大學(xué)物理之機(jī)械波

第七章機(jī)械波17.1

機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播7.2

平面簡(jiǎn)諧波7.3

波的能量7.4

惠更斯原理7.5

波的干涉7.6

駐波7.7

多普勒效應(yīng)第七章機(jī)械波27.1機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播一、機(jī)械波的產(chǎn)生產(chǎn)生條件（1）波源；（2）彈性介質(zhì)。波動(dòng)只是振動(dòng)狀態(tài)在媒質(zhì)中的傳播，介質(zhì)的各質(zhì)點(diǎn)并不隨波傳播，只在各自的平衡位置附近振動(dòng)。機(jī)械波機(jī)械振動(dòng)在彈性介質(zhì)中的傳播。注意3橫波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向垂直。二、橫波與縱波特征具有交替出現(xiàn)的波峰和波谷。4縱波質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向與波的傳播方向平行。特征具有交替出現(xiàn)的密部和疏部。5三、波線和波面波線沿波的傳播方向畫(huà)的帶箭頭的線。波面在波的傳播過(guò)程中，任一時(shí)刻媒質(zhì)中各振動(dòng)相位相同的點(diǎn)聯(lián)結(jié)成的面。在任一時(shí)刻，波面可以有任意多個(gè)。在任一時(shí)刻，只有一個(gè)波前。在各向同性的介質(zhì)中，波線與波面垂直。波前在任一時(shí)刻，由波源最初振動(dòng)狀態(tài)傳到的各點(diǎn)所連成的曲面。6*球面波平面波波前波面波線7四、波長(zhǎng)周期頻率波速OyAA-1.波長(zhǎng)λ波傳播時(shí)，同一波線上兩個(gè)相鄰的、相位差為2π的質(zhì)點(diǎn)之間的距離。2.周期T波前進(jìn)一個(gè)波長(zhǎng)的距離所需要的時(shí)間。8(2)波的頻率

與媒質(zhì)的性質(zhì)無(wú)關(guān)。說(shuō)明(1)波長(zhǎng)反映了波的空間周期性。周期表征了波的時(shí)間周期性。3.頻率ν周期的倒數(shù)，即單位時(shí)間內(nèi)波動(dòng)所傳播的完整波的數(shù)目。4.波速u(mài)振動(dòng)狀態(tài)（即振動(dòng)相位）在媒質(zhì)中的傳播速度（也叫相速）。9a.拉緊的繩子或弦線中橫波的波速b.均勻細(xì)棒中，縱波的波速(3)波速u(mài)

大小主要決定于媒質(zhì)的性質(zhì)。T—張力μ—線密度Y—固體棒的楊氏模量ρ—固體棒的密度c.液體和氣體只能傳播縱波，波速B—液體或氣體的體積模量ρ—液體或氣體的密度107.2平面簡(jiǎn)諧波簡(jiǎn)諧波如果所傳播的是諧振動(dòng)，且波所到之處，媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)均作同頻率、同振幅的諧振動(dòng)，這樣的波即為簡(jiǎn)諧波。平面簡(jiǎn)諧波波面為平面的簡(jiǎn)諧波。說(shuō)明(1)復(fù)雜的波可分解為一系列簡(jiǎn)諧波。(2)平面簡(jiǎn)諧波各處振幅相同。11一、平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)波函數(shù)介質(zhì)中任一質(zhì)點(diǎn)（坐標(biāo)為x）相對(duì)其平衡位置的位移（坐標(biāo)為y）隨時(shí)間的變化關(guān)系，即y=f(x,t)。1.推導(dǎo)以速度u沿+x方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程。設(shè)原點(diǎn)O的振動(dòng)方程為y

xxPO

12點(diǎn)O

的振動(dòng)方程點(diǎn)P振動(dòng)方程t時(shí)刻點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)t-x/u時(shí)刻點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P振動(dòng)方程(1)時(shí)間推遲方法——波函數(shù)13點(diǎn)P

比點(diǎn)O落后的相位(2)相位落后法O點(diǎn)的相位為時(shí),P點(diǎn)的相位為y

xxPO

點(diǎn)P振動(dòng)方程——波函數(shù)14波函數(shù)的其他形式沿x

軸正方向傳播取“-”；沿x

軸負(fù)方向傳播取“+”。152.波函數(shù)的物理意義（1）當(dāng)x一定，t變化時(shí)（具有時(shí)間的周期性）則表示x點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程ytt+T/4時(shí)刻t時(shí)刻16（波具有空間的周期性）（2）當(dāng)t一定，x變化時(shí)令（定值）則表示t

時(shí)刻波傳播方向上各質(zhì)點(diǎn)的位移,即t

時(shí)刻的波形yxt0

時(shí)刻的波形曲線17ytx1x2t

1時(shí)刻t2時(shí)刻t1時(shí)刻，x1

處質(zhì)點(diǎn)的位移為t2

時(shí)刻，x2處質(zhì)點(diǎn)的位移為（3）若x，t

均變化，波函數(shù)表示波形沿傳播方向的運(yùn)動(dòng)情況（行波）18若，則。

x1處質(zhì)點(diǎn)的位移在Δt

時(shí)間后出現(xiàn)在

x2

(=x1+ut)

處，即x1

處點(diǎn)的位移經(jīng)Δt

時(shí)間傳播了x=ut

的距離，傳播速度為u。19把波動(dòng)方程改寫(xiě)成解

方法一（比較系數(shù)法）例1一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正方向傳播，已知其波函數(shù)為。求(1)波的振幅、波長(zhǎng)、周期及波速；(2)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的最大速度。比較標(biāo)準(zhǔn)波函數(shù)，得20振幅、周期、波長(zhǎng)和波速為方程21方法二（由各物理量的定義解）

周期T

質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)相位變化2所經(jīng)歷的時(shí)間振幅A

即位移的最大值，所以A=0.04m設(shè)x處質(zhì)點(diǎn)在T=t2-t1的時(shí)間內(nèi)相位變化2

波長(zhǎng)在同一波形圖上相位差為2的兩點(diǎn)間的距離。22波速單位時(shí)間內(nèi)某一振動(dòng)狀態(tài)（相位）傳播過(guò)的距離。設(shè)時(shí)刻t1，x1處的相位在質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t2傳到x2處，則23最大值為(3)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為24x2x1Oy1m1m例2

一平面簡(jiǎn)諧橫波以400m/s的波速在均勻介質(zhì)中沿直線傳播。已知波源的振動(dòng)周期為0.01s，振幅A=0.01m。設(shè)以波源振動(dòng)經(jīng)過(guò)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求(1)以距波源2m處為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波函數(shù)。(2)以波源為坐標(biāo)原點(diǎn)寫(xiě)出波函數(shù)。(3)距波源2m和1m兩點(diǎn)間的振動(dòng)相位差。解

(1)以波源為坐標(biāo)原點(diǎn)t=0時(shí)，y0=0，u0>0，所以初相位為-/2

。25波源的振動(dòng)方程為波從O點(diǎn)傳播到2m處質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間為距波源2m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程x2x1Oy1m1m26以距波源2m處為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)為以波源為坐標(biāo)原點(diǎn)的波函數(shù)為(2)波源的振動(dòng)方程為27距波源2m和1m兩點(diǎn)間的振動(dòng)相位差為(3)將x=2m和x=1m分別代入(2)中的波函數(shù)x2x1Oy1m1m28O點(diǎn)的振動(dòng)相位超前于x0點(diǎn)x0/u，則O點(diǎn)的振動(dòng)方程為例3一平面簡(jiǎn)諧波，波速為u，已知在傳播方向上x(chóng)0點(diǎn)的振動(dòng)方程為。試就圖所示的(a)、(b)兩種坐標(biāo)取法分別寫(xiě)出各自的波函數(shù)。解

(a)坐標(biāo)取法中，波的傳播方向與x軸正方向相同。yxx0O

yxx0O

29沿x軸正方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為波由O點(diǎn)傳播到x0點(diǎn)使得O點(diǎn)的振動(dòng)相位落后于x0點(diǎn)x0/u(b)坐標(biāo)取法中，波的傳播方向與x軸正方向相反。yxx0O

30沿x軸反方向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為則O點(diǎn)的振動(dòng)方程為yxx0O

317.3波的能量一、波的能量和能量密度設(shè)繩子的橫截面積為△S，波的傳播速度為u。取波的傳播方向?yàn)閤軸，繩子的振動(dòng)方向?yàn)閥軸，則簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為。在繩子上x(chóng)處取線元△x，則μ為繩子的質(zhì)量線密度。1.波的能量y

xO

32該線元的振動(dòng)速度為(1)線元的動(dòng)能在波的傳播過(guò)程中，由原長(zhǎng)△x變成△l，形變?yōu)椤鱨-△x，線兩端受張力T=T1=T2。張力做的功等于線元的勢(shì)能y

xO

33用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，并略去高此項(xiàng)，得34(2)線元的勢(shì)能(3)線元的總機(jī)械能討論(1)

在波動(dòng)傳播的媒質(zhì)中，任一線元的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能均隨x,t作周期性變化，且變化是同相位的。35(2)體積元在平衡位置時(shí)，動(dòng)能、勢(shì)能和總機(jī)械能均最大。(3)體積元的位移最大時(shí)，三者均為零。(4)任一線元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播能量。任一線元的機(jī)械能不守恒，隨t

作周期性變化，所以，波動(dòng)過(guò)程是能量的傳播過(guò)程。362.能量密度w

單位體積介質(zhì)中波的能量。ρ為繩子單位體積的質(zhì)量。平均能量密度

能量密度在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。37二、能流密度單位時(shí)間內(nèi)，沿波的傳播方向垂直通過(guò)單位面積的平均能量。udtS(波的強(qiáng)度)寫(xiě)成矢量形式為38三、平面波和球面波的振幅1.平面波

（介質(zhì)不吸收能量）介質(zhì)不吸收能量一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)兩個(gè)面的能量分別為平面波在媒質(zhì)不吸收的情況下,各處振幅相同。392.球面波一個(gè)周期內(nèi)通過(guò)兩個(gè)球面的能量分別為介質(zhì)不吸收能量40設(shè)距波源單位距離處波的振幅為A0，則距波源r處的波的振幅則球面簡(jiǎn)諧波的波函數(shù)為球面波的振幅隨r增大而減小。41四、波的吸收吸收媒質(zhì),實(shí)驗(yàn)表明(1)

為介質(zhì)吸收系數(shù)，與介質(zhì)的性質(zhì)及波的頻率有關(guān)。說(shuō)明(2)波的強(qiáng)度隨傳播距離按指數(shù)衰減。O427.4惠更斯原理波在傳播的過(guò)程中遇到障礙物或小孔時(shí)，能夠繞過(guò)障礙物的邊緣繼續(xù)傳播的現(xiàn)象。衍射43惠更斯原理(1)行進(jìn)中的波面上任意一點(diǎn)都可看作是新的次波源；(2)所有次波源各自向外發(fā)出許多子波；(3)各個(gè)次波所形成的包絡(luò)面，就是原波面在一定時(shí)間內(nèi)所傳播到的新波面。44說(shuō)明(1)若已知某一時(shí)刻波前，可用幾何方法求出下一時(shí)刻波前。S2S1Out45(2)解釋衍射、反射、折射現(xiàn)象。波的反射反射角等于折射角。AB1B2B3A3B1246波的折射DAE1E2CBt47(3)亦適用于電磁波，非均勻和各向異性媒質(zhì)。(4)不足之處（未涉及振幅，相位等的分布規(guī)律）。說(shuō)明487.5波的干涉一、波的疊加原理1.波傳播的獨(dú)立性2.疊加原理幾列波相遇之后，仍然保持它們各自原有的特征（頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等）不變，并按照原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn)，好象沒(méi)有遇到過(guò)其他波一樣。在相遇區(qū)域內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)，為各列波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起的振動(dòng)的合振動(dòng)。49二、相干波與相干條件干涉現(xiàn)象相干條件頻率相同、振動(dòng)方向相同、相位差恒定。兩列（或多列）相干波疊加，將在空間形成一種穩(wěn)定的強(qiáng)弱相間的強(qiáng)度(振幅)分布。相干波滿足相干條件的兩列波。50*波源振動(dòng)方程點(diǎn)P的兩個(gè)分振動(dòng)三、干涉規(guī)律點(diǎn)P的合振動(dòng)51

P

點(diǎn)處波的強(qiáng)度合振動(dòng)的振幅其中討論(1)合振動(dòng)的振幅（波的強(qiáng)度）在空間各點(diǎn)的分布隨位置而變，但是穩(wěn)定的。52(2)干涉相長(zhǎng)(3)干涉相消53干涉相長(zhǎng)干涉相消波程差若則54例1

A、B

兩點(diǎn)為兩相干波源,振幅均為5cm,頻率均為100Hz,當(dāng)A

點(diǎn)為波峰時(shí),B

點(diǎn)適為波谷,設(shè)波速為10m/s

，求P

點(diǎn)的干涉結(jié)果。

解已知AP=15m,AB=20

m20m15mABP55兩波在P點(diǎn)的相位差為：由于兩波在P

點(diǎn)相位相反,故合振幅為零。A=020m15mABP56例2兩波源分別位于同一介質(zhì)A和B處，振動(dòng)方向相同，振幅相等，頻率皆為100Hz，但A處波源比B處波源相位落后。若A、B相距10m，波速為4000m/s，試求由A、B之間連線上因干涉而靜止的點(diǎn)。解

建立所示的坐標(biāo)系，任取一點(diǎn)x，則兩波到該點(diǎn)的波程分別為O10mrArBBAx57兩波相位差為58所以，因干涉而靜止的點(diǎn)為因干涉而靜止的點(diǎn)，滿足干涉相消條件597.6駐波一、弦線上的駐波實(shí)驗(yàn)駐波兩列振幅、振動(dòng)方向和頻率都相同，而傳播方向相反的同類(lèi)波相干疊加的結(jié)果形成駐波。60二、駐波波函數(shù)討論(1)振幅分布振幅隨位置x

按余弦分布。61a.波節(jié)相鄰波節(jié)間的距離62b.波腹相鄰波腹間的距離相鄰波節(jié)和波腹間的距離63(2)相位分布結(jié)論1

相鄰兩波節(jié)間各點(diǎn)振動(dòng)相位相同。64結(jié)論2一波節(jié)兩側(cè)各點(diǎn)振動(dòng)相位相反。相位不做定向傳播，振動(dòng)狀態(tài)無(wú)定向傳播。xy65ABC波節(jié)波腹位移最大時(shí)平衡位置時(shí)(3)能量分布a.駐波的能量在相鄰的波腹和波節(jié)間往復(fù)變化;b.相鄰波節(jié)間動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換;c.動(dòng)能主要集中在波腹,勢(shì)能主要集中在波節(jié),但無(wú)能量的定向傳播。66駐波一般由入射、反射波疊加而成，反射發(fā)生在兩介質(zhì)交界面上，在交界面處出現(xiàn)波節(jié)還是波腹，取決于介質(zhì)的性質(zhì)。n

小—波疏介質(zhì),

n

大—波密介質(zhì)。介質(zhì)分類(lèi)(4)半波損失（相位躍變）67當(dāng)波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，被反射到波疏介質(zhì)時(shí)形成波節(jié)。入射波與反射波在此處的相位時(shí)時(shí)相反,即反射波在分界處產(chǎn)生π的相位躍變，相當(dāng)于出現(xiàn)了半個(gè)波長(zhǎng)的波程差，稱(chēng)半波損失。半波損失（相位躍變）

當(dāng)波從波密介質(zhì)垂直入射到波疏介質(zhì)，被反射到波密介質(zhì)時(shí)形成波腹。入射波與反射波在此處的相位時(shí)時(shí)相同，即反射波在分界處不產(chǎn)生相位躍變。68(5)振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式駐波頻率為兩端固定的弦線形成駐波時(shí)，波長(zhǎng)n和弦線長(zhǎng)l應(yīng)滿足由頻率n決定的各種振動(dòng)方式稱(chēng)為弦線振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式。69兩端固定的弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式70一端固定一端自由的弦振動(dòng)的簡(jiǎn)正模式71例1一長(zhǎng)為L(zhǎng)的弦線，拉緊后將其兩端固定。撥動(dòng)弦線使其振動(dòng)，形成的波將沿弦線傳播，在固定端發(fā)生反射而在弦線上形成駐波。已知波在弦線中傳播的速度為，式中是弦線單位長(zhǎng)度的質(zhì)量，T是弦線的張力。證明此弦線只能作下列固有頻率的振動(dòng)72解由于弦線兩端固定，波在固定端反射時(shí)有半波損失，形成駐波時(shí)，兩端點(diǎn)處為波節(jié)，兩相鄰波節(jié)之間距離為，所以有73即將弦線中的波速代入上式，得74例2一沿x

方向傳播的入射波在x=0處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一波節(jié)。已知波函數(shù)為求(1)反射波的波函數(shù)；(2)求合成波（駐波）的波函數(shù)；(3)各波腹和波節(jié)的位置坐標(biāo)。解

(1)反射點(diǎn)為波節(jié)，說(shuō)明波反射時(shí)有的相位躍變，所以反射波的波函數(shù)