非壽險第四章.2

§4.2風險的異質(zhì)性

有限擾動信度理論假設歷史經(jīng)驗數(shù)據(jù)的誤差純粹是由隨機性引起的。但實際情況有可能不是這樣的。歷史經(jīng)驗數(shù)據(jù)的誤差除了由隨機性引起外，還有可能與某些因素有關。1、風險異質(zhì)2、結構函數(shù)3、索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的風險異質(zhì)性的識別4、索賠次數(shù)數(shù)據(jù)風險異質(zhì)時的結構函數(shù)(4-8)隨機變量X——某一險種的實際損失X可以代表該險種的索賠次數(shù)，索賠頻率或賠款額。X的風險大小一般用來度量，稱為風險參數(shù)猶如Poisson分布中的。若風險同質(zhì)，取某個固定的值；若風險異質(zhì)，服從某個分布，其密度記為。4.2.2結構函數(shù)在服從連續(xù)型分布時，表示密度函數(shù)。信度理論中：——稱為結構函數(shù)(structurefunction)，貝葉斯統(tǒng)計推斷中：——稱為先驗分布。在服從離散型分布時，表示分布律；在信度理論中，給定后，X的條件概率密度記為，并稱X的邊際密度：為混合分布。如果是離散型取值，其中的積分應理解為求和。同時人們發(fā)現(xiàn)取伽瑪分布為結構函數(shù)能很好地描述風險的異質(zhì)性。

結構函數(shù)是描述和處理風險異質(zhì)性的一個重要方法。結構函數(shù)的選取，取決于我們對實際情況和貝葉斯統(tǒng)計推斷的了解程度。比如關于索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，通常假設在給定后，X的條件分布為Poisson分布。根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計推斷的理論，人們?nèi)〉慕Y構函數(shù)為伽瑪分布。必須指出的是，這里的風險指的是索賠次數(shù)，不是賠款額。

索賠次數(shù)的分布往往假設為Poisson分布，而賠款額的分布有多種假設。

不同的險種有不同的賠款額的分布假設，所以賠款額數(shù)據(jù)的風險異質(zhì)性問題的討論較索賠次數(shù)復雜和困難。不討論索賠額問題。由于賠款額數(shù)據(jù)常常和索賠次數(shù)數(shù)據(jù)在一起，所以通過討論索賠次數(shù)數(shù)據(jù)，可以在一定程度上識別和處理賠款額數(shù)據(jù)的風險異質(zhì)性問題。4.2.3索賠次數(shù)數(shù)據(jù)的風險異質(zhì)性的識別在風險異質(zhì)時，按貝葉斯統(tǒng)計推斷的理論，Poisson分布稱為在給定后，索賠次數(shù)X的條件分布，記為：(4-7)則：的結構函數(shù)記為，則所以在風險異質(zhì)時，方差比均值大。根據(jù)定理4.2.1，我們有：

定理4.2.1

風險異質(zhì)時，總的方差等于條件方差的期望與條件期望的方差之和：而在風險同質(zhì)時，取某個固定的值，比如。風險服從Poisson分布，則，所以在風險同質(zhì)時，方差等于均值。所以識別風險異質(zhì)性的問題可以轉化為方差是否比均值大的問題。若方差比均值大，則認為風險有異質(zhì)性。方差比均值大，還是方差等于均值，這是風險異質(zhì)和同質(zhì)的一個顯著區(qū)別。根據(jù)統(tǒng)計假設檢驗的理論，我們只有在樣本方差比樣本均值顯著地大的時候，才認為方差比均值大。

我們在水平下，認為方差比均值大，風險有異質(zhì)性。如4.1節(jié)所述，是標準正態(tài)分布的分位點。在時，，，。(4-8)

首先給定檢驗的水平

，。常取

為一些標準化的數(shù)，如0.10，0.05，0.01等。如果：4.2.4索賠次數(shù)數(shù)據(jù)風險異質(zhì)時的結構函數(shù)下面討論在索賠次數(shù)數(shù)據(jù)具有異質(zhì)性時如何構造結構函數(shù)的問題。的結構函數(shù)可取為離散型分布，也可取為連續(xù)型分布。若取的結構函數(shù)為連續(xù)型分布，則由貝葉斯統(tǒng)計推斷的理論，我們將這個連續(xù)型分布取為伽瑪分布,其密度函數(shù)如式(4-6)。基于歷史經(jīng)驗數(shù)據(jù)計算伽瑪分布參數(shù)和的估計值的過程相當簡單。因此在索賠次數(shù)數(shù)據(jù)具有異質(zhì)性時，的結構函數(shù)通常取為伽瑪分布。(4-6)此時，由式(4-6)和式(4-7)，索賠次數(shù)等于k的邊際分布列為：

，(4-9)這是負二項分布，是索賠次數(shù)X的混合分布。(4-7)則有遞推迭代計算公式：，即：(4-10)，令：在風險異質(zhì)，的結構函數(shù)取為伽瑪分布時，觀察數(shù)據(jù)來自于Poisson分布的混合，即負二項分布。負二項分布(見式(4-9))的均值和方差為：

負二項分布均值方差表4.2.3根據(jù)