高中物理競賽之運(yùn)動定理

質(zhì)點動力學(xué)運(yùn)動定理動量、動量定理功與能動量矩(角動量）定理有心力問題曲線的功合力所做的功等于分力所做功的代數(shù)和。內(nèi)積(標(biāo)量積)功功的性質(zhì)(1)功是過程量，一般與路徑有關(guān)。(2)功是標(biāo)量，但有正負(fù)。

(3)

合力的功為各分力的功的代數(shù)和。引力的功

兩個質(zhì)點之間在萬有引力作用下相對運(yùn)動時，以M所在處為原點,

M指向m的方向為矢徑r的正方向。m受的引力方向與矢徑方向相反。m在M的萬有引力的作用下從a

點運(yùn)動到b點，萬有引力的功:

與路徑無關(guān)彈力的功

kOabkOacbOakkOabkOa<0Potentialenergy(勢能)與相互作用物體的位置有關(guān)的能量。勢能的增量等于保守力所做功的負(fù)值.

(1)保守力做功勢能GravitationalpotentialenergyElasticpotentialenergy關(guān)于勢能：勢能總是與保守力相聯(lián)系。存在若干種保守力時，就可引進(jìn)若干種勢能。勢能的絕對數(shù)值與零勢能位形的選取有關(guān)，但勢能的差與之無關(guān)。不同保守力對應(yīng)的勢能，其零勢能位形的選取可以不同。(3)勢能既然與各質(zhì)點間相互作用的保守力相聯(lián)系，因而為體系所共有。(4)與勢能相聯(lián)系的是保守力對質(zhì)點系所作的總功，與參考系無關(guān)。

(2)勢能保守力梯度：Example:

findgravityfromgravitationalpotentialV=mgySolution:動能定理:運(yùn)動質(zhì)點的動能的增加等于其它物體對它所做的功.Kineticenergy(動能)

T=1/2mv2Conservationofmechanicalenergy

機(jī)械能守恒原理功能原理作用于質(zhì)點的力FFc所作的功Wc可用勢能的減少來表示.Fd所作的功Wn不（可）用勢能的減少來表示.系統(tǒng)機(jī)械能的增量等于外力的功和非保守力內(nèi)力的功的總和。例（P221）：質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在環(huán)繞地球的圓軌道上,軌道半徑為,求衛(wèi)星的勢能\動能和機(jī)械能.(不計空氣阻力)（1）勢能（2）動能ROIPhO14-1一質(zhì)點沿正半軸OX運(yùn)動，作用在質(zhì)點上有一個力F(x)=-10N。

在原點有一完全反射的墻。同時，摩擦力f=1.0N也作用在質(zhì)點上。質(zhì)點以E0=10J的動能從x0＝1.0m出發(fā)。（1）確定質(zhì)點在最終靜止前所經(jīng)過的路程長度，（2）畫出質(zhì)點在力場F中的勢能圖，（3）描繪出作為x函數(shù)的速度的定性圖。(1)類似于有阻力的自由落體，向上時加速度為11，下落時加速度為9，落回地面后又彈起。所以直到在原點速度為零才會靜止。F是保守力，所以

fS=E0+|F|x0S=20m.(2)Ep=|F|x+c

向上時加速度為11，下落時加速度為9

動量、動量定理動量:沖量I:由牛頓第二定律：動量定理的微分形式動量定理的積分形式例

如圖所示，一質(zhì)量為m的小球在兩個壁面以速度vo來回彈跳，碰撞是完全彈性的，忽略重力貢獻(xiàn)。（1）求每個壁所受的平均作用力F，（2）如果一個壁表面以v<<vo的速率慢慢地移向另一個表面，則回跳頻率由于碰撞間距離的減少以及球從運(yùn)動的表面碰回時，小球的速率增大而增加，求出用表面的距離x來表示的力F。（3）證明：把表面從距離l推近到距離x時所做的功等于球的動能的增加。mv0vlx（1）因為是完全彈性碰撞，小球反彈的速度還是vo，所以小球每一次與壁面碰撞動量的變化是2mvo,即單次碰撞墻壁受到的沖量為2mvo，單位時間內(nèi)的碰撞次數(shù)（碰撞頻率）為f=vo/2l,單位時間墻壁受到的總沖量即是墻壁受到的平均作用力，所以

(2)設(shè)兩個壁面之間距離為x時小球的速度為u,與上一問類似，碰撞頻率為f=u/2x，每一次碰撞墻壁受到的沖量為2mu，所以求兩壁之間距離為x時的速度u。小球與壁面相繼兩次碰撞的時間間隔為每一次碰撞速度的增量為2ｖ小球速度的速度增加率積分得利用以上結(jié)論還容易證明，把表面從距離l推近到距離x時所做的功等于球的動能的增加角動量與

角動量守恒

勻速直線運(yùn)動的

一個守恒量掠面速度:Arealvelocity掠面速度：位矢r在單位時間內(nèi)掃過的面積。推廣到有心力！掠面速度Cc//SB，所以三角形SBC與SBc等高有心力作用下掠面速度相等。牛頓的推理：???有心力作用下角動量守恒守恒量m定義：動量矩角動量mmMomentofinertia轉(zhuǎn)動慣量動量矩(角動量）定理

質(zhì)點對軸的動量矩等于對軸上任意一點的動量矩在該軸上的投影。

關(guān)于軸線的動量矩zApypxBpCSyyxxzAFyFxBFCSyyxx

直角坐標(biāo)系

力對線的力矩

極坐標(biāo)系FFBAFCS

力對參考點o的力矩M：受力質(zhì)點相對于o點的位置矢量r與力F矢量的矢積。AFMroSM=Frsin

力對于參考點的力矩力對軸上任意一點力矩在該軸上的投影等于力對該軸的力矩。

動量矩(角動量）定理—平面運(yùn)動極坐標(biāo)：

可以變化

直角坐標(biāo)：請自己證明：動量矩(角動量）守恒

若作用于質(zhì)點的力對參考點o的力矩之和保持為零，則質(zhì)點對該點的動量矩不變。開普勒第二定律對任一個行星說，它的徑矢在相等的時內(nèi)掃過相等的面積。

運(yùn)動的質(zhì)點所受力的作用線始終通過某個定點。

作用力——有心力，定點——力心在有心力作用下，質(zhì)點在通過力心的平面內(nèi)運(yùn)動。有心力有心力問題的基本方程以力心為極點的極坐標(biāo)系兩個基本方程動量矩守恒原理機(jī)械能守恒原理有心力為保守力TheLawsofPlanetaryMotion

Kepler‘sFirstLaw:

Theorbitsoftheplanetsareellipses,withtheSunatonefocusoftheellipse.

行星沿橢圓軌道繞太陽運(yùn)行，太陽位于橢圓的一個焦點上。

Kepler'sSecondLaw:ThelinejoiningtheplanettotheSunsweepsoutequalareasinequaltimesastheplanettravelsaroundtheellipse.對任一個行星說，它的徑矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。動量矩守恒Kepler'sThirdLaw:Theratioofthesquaresoftherevolutionaryperiodsfortwoplanetsisequaltotheratioofthecubesoftheirsemimajoraxes:行星繞太陽運(yùn)行軌道半長軸a的立方與周期T的平方成正比T2/a3=K引力與距離平方成反比例題：人造衛(wèi)星沿著橢圓軌道運(yùn)動，近地點離地心的距離為r1,遠(yuǎn)地點離地心的距離為r2,地球的質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，求：（1）衛(wèi)星在近地點和遠(yuǎn)地點的速度；（2）衛(wèi)星的總機(jī)械能。

試導(dǎo)出開普勒第三定律！IPhO11-1一質(zhì)量為m=12t的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上旋轉(zhuǎn)，其高度h=100km。為使飛船降落到月球表面，噴氣發(fā)動機(jī)在X點作一次短時間發(fā)動。從噴口噴出的熱氣流相對飛船的速度為u=10000m/s，月球半徑R=1700km,月球表面的重力加速度為g=1.7m/s2。飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖）（1）到達(dá)月球上A點，該點正好與X點相對；（2）在X點給一只向月球中心的動量后，與月球表面相切于B點。試計算上述兩種情形下所需要的燃料量。分析：畫出兩種情形的完整軌道。用能量判斷軌道：是否橢圓？哪一種情形燃料更多？飛船被加速還是減速了。圓軌道速度（1）XA之間距離即新軌道長軸為2R+h，能量為原軌道長軸為2(R+h),能量為在X點需要改變的動能：在X點需要改變的動能：（2）

質(zhì)心運(yùn)動定理(動量定理)

碰撞

動量矩定理

動能定理質(zhì)點組運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理——動量定理在質(zhì)點動力學(xué)中，“質(zhì)點”其實就是物體的質(zhì)心質(zhì)點組的動量定理（微分形式）：質(zhì)點組動量的時間變化率等于質(zhì)點組所受外力的矢量和。質(zhì)點組的動量定理（積分形式）：質(zhì)點組動量的改變等于質(zhì)點組在這段時間內(nèi)所受外力的沖量的矢量和。動量守恒原理質(zhì)心的動量守恒質(zhì)點組的動量守恒。質(zhì)點組的動量質(zhì)心的動量。內(nèi)力不可能改變質(zhì)點組的動量。（注意：各分量的守恒！）例(p243)：長為l質(zhì)量為m的軟繩，自靜止下落。開始（t=0)時，繩的下端與桌面恰相接觸，求下落過程中桌面對繩的反作用力。Zolzl-z具體分析（質(zhì)點組問題）運(yùn)動方程（質(zhì)心運(yùn)動定理）

!?Zolzl-z例．在水平桌面上有一卷質(zhì)量為m、長為l的鏈條，其一端用手以恒速v豎直向上提起（如圖所示），當(dāng)提起的長度為x時，(1)求手的提力為多少？做功多少？(2)鏈條獲得的機(jī)械能為多少？(3)比較以上功與機(jī)械能變化是否相等，你能解釋嗎？vx解:取提起的這一段鏈條為研究對象，它受到的合力為手的提力與這一段自身的重力之和，即

鏈條在dt時間內(nèi)，一段長度為dx=vdt的鏈條由靜止加速到v，其動量的增量為

該力做功為（2）鏈條獲得的機(jī)械能為動能和勢能之和（3）功與機(jī)械能變化的差是用功能原理來求力得不到正確結(jié)果!

動能定理

質(zhì)點的動能定理

質(zhì)點組的動能定理FikFkidridrk質(zhì)點i質(zhì)點k內(nèi)力可以改變質(zhì)點組的動能

（1）動能定理（2）質(zhì)點組的動能與質(zhì)心的動能r0r1r’i=ri-r0質(zhì)心質(zhì)點i=O柯尼希定理質(zhì)點組的動能=質(zhì)心的動能+質(zhì)點組相對于質(zhì)心的動能兩體問題的動能碰撞前的相對運(yùn)動動能：碰撞后的相對運(yùn)動動能：碰撞前后的動能改變：e=1,T=0;e<1,T<0碰撞后的相對速度（3）機(jī)械能守恒原理與功能原理

保守力下的質(zhì)點組機(jī)械能守恒原理在保守力作用下，質(zhì)點組的機(jī)械能保持不變。（機(jī)械能包括內(nèi)力的勢能）質(zhì)點組的功能原理Casestudy:

WorkdonebygravitationButifM~m,whatisthework?

勢能：屬于質(zhì)點組（整個系統(tǒng)）

Example:質(zhì)量為M、m的兩球原來相距為a，在萬有引力作用下逐漸靠近至相距為b，求在此過程中引力所作的功。abSolutionI:

InFrameMMmabCr1r2SolutionII:

Re.centerofmassM:m:M:m:各個力的功與參考系有關(guān)，但一對力的功與參考系的選擇無關(guān)。質(zhì)心系里，內(nèi)力的功與質(zhì)量成反比。對小質(zhì)量物體作功占主要地位。引力的功只與物體系統(tǒng)的初始和最終相對位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。

碰撞Collisions（1-D）對心碰撞（正碰）（兩球的相對速度沿球心聯(lián)線）

m1u1m2u2(u1>u2)

動量守恒原理碰撞前碰撞后碰撞過程壓縮階段恢復(fù)階段恢復(fù)系數(shù)

0<=e<=1完全彈性碰撞完全非彈性碰撞約化質(zhì)量動能

相等

不相等動量守恒原理+恢復(fù)系數(shù)的定義研究對心碰撞問題的兩個基本方程式質(zhì)心的速度m1=m2的完全彈性碰撞交換速度練習(xí)：試在質(zhì)心系中求解對心碰撞從特殊到一般的思路！兩體問題的動能AboutkineticenergyBeforecollision：Aftercollision：Relativevelocity,aftercollisionTherefore：e=1,T=0;e<1,T<0資用能：availableenergy,

對撞機(jī)Example:

Thegravitationalslingshoteffect.Theplanet

Saturnmovinginthenegativex-directionatitsorbitsspeed(withrespecttothesun)of9.6km/s.ThemassoftheSaturnis5.69×1026kg.Aspacecraftwithmass825kgapproachesSaturn,movinginitiallyinthe+xdirectionat10.4km/s.ThegravitationalattractionofSaturncausesthespacecrafttoswingarounditandheadoffintheoppositedirection.FindthespeedofthespacecraftafteritisfarenoughawaytobenearlyfreeofSaturn’sgravitationalpull.IPhO16-3在一項太空計劃中，討論了向太陽系外發(fā)射空間探測器的兩種方案。第一種方案是以足夠大的速度發(fā)射探測器，使其直接逃逸出太陽系。第二種方案是使探測器靠近外層行星，然后借助于行星改變其運(yùn)動方向，并達(dá)到逃逸出太陽系所必須的速度。假定探測器僅在太陽或行星的萬有引力場中運(yùn)動，究竟在那個引力場中運(yùn)動，這要看探測器所在點哪個場較強(qiáng)。（1）按照第一種方案發(fā)射時，試確定探測器必須具有的相對地球運(yùn)動的最小速度。（2）假定探測器已按（1）中確定的方向，然而以另一速度大小發(fā)射。試確定探測器與火星軌道相交時的速度，即確定相對于火星軌道的平行分量和垂直分量。發(fā)生相交時火星并不在交點附近。（3）設(shè)探測器進(jìn)入火星引力場以后再離開。求探測器從太陽系逃逸的最小發(fā)射速度。（4）估算第二種方案與第一種方案所節(jié)省的能量的最大百分比。注：假定所有行星在同一平面內(nèi)沿相同方向繞太陽在圓軌道上旋轉(zhuǎn)。忽略空氣阻力、地球自轉(zhuǎn)以及從地球引力場逃逸出所消耗的能量。數(shù)據(jù)：地球繞太陽旋轉(zhuǎn)的速度為34km/s,地球與火星離太陽的距離比為r=2/3。解:（1）第三宇宙速度問題行星的軌道速度為：在地球軌道上發(fā)射要求（以太陽為參照系）利用地球的軌道速度，只要求離開地球引力范圍后速度沿軌道方向，且相對于地球速度。（這個還不是第三宇宙速度，因為忽略了從地球引力場逃逸出所需要的能量。）如果借助于火星，則離開火星引力范圍后相對于火星的速度為。

(2)假定相對于太陽發(fā)射速度為v,（3）到達(dá)火星軌道的相對速度要達(dá)到接近火星的相對速度為在地球軌道上的相對速度為什么以火星為參照系？修正：考慮地球引力，地面發(fā)射速度與離開地心引力范圍后相對地球速度的關(guān)系，以上兩個發(fā)射速度平方都要加上2Rg，（4）方案1修正為

方案2修正為

為什么以地球為參照系？

i)質(zhì)點組動量矩定理質(zhì)點組動量矩定理

質(zhì)點組動量矩定理的微分形式：

質(zhì)點組