廣東省實驗中學2023屆高一下學期期中考試(數(shù)學)

廣東省實驗中學2023屆高一下學期期中考試數(shù)學本試卷共4頁．滿分為150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號填寫在答題卡上。2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，不能答在試題卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，只交回答題卡．（注：以下黑體字母均表示向量）一、選擇題：本大題12小題，每小題5分，滿分60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知向量＝(4，－2)，向量＝(x，5)，且∥，那么x等于()．A．10 B．5 C．－ D．－102．若cos＞0，sin＜0，則角的終邊在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知扇形的圓心角為π弧度，半徑為2，則扇形的面積是()A．π B． C．2π D．π4．已知向量,,則∠ABC=()A．30° B．45° C．60° D．120°5．若向量，，滿足條件++，||=||=||=1，則△P1P2P3的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．不能確定6．若則（）A．B．C．D．7．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A．B．C．D．8．對任意向量a，b，下列關系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b| B．|a-b|≤||a|-|b||C．(a+b)2=|a+b|2 D．(a+b)·(a-b)=a2-b29．若向量a，b的夾角為150°，|a|=，|b|=4，則|2a+b|=()A．2 B．3 C．4 D．510．設a=cos6°-sin6°，b=2sin13°.cos13°，c=，則有()A．c<b<a B．a(chǎn)<b<cC．a(chǎn)<c<b D．b<c<a11．已知函數(shù)f(x)=3sin(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對稱軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是()A．[-3，3]B．C． D．12．定義區(qū)間長度為，(），已知函數(shù)的定義域與值域都是，則區(qū)間取最大長度時a的值為（）A．B．1或-3，C．-1．D．3二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．.函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)，x∈R）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達式為.15．函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,單調(diào)遞減區(qū)間是.16．如圖所示，在中，，在線段上，設，，，則的最小值為．三．解答題(本大題共6小題，共70分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)(10分)已知0＜＜，sin＝．(1)求tan的值；(2)求cos2＋sin(＋)的值．18．（12分）已知，，(1)若，的夾角為，求；(2)求及的取值范圍；(3)若，求與的夾角.19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝sin（π－ωx）cosωx＋cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．(1)求ω的值；(2)將函數(shù)y＝f（x）的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，eq\f(π,16)]上的最小值．20．(12分)如圖，矩形ABCD的長AD=2，寬AB=1，A，D兩點分別在x軸，y軸的正半軸上移動，B，C兩點在第一象限.求OB2的最大值.21．(12分)已知向量m=，n=，設函數(shù)f(x)=m·n.(1)求函數(shù)f(x)的解析式.(2)求函數(shù)f(x)，x∈[-π，π]的單調(diào)遞增區(qū)間.(3)設函數(shù)h(x)=f(x)-k(k∈R)在區(qū)間[-π，π]上的零點的個數(shù)為a，試探求a的值及對應的k的取值范圍.22．(12分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓及其上一點A(2,4).(1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標準方程.(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BC=OA,求直線l的方程.(3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數(shù)t的取值范圍.數(shù)學參考答案選擇題（5*12=60分）D2.D3.D4.A5.C6.A7.B8.B9.A10.C11.D12.D填空題（4*5=20分）14.y＝－4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(π,4)))15.;,k∈Z16.解答題（70分）17.（10分）(1)因為0＜＜，sin＝，故cos＝，所以tan＝．-------5分(2)cos2＋sin(＋)＝1－2sin2＋cos＝－＋＝．-----------5分18.（12分）解：（1）∵，的夾角為，∴＝||?||?cos＝，……1分∴|-|2＝（-）2……2分＝2＋2-2＝1＋3－3＝1， ……3分∴ ……4分（2）由得……6分由得……7分（3），．……8分又||＝1，||＝，．……9分．……10分……沒有此說明扣1分．……12分19．（12分）解：（1）因為f（x）＝sin（π－ωx）cosωx＋cos2ωx，所以f（x）＝sinωxcosωx＋eq\f(1＋cos2ωx,2)＝eq\f(1,2)sin2ωx＋eq\f(1,2)cos2ωx＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)．由于ω＞0，依題意得eq\f(2π,2ω)＝π，所以ω＝1．-------------------4（2）由（1）知f（x）＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)，所以g（x）＝f（2x）＝eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))＋eq\f(1,2)．當0≤x≤eq\f(π,16)時，eq\f(π,4)≤4x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)，所以eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,4)))≤1．因此1≤g（x）≤eq\f(1＋\r(2),2)．故g（x）在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,16)))上的最小值為1．-----------------------620．（12分）解:過點B作BH⊥OA，垂足為H.設∠OAD=θ，則∠BAH=-θ，--------------------------2OA=2cosθ，--------------------------------------------------3BH=sin=cosθ，---------------------------------------4AH=cos=sinθ，-----------------------------------------5所以B(2cosθ+sinθ，cosθ)，---------------------------7OB2=(2cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+2sin2θ=7+4sin.------------------------------9由0<θ<，知<2θ+<，所以當θ=時，OB2取得最大值7+4.---------------------------------------12（12分）解：(1)f(x)=m·n=4sinxcosx+2cosx=2sinx+2cosx=4sin.----3(2)由(1)，知f(x)=4sin，x∈[-π，π]，所以x+∈，由-≤x+≤，解得-≤x≤，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.------------------------------7(3)當x∈[-π，π]時，函數(shù)h(x)=f(x)-k的零點討論如下：當k>4或k<-4時，h(x)無零點，a=0；----------------------------------8當k=4或k=-4時，h(x)有一個零點，a=1；-------------------------------10當-4<k<-2或-2<k<4時，h(x)有兩個零點，a=2；---------------------------11當k=-2時，h(x)有三個零點，a=3.--------------------------------------1222.（12分）解：(1)設點N(6,n),因為與x軸相切,則圓N為(x-6)2+(y-n)2=n2,n>0,又圓N與圓M外切,圓M:(x-6)2+(y-7)2=25,則|7-n|=|n|+5,解得n=1,即圓N的標準方程為(x-6)2+(y-1)2=1.--------------------------------------------4(2)由題意得OA=2,kOA=2,設l:y=2x+b,則圓心M到直線l的距離d=,則BC=2=2,BC=2,即2=2?b=5或b=-15,即l:y=2x+5或y=2x-