第三章點、直線、平面的投影

第三章點、直線、平面的投影第三章投影法和點、直線、平面的投影§3-1

投影法§3-2

多面正投影和點的投影§3-3

直線的投影§3-4

平面的投影§3-5

直線與平面以及兩平面之間的相對位置一、投影法的基本知識§3-1投影法投射線通過物體，向選定的面投射，并在該面上得到圖形的方法。投影法:所有投射線的起源點。投射中心:發(fā)自投射中心且通過物體上各點的直線。投射線:投影面:在投影法中得到投影的面。投影(圖):根據(jù)投影法所得到的圖形?！?-1投影法二、投影法的分類§3-1投影法一、多面正投影§3-2多面正投影和點的投影

將在互相垂直的兩個或多個投影面上得到的正投影展開在同一圖面上，并進行有規(guī)則地配置，這樣的圖形稱為正投影或正投影圖?！?-2多面正投影和點的投影二、點在兩投影面體系第一分角中的投影§3-2多面正投影和點的投影三、點在三投影面體系第一分角中的投影§3-2多面正投影和點的投影1.點的投影與坐標§3-2多面正投影和點的投影2.投影面和投影軸上的點§3-2多面正投影和點的投影3.兩點的相對位置§3-2多面正投影和點的投影4.重影點§3-2多面正投影和點的投影一、直線及直線上點的投影特性§3-3直線的投影3.直線上點的投影，必在直線的同面投影上。1.不垂直于投影面的直線的投影，仍為直線。4.不垂直于投影面的直線段上的點，分割直線段之比，在投影圖上仍保持不變。2.垂直于投影面的直線的投影，積聚成一點?！?-3直線的投影一、直線及直線上點的投影特性（舉例）§3-3直線的投影二、直線對投影面的各種相對位置§3-3直線的投影直線按對投影面的相對位置，可以分為三類：側垂線（⊥W

面）鉛垂線（⊥H

面）側平線（∥W

面）水平線（∥H

面）正垂線（⊥V

面）垂直于一個投影面，與另外兩個投影面平行。投影面的垂直線正平線（∥V

面）投影面的平行線與三個投影面都傾斜（∠V

面、∠H

面、∠W

面）一般位置直線平行于一個投影面，與另外兩個投影面傾斜。直線對投影面的相對位置特殊位置直線

直線分類1.一般位置直線§3-3直線的投影2.投影面平行線§3-3直線的投影3.投影面垂直線§3-3直線的投影三、兩直線的相對位置§3-3直線的投影空間兩直線可以有三種不同的相對位置：平行相交交叉同面直線異面直線三、兩直線的相對位置§3-3直線的投影空間兩直線可以有三種不同的相對位置：平行相交交叉同面直線異面直線表：兩直線的相對位置的投影特性§3-3直線的投影三、兩直線的相對位置(舉例）§3-3直線的投影三、兩直線的相對位置(舉例）§3-3直線的投影三、兩直線的相對位置(舉例）§3-3直線的投影四、投影變換的基本概念§3-3直線的投影研究如何改變空間幾何元素與投影面的相對位置，借助于改變以后所得到的新投影——輔助投影，來簡便地解決空間問題的方法。常用的投影變換方法：換面法：用更換投影面來改變空間幾何元素與投影面相對位置的方法。投影變換：換面法旋轉法1.換面法的基本作圖法(情況一)§3-3直線的投影1.換面法的基本作圖法(情況二)§3-3直線的投影1.換面法的基本作圖法(情況三)§3-3直線的投影2.直線換面法（舉例）§3-3直線的投影2.直線換面法(舉例)§3-3直線的投影2.直線換面法（舉例）§3-3直線的投影五、一邊平行于投影面的直角的投影§3-3直線的投影

當空間兩直線成直角（相交或交叉）時：（1）若兩邊都與某投影面傾斜，則在該面上的投影不是直角。（2）若兩邊都與某投影面平行，則在該面上的投影反映直角。（3）若一邊平行于某投影面，則在該面上的投影仍是直角。五、一邊平行于投影面的直角的投影§3-3直線的投影當空間兩直線成直角（相交或交叉）時：（1）若兩邊都與某投影面傾斜，則在該面上的投影不是直角。（2）若兩邊都與某投影面平行，則在該面上的投影反映直角。（3）若一邊平行于某投影面，則在該面上的投影仍是直角。五、一邊平行于投影面的直角的投影§3-3直線的投影五、一邊平行于投影面的直角的投影§3-3直線的投影六、用直角三角形法求直線的真長及對投影面的傾角§3-3直線的投影

特殊位置直線在三面投影中能直接顯示其真長及對投影面的傾角，而一般位置直線則不能。除用換面法外，還可用直角三角形法求一般位置直線的真長和傾角?！?-3直線的投影六、用直角三角形法求直線的真長及對投影面的傾角一、平面的表示法§3-4平面的投影

平面通常用確定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示。一、平面的表示法§3-4平面的投影

平面通常用確定該平面的點、直線或平面圖形等幾何元素的投影表示。

上述5種方式中，平面圖形是最常用的表示方式。§3-4平面的投影二、平面對投影面的各種相對位置§3-4平面的投影平面按對投影面的相對位置，可以分為三類：

平面分類平面對投影面的相對位置特殊位置平面

投影面平行面平行于一個投影面，垂直于另外兩個投影面正平面（∥V面）水平面（∥H

面）側平面（∥W

面）投影面垂直面只垂直于一個投影面正垂面（⊥V

面）鉛垂面（⊥H

面）側垂面（⊥W

面）一般位置平面與三個投影面都傾斜（∠V

面、∠H

面、∠W

面）1.一般位置平面§3-4平面的投影2.投影面垂直面§3-4平面的投影3.投影面平行面§3-4平面的投影三、用有積聚性的跡線表示特殊位置平面§3-4平面的投影平面主要用幾何元素表示，也可以用跡線表示，跡線是平面與投影面的交線。三、用有積聚性的跡線表示特殊位置平面§3-4平面的投影平面主要用幾何元素表示，也可以用跡線表示，跡線是平面與投影面的交線。四、平面上的點和直線§3-4平面的投影四、平面上的點和直線（舉例）§3-4平面的投影§3-4平面的投影

因為特殊位置平面在它所垂直的投影面上的投影積聚成直線，所以特殊位置平面上的點、直線和平面圖形在該平面所垂直的投影面上的投影，都位于這個平面的有積聚性的同面投影或跡線上。四、平面上的點和直線（舉例）§3-4平面的投影四、平面上的點和直線（舉例）五、圓的投影§3-4平面的投影六、平面在換面法中的基本情況（情況一）§3-4平面的投影六、平面在換面法中的基本情況（情況二）§3-4平面的投影六、平面在換面法中的基本情況（情況三）§3-4平面的投影§3-4平面的投影六、平面在換面法中的基本情況（舉例）§3-4平面的投影六、平面在換面法中的基本情況（情況三）§3-4平面的投影七、旋轉法作投影面垂直面的真形和一般位置直線的真長保持原投影面體系不變，把空間幾何元素繞選定的軸線轉到與投影面成特殊位置，以達到求解幾何問題的目的，這種方法稱為旋轉法。當一點繞垂直于某一投影面的軸旋轉時，它的運動軌跡在該投影面上的投影為一圓，在另一投影面上的投影為一條垂直于旋轉軸的直線，這種方法稱為繞投影面垂直線為軸的旋轉法。繞投影面垂直軸的旋轉法基本概念§3-4平面的投影七、旋轉法作投影面垂直面的真形和一般位置直線的真長已知△ABC的兩面投影，求△ABC的真形?！叭痹瓌t在旋轉時，各幾何元素必須繞同一根軸，按同一方向，旋轉同一角度旋轉。分析：AB為鉛垂線，AC和BC為一般位置直線。以AB為旋轉軸，旋轉點C，使水平投影ac1和bc1與OX軸相平行即可。作圖：

1.以水平投影ab重影點為圓心，ac長為半徑畫圓弧，使ac1∥OX，得到c1點。

2.過點c’作OX的平行線與過點c1的OX的垂直線相交于c1’。

3.連線a’c1’、b’c1’和ac1，完成作圖。這時△a’b’c1’為△ABC的真形，線段a’c1’為AC的真長，線段b’c1’為BC的真長?！鰽BC的真形AC的真長BC的真長一、在特殊情況下圖示與圖解§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置空間直線與平面以及平面與平面可以有以下幾種相對位置：

相交

直線與平面平行平行平面與平面平行

直線與平面相交平面與平面相交（其中垂直是相交的特例）§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置1.相交§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置直線與平面的交點是線面的共有點，兩平面的交線是兩面的共有直線。1.相交（舉例）§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置1.相交（舉例）§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置1.相交（舉例）2.平行§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置3.垂直§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置3.垂直(舉例)§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置與垂直于投影面的已知平面相垂直的平面必定包含已知平面的垂線，垂線是與已知平面相垂直的投影面的平行線，垂線的投影垂直于已知平面的有積聚性的同面投影。3.垂直二、用換面法解點、直線、平面的定位和度量問題§3-5直線與平面以及兩平面之間的相對位置

有關點、直線、平面的定位和度量問題，常常涉及它們對投影面的相對位置，它們之間