【教案】變化率問題（第2課時）教學設計-2022-2023學年高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊

第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用《5.1.1變化率問題》教學設計第2課時教學目標教學目標1．通過求曲線上某點處切線斜率的過程，體會求切線斜率的一般方法.2.理解函數(shù)的平均變化率，瞬時變化率的概念．教學重難點教學重難點教學重點：理解曲線上某點處切線斜率的概念及算法教學難點：理解函數(shù)的平均變化率，瞬時變化率的概念課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程【新課導入】問題1：閱讀課本第62~64頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要探究哪類問題？（2）本節(jié)探究的起點是什么？目標是什么？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，并在本節(jié)課中回答相應問題．預設的答案：（1）本節(jié)課主要學習變化率問題：曲線上某點處切線斜率的問題．（2）總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念和瞬時變化率的概念，在此基礎上，要求學生掌握函數(shù)平均變化率和瞬時變化率解法的一般步驟．平均變化率是個核心概念，它在整個高中數(shù)學中占有及其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數(shù)概念的基礎．在這個過程中，注意特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的滲透．一般曲線的切線的概念與學生熟悉的圓的切線的定義方式不同，學生不易理解，因此曲線的切線概念是本節(jié)的教學難點．通過本節(jié)的學習，學生的數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)將得以提升．設計意圖：通過閱讀讀本，讓學生明晰本階段的學習目標，初步搭建學習內(nèi)容的框架．問題2：什么叫直線與圓相切？師生活動：學生回顧并回答．預設的答案：如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么這條直線與這個圓相切．對于一般的曲線C，如何定義它的切線呢？設計意圖：通過復習直線與圓相切，引出問題，進入新課．【探究新知】知識點1：曲線在某點處的切線我們以拋物線f（x）=x2為例進行研究．問題3：如何定義拋物線在點處的切線？師生活動：學生思考，嘗試回答，教師講解．與研究瞬時速度類似，為了研究拋物線在點處的切線，我們通常在點的附近任取一點，考察拋物線的割線的變化情況.如圖，當點無限趨近于點時，割線無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線稱為拋物線在點處的切線.知識點2：曲線在某點處的切線斜率拋物線在點處的切線的斜率與割線的斜率有內(nèi)在聯(lián)系.記，則點的坐標是.于是，割線的斜率.我們可以用割線的斜率近似地表示切線的斜率，并且可以通過不斷縮短橫坐標間隔來提高近似表示的精確度，得到如下表格.…………當無限趨近于0時，即無論從小于1的一邊，還是從大于1的一邊無限趨近于1時，割線的斜率都無限趨近于2.事實上，由可以直接看出，當無限趨近于0時，無限趨近于2.我們把2叫做“當無限趨近于0時，的極限”，記為.從幾何圖形上看，當橫坐標間隔無限變小時，點P無限趨近于點，于是割線無限趨近于點處的切線.這時，割線的斜率無限趨近于點處的切線的斜率.因此，切線的斜率.【鞏固練習】例1已知函數(shù)，求該函數(shù)在點x＝1處的切線斜率．師生活動：學生分組討論，每組派一代表回答，教師完善．預設的答案：∵，∴斜率k＝．設計意圖：通過求曲線上某點處切線斜率的問題，加深學生對曲線在某點處的切線和切線斜率的理解，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．方法總結(jié)：求曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率(1)計算，（2）計算，該值即為曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率．例2已知函數(shù)f(x)＝3x2＋5，曲線y=f（x）在點（（x0，f（x0））處的切線方程．師生活動：學生分組討論，每組派一代表回答，教師完善．預設的答案：因為f(x)＝3x2＋5，所以Δy=f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x02＋5)=3x02＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x02－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.所以，所以，所以曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率為6x0，所以曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為，即．方法總結(jié)：求曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程(1)計算，（2）計算，即曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線斜率為．（3）寫出切線方程．設計意圖：通過求曲線上某點處切線的方程問題，進一步加深學生對曲線在某點處的切線的理解，發(fā)展學生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．練習：教科書P64練習1、2設計意圖：通過練習鞏固本節(jié)所學知識，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)．【課堂總結(jié)】1．板書設計：5.1.1變化率問題新知探究鞏固練習知識點1：曲線在某點處的切線例1知識點2：曲線在某點處的切線斜率例22．總結(jié)概括：（1）什么叫曲線在某點處的切線；（2）如何求曲線在某點處的切線斜率．師生活動：學生總結(jié)，老師適當補充．設計意圖：通過總結(jié)，讓學生進一步鞏固本節(jié)所學內(nèi)容，提高概括能力．3．課堂作業(yè)：教科書P70習題5.12、4、7【目標檢測設計】1.在曲線上取一點及附近一點，則曲線在點處的切線的斜率為()A. B.2 C. D.設計意圖：讓學生進一步理解曲線在某點處的切線及切線斜率的求解.2.已知曲線上兩點，當時，割線的斜率為_______.

設計意圖：讓進一步理解曲線的割線．3．求曲線在x＝2處的切線的方程．設計意圖：讓學生進一步理