大學(xué)物理光學(xué)第一章答案

第一章習(xí)題解答

1幾何光學(xué)基本定律1如圖所示為一種液面激光控制儀，當(dāng)液面升降時(shí)，反射光斑移動(dòng)，為不同部位的光電轉(zhuǎn)換元件所接收，變成電訊號輸入控制系統(tǒng)，試計(jì)算液面升高△h時(shí)反射光斑移動(dòng)的距離△s。解：按光的反射定律作光路于附圖，則由圖可得反射光線的位移量為

又

于是得5試證明：當(dāng)一條光線通過平行平面玻璃板時(shí)，出射光線方向不變，但產(chǎn)生側(cè)向平移，當(dāng)入射角很小時(shí)，位移為式中n為玻璃板的折射率，t為其厚度。

解：對平行平板上下表面分別兩次運(yùn)用折射定律，并考慮到平板上下是同一介質(zhì)，便可證明最后出射光線與當(dāng)初入射光線的方向一致，入附圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系課的側(cè)向位移量為折射定律有所以在《1的條件下，取小角近似

于是有12如圖所示，在水中有兩條平行線1和2，光線2射到水和平行平板玻璃的分界面上。（1）兩光線射到空氣中是否還平行？（2）如果光線1發(fā)生全反射，光線2能否進(jìn)入空氣？

解:我們先推到一下光線經(jīng)過幾個(gè)平行界面的多層媒質(zhì)時(shí)出射光線的方向。因?yàn)榻缑娑际瞧叫械模怨饩€在同一媒質(zhì)中上界面的的折射角與下界面的入射角相等，如下圖所示：由折射定律有以此類推得由此可見，最后出射光線的方向只與當(dāng)初入射方向及兩邊介質(zhì)的折射率有關(guān)。(1)由上面結(jié)論可知本題光線1和2射到空氣中仍保持平行。(2)如圖所示，當(dāng)時(shí)，也有，所以光線1發(fā)生全反射時(shí)，光線2也不能進(jìn)入空氣，光線2在玻璃與空氣的界面上發(fā)生全反射。

2惠更斯原理

5拖著棒的一端在水中以速度移動(dòng)，比水波的速度為大，用惠更斯作圖法證明：在水中出現(xiàn)一圓錐形波前，其半頂角由下式給出，船后的弓形波，超管速飛機(jī)在空氣中產(chǎn)生的沖擊波，都是這樣產(chǎn)生的。證明：由于棒對水的撞擊（壓縮），使棒端沿途各點(diǎn)先后成為水波源。如附圖所示，設(shè)棒端在水中依次經(jīng)過點(diǎn)，則當(dāng)棒端到達(dá)點(diǎn)時(shí)，發(fā)出的水波面分別是半徑為，，的球面。作這些球面的包絡(luò)面，即為宏觀波面(總擾動(dòng)的水波面)。設(shè)總擾動(dòng)的水波面與次波面分別相切與各點(diǎn)，則即宏觀波面是以端點(diǎn)為頂點(diǎn)的錐面，成為“馬赫錐”，錐角大小由確定。3費(fèi)馬原理2證明圖2-3中光線，，，….的光程相等。分析：本題就是證明折射光束是等光程的。我們?nèi)稳∑渲袃蓷l，即證下面圖中的證明：如圖，由次波源向光線作垂線，垂足標(biāo)為顯然再比較，兩段的光程，在直角三角形和中，有由折射定律可知于是所以光程是相等的。同理可證其他的折射光束都是等光程的。4成像1以一節(jié)例題2所用的光線追跡法證明圖4-6中和是一對共軛點(diǎn)。證明：如圖，設(shè)球面半徑為R，物像方折射率分別為，，按我們的符號法則，由頂點(diǎn)A算其起的距離，，

由球心算起的距離，，于是在和中分別應(yīng)用正弦定理，則有解得又根據(jù)折射定律以及角度關(guān)系進(jìn)一步得到由此可見，只在的特殊情況下有此時(shí)位置與出射角u無關(guān)，使，成為寬光束嚴(yán)格成像的一對共軛點(diǎn)。5共軸球面組傍軸成像3凹面鏡的半徑為40cm，物體放在何處成放大兩倍的實(shí)像？放在何處成放大兩倍的虛像？解：實(shí)物形成兩倍實(shí)像時(shí)，球面反射鏡的橫向放大率，實(shí)物形成兩倍虛像時(shí)。聯(lián)立反射鏡物像距公式及橫向放大率公式解得按題意，，，，代入，分別算出即物體影分別置于凹面鏡前30cm和10cm處。6按以約定的正負(fù)號法則（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）（Ⅳ）（Ⅴ）等，標(biāo)示出下列各圖中的物距，，曲率半徑，光線傾角，的絕對值。比較各圖中折射率，的大小，指明各圖中物，像的虛實(shí)。

解：結(jié)果示于圖（b）（c）（d）（e）中。（b），實(shí)物，實(shí)像（c），虛物，實(shí)像（d），實(shí)物，虛像（e），虛物，虛像8若空氣中一均勻球形透明體能講平行光束會聚于其背面的頂點(diǎn)上，此透明體的折射率應(yīng)等于多少？解：由球面折射成像的焦距公式得按題意，，代入上式得即此透明體的折射率二倍于周圍介質(zhì)的折射率。9如圖，一平行平面玻璃板的折射率為，厚度為，點(diǎn)光源發(fā)出的傍軸光束（即接近于正入射的光束）經(jīng)上表面反射，成像于；穿過上表面后在下表面反射，再從上表面折射的光束成像于。證明與間的距離為。

證明：是由經(jīng)上表面A反射成像所得。是經(jīng)A面折射三次成像所得（如圖）。先計(jì)算的位置，設(shè)離A面的距離為，第一次經(jīng)A面折射成像有解得：

即像在A面上方距A面處，距離B面。第二次經(jīng)B面反射成像，按鏡像對稱知道像在B面下方距B面處，距A面。第三次再經(jīng)A面折射成像

解得：即像在A面下方距A面處。經(jīng)A面反射成像在A面下方處，所以，間的距離為11根據(jù)費(fèi)馬原理推導(dǎo)傍軸條件下球面反射成像公式（5.19）

證明：任選一點(diǎn)M，則根據(jù)幾何關(guān)系，用s,s’和r表示(L1)。

利用展開式近似處理，簡化計(jì)算。根據(jù)費(fèi)馬原理，知物像之間具有等光程性，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：從而可得

6薄透鏡1某透鏡用n=1.50的玻璃制成，它在空氣中的焦距為10.0cm，它在水中的焦距為多少?(水的折射率為4/3)。解：設(shè)薄透鏡材料的折射率為，物像方（同一介質(zhì)）的折射率為，則薄透鏡的焦距公式應(yīng)當(dāng)為：如設(shè)該透鏡在空氣中和在水中的焦距分別為，，按上式有則

3用一曲率半徑為20cm的球面玻璃和一平玻璃粘合成空氣透鏡，將其浸入水中（見圖），設(shè)玻璃壁厚可忽略，水和空氣的折射率分別為4/3和1，求此透鏡的焦距f。此透鏡是會聚的還是發(fā)散的？解:以，，，代入薄透鏡焦距公式算出該空氣薄透鏡（置于水中）的焦距為f=-80cm，它是發(fā)散透鏡。8屏幕放在距物100cm遠(yuǎn)，二者之間放一凸透鏡。當(dāng)前后移動(dòng)透鏡時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)透鏡有兩個(gè)位置可以使物成像在屏幕上，測得這兩個(gè)位置之間的距離為20.0cm，求（1）這兩個(gè)位置到幕的距離和透鏡的焦距；（2）兩個(gè)像的橫向放大率。解：在物像距離（大于4倍焦距）一定的條件下，利用光的可逆性原理可以證明，兩次成像的物像距滿足對易關(guān)系，即第一次成像的物距正是第二次成像的像距，第一次成像的像距正是第二次成像的物距。這個(gè)結(jié)論也可以由高斯公式求得。令，應(yīng)用高斯公式得：解出即由此可見，兩次物距差為已知，，于是透鏡焦距兩次像距分別為

橫向放大率分別為，

且有10如圖，和分別為凸透鏡凹透鏡。前面放一小物，移動(dòng)屏幕到后20cm的處接到像。現(xiàn)將凹透鏡撤去，將屏移前5cm至處，重新接收到像。求凹透鏡的焦距。

解：按題意無凹透鏡時(shí)所成的實(shí)像正是凹透鏡引入后的虛物，此時(shí)對凹透鏡來說，物距，像距。由高斯公式解得凹透鏡焦距。11（2班）一光學(xué)系統(tǒng)由一焦距為5.0cm的會聚透鏡和一焦距為10.0cm的發(fā)散透鏡組成，在之右5.0cm。在之左10.0cm處置一小物，求經(jīng)此光學(xué)系統(tǒng)后所成的像的位置和橫向放大率。用作圖法驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。解：這是兩次成像問題，設(shè)對的物距，像距分別為，，對的物距，像距分別為，，并注意到，是在右方的距離。把數(shù)據(jù)代入高斯公式得解得并有所以經(jīng)此光學(xué)系統(tǒng)像成在之右10.0cm。橫向放大率分別為總放大率為作圖法驗(yàn)證如附圖所示。

7理想光具組理論3如圖所示，已知光具組的主面和焦點(diǎn)，用作圖法求各圖中Q的像（入射線從左到右）。解：如右圖所示：4附圖所示的聯(lián)合光具組中，已知光具組Ⅰ的主面為，，焦點(diǎn)為，；光具組Ⅱ的主面為，，焦點(diǎn)為，。用作圖法求聯(lián)合光具組的主面和焦點(diǎn)。解：如下圖所示

8求放在空氣中玻璃球的焦距和主面，焦點(diǎn)的位置，并作圖表示。已知玻璃球的半徑2.00cm，折射率為1.500。解:在傍軸條件下，玻璃球是由兩個(gè)折射成像球面組成的共軸光具組。如圖所示，與重合；，與重合，且，。先求出單球面的焦距分別為：而且因此即在之右2.00cm處，在之左2.00cm處。在之左1.00cm處，在之右1.00cm處，其位置分別標(biāo)示為附圖。由此可見和重合，均在球心C處。10（1）如圖所示，已知光具組的主面和焦點(diǎn)，用作圖法求光線1的共軛線；（2）在圖上標(biāo)出光具組節(jié)點(diǎn)，的位置。解：如下圖所示：

11如圖所示，已知光具組的主面和節(jié)點(diǎn)，1—1’是一對共軛光線，求光線2的共軛光線。（如上圖）8光學(xué)儀器2某照相機(jī)可拍攝物體的最近距離為1m，裝上2D的近拍鏡后，能拍攝的最近距離為多少？（假設(shè)近拍鏡與照相機(jī)鏡頭是密接）解：，，并且解得即為能拍攝的最近距離。6一架顯微鏡的物鏡和目鏡的相距20.0cm，物鏡焦距7.0mm，目鏡焦距5.0mm。把物鏡和目鏡都看成是薄透鏡，求：（1)被觀察物到物鏡的距離；(2)物鏡的橫向放大率；(3)顯微鏡的總放大率；(4)焦深。解：（1）顯微鏡的工作距離應(yīng)使小物成放大的實(shí)像（中間像）于目鏡第一焦點(diǎn)附近（靠里一些），故按題意的此顯微鏡中間像