《變化率與導(dǎo)數(shù)》課件

變化率與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題1氣球膨脹率

在吹氣球的過(guò)程中,可發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加得越來(lái)越慢.從數(shù)學(xué)的角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?

結(jié)論：隨著氣球體積逐漸變大,它的平均膨脹率逐漸變小.（一）平均變化率思考：當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時(shí),氣球的平均膨脹率是多少?問(wèn)題2高臺(tái)跳水

在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中,運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度h(單位:m)與起跳后的時(shí)間t(單位:s)存在函數(shù)關(guān)系

在某段時(shí)間內(nèi)，高度相對(duì)于時(shí)間的變化率用平均速度來(lái)描述。

即:在0≤t≤0.5這段時(shí)間里,在1≤t≤2這段時(shí)間里,問(wèn)題2.平均速度.思考：求t1到t2時(shí)的平均速度．

觀察函數(shù)f(x)的圖象OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)平均變化率的定義：一般地，函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為

令△x=

x2–x1,△y=

f(x2)–

f(x1),則平均變化率可以表示為幾何意義是表示曲線上兩點(diǎn)連線（就是曲線的割線）的斜率。例1、已知函數(shù)f(x)=2x+1,計(jì)算在區(qū)間[1，2]上f(x)的平均變化率.

例2、已知函數(shù)f(x)=x2,計(jì)算f(x)在下列區(qū)間[1，3]上的平均變化率：

例3

已知f(x)=2x2+1(1)求:其從x1到x2的平均變化率；(2)求:其從x0到x0+Δx的平均變化率.平均速度不能反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，

需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).探究討論：（二）、導(dǎo)數(shù)的概念在高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，平均速度不能反映他在這段時(shí)間里運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，需要用瞬時(shí)速度描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài).我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度.

又如何求瞬時(shí)速度呢?

平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì).如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?求：從2s到(2+Δt)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度Δt

<0時(shí)，在[2+Δt,2]這段時(shí)間內(nèi)Δt

>0時(shí),在[2,2+Δt

]這段時(shí)間內(nèi)當(dāng)Δt=–0.01時(shí),當(dāng)Δt=

0.01時(shí),當(dāng)Δt=–0.001時(shí),當(dāng)Δt=0.001時(shí),當(dāng)Δt=–0.0001時(shí),當(dāng)Δt=0.0001時(shí),Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,

平均變化率近似地刻畫(huà)了曲線在某一區(qū)間上的變化趨勢(shì).如何精確地刻畫(huà)曲線在一點(diǎn)處的變化趨勢(shì)呢?…………

當(dāng)Δt趨近于0時(shí),即無(wú)論t從小于2的一邊,還是從大于2的一邊趨近于2時(shí),平均速度都趨近與一個(gè)確定的值–13.1.

從物理的角度看,時(shí)間間隔|Δt

|無(wú)限變小時(shí),平均速度就無(wú)限趨近于t=2時(shí)的瞬時(shí)速度.因此,運(yùn)動(dòng)員在t=2

時(shí)的瞬時(shí)速度是–13.1.表示“當(dāng)t=2,Δt趨近于0時(shí),平均速度趨近于確定值–13.1”.從2s到(2+△t)s這段時(shí)間內(nèi)平均速度1.運(yùn)動(dòng)員在某一時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度怎樣表示?2.函數(shù)f(x)在x=

x0處的瞬時(shí)變化率怎樣表示?導(dǎo)數(shù)的概念一般地，函數(shù)y=f(x)

在點(diǎn)x=x0處的瞬時(shí)變化率是我們稱它為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為或，即說(shuō)明：（1）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限．如果不存在極限，就說(shuō)函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)．點(diǎn)是自變量x在處的改變量，，而是函數(shù)值的改變量，可以是零．

（2）由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):例1.(1)求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).(2)求函數(shù)f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．(3)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=t2+3，求質(zhì)點(diǎn)在t=3的瞬時(shí)速度.三．典例分析

例1將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品,需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果第xh