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第一章電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)物理基礎(chǔ)一、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)1矢量場(chǎng)和標(biāo)量場(chǎng)由標(biāo)量物理量構(gòu)成的場(chǎng)-標(biāo)量場(chǎng)ScalarField由矢量物理量構(gòu)成的場(chǎng)-矢量場(chǎng)VectorField一、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2標(biāo)量場(chǎng)的梯度(TheGradientofascalarfield)
A.物理意義描述了標(biāo)量函數(shù)在某點(diǎn)的最大變化率和方向矢量一、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2標(biāo)量場(chǎng)的梯度(TheGradientofascalarfield)
B.在直角坐標(biāo)系(CartesianCoordinates)下的表達(dá)式
一、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2標(biāo)量場(chǎng)的梯度(TheGradientofascalarfield)
C.算子(DelOperator)表述(CartesianCoordinates)
一、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2標(biāo)量場(chǎng)的梯度(TheGradientofascalarfield)
C.算子(DelOperator)表述(CartesianCoordinates)
一、電磁場(chǎng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2標(biāo)量場(chǎng)的梯度(TheGradientofascalarfield)
D.性質(zhì)1)垂直于該標(biāo)量場(chǎng)的等值面2)指向標(biāo)量函數(shù)變化最快的方向3)大小等于標(biāo)量函數(shù)每單位距離的最大變化率4)一個(gè)標(biāo)量函數(shù)在某點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)等于此函數(shù)的梯度與該方向單位矢量的標(biāo)量積.3矢量場(chǎng)的散度(Thedivergenceofavectorfield)-A.定義數(shù)學(xué)上的處理方法對(duì)于矢量場(chǎng),將S向P點(diǎn)收縮,即令其所界定的體積V→0(物理無(wú)限?。蟠┻^(guò)該微小表面S的通量與V比值的極限,即
SisthesurfacethatboundsthevolumeValwayspointsoutfromV3矢量場(chǎng)的散度(Thedivergenceofavectorfield)-A.定義穿過(guò)S面的通量積分(FluxIntegral)3矢量場(chǎng)的散度(Thedivergenceofavectorfield—A.定義對(duì)于電位移
(1)有無(wú)電荷?
(2)在該點(diǎn)的電荷分布的密度
?(3)稱(chēng)為高斯定理的微分形式
矢量場(chǎng)的散度為一標(biāo)量
該處線是連續(xù)的該點(diǎn)有發(fā)出通量線的源(正源)該點(diǎn)有匯集通量線的匯(負(fù)源)
由上可見(jiàn),散度起到了檢測(cè)通量源的作用矢量散度值與所選坐標(biāo)系無(wú)關(guān),但若以該矢量的分量表示該矢量的散度時(shí),則數(shù)學(xué)表達(dá)式將因坐標(biāo)系不同而互異
3矢量場(chǎng)的散度—B.Observations3矢量場(chǎng)的散度—B.ObservationsshowngraphicallyC.直角坐標(biāo)系中
的表達(dá)式為簡(jiǎn)化討論,設(shè):場(chǎng)量?jī)H為空間坐標(biāo)的函數(shù)不失一般性,令包圍P點(diǎn)的微體積V
為一直平行六面體,如圖示D.算子(DelOperator)表述(CartesianCoordinates)4.矢量場(chǎng)的旋度(Thecurl(rotation)ofavectorfield)類(lèi)比于矢量場(chǎng)通量,我們可以定義矢量場(chǎng)沿某一有向閉合曲線的線積分定義為矢量A沿該閉合曲線的環(huán)量,它表示的是矢量場(chǎng)渦旋源的源強(qiáng)度.用數(shù)學(xué)式可表示為A.環(huán)量(Circulation)其中線元的方向規(guī)定為積分路徑移動(dòng)的方向
4.矢量場(chǎng)的旋度(Thecurl(rotation)ofavectorfield)顯然,環(huán)量只能反映出大范圍的情況-閉合曲線(環(huán)線)內(nèi)的旋渦源強(qiáng)度.因此而不能確定環(huán)線內(nèi)每點(diǎn)這種源的分布特性.為了描述矢量場(chǎng)內(nèi)某點(diǎn)(觀察點(diǎn))附近的環(huán)量特性B.環(huán)量的面密度將閉合曲線向觀察點(diǎn)收縮,最終聚焦于觀察點(diǎn)上;有向曲線所圍成的面元S的法向與閉曲線的方向成右手螺旋關(guān)系;(c)定義矢量A沿該有向閉曲線的環(huán)量與面元
S面積之比的極限為矢量A在觀察點(diǎn)沿方向的環(huán)量面密度4.矢量場(chǎng)的旋度(Thecurl(rotation)ofavectorfield)B.環(huán)量的面密度S的方向不同,計(jì)算結(jié)果也完全不同用三個(gè)相互正交的坐標(biāo)平面(Perpendicularplanes)上的三個(gè)分量,定義該矢量的旋度(CURL,orROTATION)4.矢量場(chǎng)的旋度(Thecurl(rotation)ofavectorfield)B.環(huán)量的面密度ex
為Sx的法向;其他類(lèi)同面元Sx
的法向與dl的方向,滿(mǎn)足右螺旋規(guī)則旋度是一矢量旋度的方向和環(huán)量積分路徑循行的方向滿(mǎn)足右螺旋定則,并和獲得最大環(huán)量位置的面元的法線方向()相一致矢量的旋度值與所選擇的坐標(biāo)系無(wú)關(guān),但若以該矢量的分量形式來(lái)表示其旋度時(shí),則數(shù)學(xué)表達(dá)式各異ObservationsC.直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式同理
D.旋度的算子表示5兩個(gè)重要的定理
高斯散度定理(DivergenceTheorem)矢量A的散度的體積分等于矢量A流出圍成該體積的閉合面的通量
S為圍成體積V的面積ds的方向?yàn)橄鄳?yīng)面元的外法線方向體積分面積分5.兩個(gè)重要的定理
斯托克斯旋度定理(STOKES’sTheorem)矢量A的旋度的面積分等于矢量A流出圍成該面積的有向閉曲線的環(huán)量
S為
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