體：§2-6作用在曲面上的液體總壓力

壓力體的種類：

虛構(gòu)壓力體：壓力體被大氣所充滿，亦就是曲面背向液體，F(xiàn)Pz等于實(shí)際上沒(méi)有液體存在的壓力體體積的液體重量。虛壓力體Pz方向向上。

實(shí)在壓力體：壓力體被液體所充滿。實(shí)壓力體Pz方向向下。

壓力體體積的組成：（1）受壓曲面本身；（2）通過(guò)曲面周圍邊緣所作的鉛垂面；（3）自由液面或自由液面的延長(zhǎng)線。OAB(a)實(shí)壓力體Fz(b)虛壓力體BOAFz

液體總壓力FP

：§2-6作用在曲面上的液體總壓力

液體總壓力FP，的作用線與水平方向的夾角α為-------(2-30)

-------(2-31)

FP的作用線必通過(guò)FPx和FPz作用線的交點(diǎn)，但這個(gè)交點(diǎn)不一定在曲面上。

例2-8：§2-6作用在曲面上的液體總壓力

設(shè)有一弧形閘門，如圖2-25所示。已知閘門寬度b=3m，半徑r=2.828m，φ=45。，閘門可繞水平主軸(O軸)轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸距底面高度H=2m。試求閘門前水深h=2m時(shí)，作用在閘門上的靜水總壓力。

解：水平總分力FPx為

靜水總壓力FP為

鉛垂總分力FPz為

夾角α為

二、規(guī)則曲面組成的復(fù)合或復(fù)雜曲面的壓力體：§2-6作用在曲面上的液體總壓力+=+=ABCDEABCDEABCDEABABCDEAB

三、自由表面壓強(qiáng)與當(dāng)?shù)貕簭?qiáng)不同時(shí)的壓力體：§2-6作用在曲面上的液體總壓力

當(dāng)：壓力體的高度為h

。壓力體的頂面為自由表面(或延續(xù)面)。

當(dāng)：壓力體的高度為，壓力體的頂面在高于自由表面。當(dāng)：壓力體的高度為，壓力體的頂面在低于自由表面。

例：?jiǎn)螌拡A柱即b=1m，問(wèn)在浮力Pz的作用下能否沒(méi)完沒(méi)了的轉(zhuǎn)動(dòng)？§2-6作用在曲面上的液體總壓力

解：不能轉(zhuǎn)動(dòng)。因?yàn)樗芸倝毫Φ淖饔镁€通過(guò)軸心。（作用力總是垂直作用面，所以通過(guò)圓心）垂向力作用點(diǎn)到軸心的距離為所以不能轉(zhuǎn)動(dòng)。逆時(shí)針為負(fù)pxPzD軸心yDHa§2-6作用在曲面上的液體總壓力思考題

1、如何計(jì)算曲面上的靜水總壓力？

2、如何繪制壓力體？壓力體分為哪兩種形式？如何判別？§2-7浮力和潛體及浮體的穩(wěn)定

§2-7浮力和潛體及浮體的穩(wěn)定2-7-1阿基米德原理

浸沒(méi)于靜止流體中的潛體(sinkingbody)和漂浮在液面的浮體(floatingbody)所受的流體總壓力，即所謂浮力(buoyancy)問(wèn)題

。

水平總分力:

1、阿基米德原理：作用在浸沒(méi)于流體中物體的流體總壓力FPz，其大小等于該物體所排除的同體積的流體重量，方向向上。

AA'

B'

D

C

B

C'

D'F1

C'

D'F2

鉛垂總分力:

-------(2-31)

浮力：作用在浸沒(méi)于流體中物體的方向向上的流體總壓力FPz。

浮心(centerofbuoyancy)：浮力的作用點(diǎn)，與所排開(kāi)液體體積的形心(幾何中心)重合。

作用線(actingline)：通過(guò)物體的浮心。

2、浸沒(méi)物體的三態(tài)§2-7浮力和潛體及浮體的穩(wěn)定

(1)沉體：當(dāng)G>FB時(shí)，物體繼續(xù)下沉；

(2)潛體：當(dāng)G=FB時(shí)，物體可以在流體中任何深度處維持平衡；

(3)浮體：當(dāng)G<FB時(shí)，物體上升，減少浸沒(méi)在液體中的物體體積，從而減小浮力；當(dāng)所受浮力等于物體重力時(shí)，則達(dá)到平衡的位置。2-7-2潛體及浮體的穩(wěn)定

§2-7浮力和潛體及浮體的穩(wěn)定一、潛體的平衡與穩(wěn)定性

潛體的穩(wěn)定性(stability)：潛體在傾斜后恢復(fù)其原來(lái)平衡位置的能力。

潛體平衡(balance)條件：重力與浮力相等，物體的重心和浮心位于同一鉛垂線上。

潛體的穩(wěn)定平衡條件：重力G與浮力FB大小相等，且重心C在浮心D之下。

2、潛體平衡的三種情況

不穩(wěn)定平衡(instabilitybalance)：重心C位于浮心D之上。重力G與浮力FB將產(chǎn)生一個(gè)使?jié)擉w繼續(xù)傾斜的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩，潛體不能恢復(fù)其原位。