工程電磁場 第5章 平面電磁波

第5章平面電磁波

5.1理想介質(zhì)中平面波5.1.1平面波的電磁場

假設(shè)電磁波在無界空間充滿線性、均勻、各向同性理想介質(zhì)的無源區(qū)域中傳播，則電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度滿足的齊次矢量波動(dòng)方程為(5-1a)

(5-1b)對時(shí)諧電磁場而言，電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度復(fù)矢量滿足以下的齊次矢量亥姆霍茲方程式中。為簡單起見，選擇電場強(qiáng)度沿直角坐標(biāo)系的軸方向，即。于是，式(5-8a)化為以下齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程：

(5-8a)(5-8b)

設(shè)僅與坐標(biāo)有關(guān)，而與無關(guān)，則上式簡化為

此方程是二階線性齊次常微分方程，其解為(5-9a)

對應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式為

(5-9b)

式（5-9b）中第一項(xiàng)的相位隨

的增加而逐漸滯后，代表向正方向傳播的行波，如圖5-2所示。同樣地，式（5-9b）中的第二項(xiàng)的相位隨

的增加而逐漸超前，代表向負(fù)

方向傳播的行波。若波源發(fā)出的波沿正方向傳播，則正向行波又稱為入射波，而反向行波則稱為反射波。在無界空間中傳播的波，只有入射波而沒有反射波。

圖5-2沿正方向傳播的行波

為了定義電磁波的傳播參數(shù)，設(shè)電磁波是無界媒質(zhì)中傳播的入射波，此時(shí)電場強(qiáng)度復(fù)振幅和瞬時(shí)值分別為

(5-10)

式中，上標(biāo)“＋”已略去；是＝0處電場強(qiáng)度的振幅；稱為行波因子，它代表了向正方向傳播的電磁波的性質(zhì)；稱為電磁波的時(shí)間相位；而稱為電磁波的空間相位。

通常將電磁波的空間相位相同的場點(diǎn)所組成的曲面稱為電磁波的等相位面（或稱波前、波面），等相位面的法線方向指向電磁波的傳播方向。前面討論的電磁波的等相位面是的平面，因此稱這種電磁波為平面電磁波（簡稱平面波）。又因?yàn)榕c無關(guān)，即在的等相位面上各點(diǎn)場強(qiáng)相等，因此這種等相位面上場強(qiáng)均勻分布的平面波又稱為均勻平面波（有時(shí)也簡稱為平面波）。例如，在距離坐標(biāo)原點(diǎn)處小尺寸的線形發(fā)射天線很遠(yuǎn)的地方，此發(fā)射天線輻射的球面波在面積較小的球面上即可近似看成是均勻平面波。

電磁波的空間相位變化所經(jīng)過的距離稱為電磁波的波長，用表示。由，得(5-12)而(5-13)稱為電磁波的波數(shù)，它代表長度上出現(xiàn)的全波數(shù)目。在理想（電）介質(zhì)中，電磁波的波長為

式中，為真空中電磁波的波長，也稱為工作波長。（5-14）

電磁波的時(shí)間相位變化所經(jīng)歷的時(shí)間稱為電磁波的周期，用表示；而將一秒鐘內(nèi)電磁波的時(shí)間相位變化的次數(shù)稱為電磁波的頻率，用表示。由于，因此

式中，為角頻率，單位為，而的單位為。

(5-15)等相位面的運(yùn)動(dòng)速度稱為相速，記為，相速為

(5-16)這表明理想媒質(zhì)中等相位面的傳播速度等于媒質(zhì)中的光速。這樣，電磁波的波數(shù)、相速與波長間的關(guān)系為(5-17)即電磁波的相速等于其波長與頻率的乘積。這樣，電磁波的波數(shù)、相速與波長間的關(guān)系為(5-17)即電磁波的相速等于其波長與頻率的乘積。平面波的磁場強(qiáng)度復(fù)振幅可由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程(2-144a)導(dǎo)出，即

展開得

式中(5-19)稱為媒質(zhì)的本征阻抗。在真空中，用表示，即?？梢?，在理想介質(zhì)中，為一實(shí)數(shù)，因此與同相。于是，可得平面波的磁場的瞬時(shí)表達(dá)式為

5.1.2平面波的傳播特性

理想介質(zhì)中平面波于某時(shí)刻的與沿

軸的變化曲線，如圖5-3(a)所示。隨

的分布圖如圖5-3(b)所示。(a)(b)圖5-3理想媒質(zhì)中平面波的場量沿z軸的變化曲線

4.1.3沿任意方向傳播的平面波

對沿正

向傳播的平面波，其電場強(qiáng)度復(fù)矢量可表示為

式中是垂直于

軸的常矢量，波的等相位面是

的平面，垂直于

軸，如圖4.3(a)所示。設(shè)等相位面上任意點(diǎn)的位置矢量，則任意點(diǎn)p處的電場強(qiáng)度復(fù)矢量又可表示為（5-24）（5-25）即p點(diǎn)的場矢量僅決定于通過該點(diǎn)，且垂直于z軸的平面與坐標(biāo)原點(diǎn)間的距離。對沿任意矢量方向傳播的平面波，如圖5-4(b)所示，此平面波在p點(diǎn)的電場強(qiáng)度復(fù)矢量可表示為(5-26)式中，稱為傳播矢量或波矢量。

(a)沿Z向傳播的平面波（b）沿任意方向傳播的平面波

圖5-4沿向和沿任意方向傳播的平面波的坐標(biāo)關(guān)系設(shè)平面波傳播方向上的單位矢量與軸的夾角分別為,和，則可用其方向余弦表示，即

設(shè)平面波傳播方向上的單位矢量與軸的夾角分別為

和，則可用其方向余弦表示，即于是，波矢量可表示為(5-28)

式中，，分別為向的波數(shù)。顯然(5-27)這表明，，中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。這樣，沿矢量方向傳播的平面波的電場強(qiáng)度復(fù)矢量可表示為(5-29)沿矢量方向傳播的平面波的磁場強(qiáng)度復(fù)矢量可利用無源區(qū)域的復(fù)數(shù)形式麥克斯韋方程組(2-144)導(dǎo)出，此時(shí)麥克斯韋方程組可用波矢量表示為

(5-30)

于是，磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為(4.20)這樣，沿任意方向傳播的平面波的平均功率流密度為(4.21)可見，矢量的方向即為功率流的傳播方向。例4.1一均勻平面波在空氣中傳播，其磁場強(qiáng)度為求：①常數(shù)A；②該平面波的頻率、傳播方向上的單位矢量；③電場強(qiáng)度的復(fù)數(shù)表達(dá)式。解：①因，故，又因，有于是，。②因，所以

又因?yàn)?，則③由，得

5.2導(dǎo)電媒質(zhì)中的平面波5.2.1導(dǎo)電媒質(zhì)的分類

導(dǎo)電媒質(zhì)又稱為有（損）耗媒質(zhì)，是指的簡單媒質(zhì)。當(dāng)時(shí)諧電磁波在無源的導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播時(shí)，因媒質(zhì)中出現(xiàn)傳導(dǎo)電流，此時(shí)復(fù)矢量和滿足的亥姆霍茲方程（2-146）變成為(5-33a)

(5-33b)式中，稱為導(dǎo)電媒質(zhì)的等效復(fù)介電常數(shù)，為頻率的函數(shù)。。通常將復(fù)矢量和的方程（5-33）寫成以下形式：(5-34a)(5-34b)式中，稱為等效復(fù)波數(shù)，而定義為傳播常數(shù)，一般是復(fù)數(shù)。式中，。這樣，，它代表了導(dǎo)電媒質(zhì)中傳導(dǎo)電流密度模值與位移電流密度模值之比，也是導(dǎo)電媒質(zhì)中位移電流密度與總電流密度間夾角的正切，即

(5-35)是工程中用于衡量介質(zhì)材料損耗特性的一個(gè)常量。

有時(shí)還將寫成以下表達(dá)形式：應(yīng)指出，上述引出的導(dǎo)電媒質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)僅考慮電導(dǎo)率的影響。事實(shí)上，在時(shí)變電磁場情況下，即使是非導(dǎo)電的理想媒質(zhì)，由于介質(zhì)極化阻尼力的作用產(chǎn)生的極化滯后同樣會引起電磁場的功率損耗，因此同樣會使非導(dǎo)電媒質(zhì)的介電常數(shù)為復(fù)數(shù)而不是實(shí)數(shù)。為此，記介電常數(shù)為，即，其中對應(yīng)于介質(zhì)的極化程度，而則對應(yīng)于介質(zhì)極化滯后引起的功率損耗。于是，根據(jù)麥克斯韋方程(2-141b)可知，對導(dǎo)電媒質(zhì)而言，有(5-36)

式中，為損耗角正切的一般形式。通常記，稱為媒質(zhì)的等效電導(dǎo)率。由于一般情況下特別在微波波段的低頻端，比小得多，此時(shí)可以將近似表示為是工程中用于衡量介質(zhì)材料損耗特性的一個(gè)參量。這樣，導(dǎo)電媒質(zhì)可按比值的量級分為三類:(1)，一般取，為良介質(zhì)；(2)，為半導(dǎo)體（或不良導(dǎo)體）；(3)，一般取，為良導(dǎo)體。應(yīng)指出，媒質(zhì)屬于良介質(zhì)還是良導(dǎo)體與頻率有關(guān)，且媒質(zhì)的參數(shù)也隨頻率變化。

5.2.2平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播特性

引入等效復(fù)介電常數(shù)

后，平面波在導(dǎo)電媒質(zhì)中場的表達(dá)式和傳播特性參數(shù)可仿照理想介質(zhì)情況得到。在無源區(qū)域，仍假設(shè)沿正z方向傳播的時(shí)諧電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量只有x向分量，且與無關(guān)，則式(5-34a)簡化為以下的二階線性常微分方程：

(5-37)此方程的解寫為，于是(5-38)而磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為

式中，而傳播常數(shù)因?yàn)槭菑?fù)數(shù)量，因此可用實(shí)部和虛部表示，即

式中：稱為衰減常數(shù)；稱為相位（或相移）常數(shù)。將上式兩端取平方，再將上式兩端的實(shí)、虛部分開并聯(lián)立求解，有(5-39)(5-40)

(5-41a)(5-41b)這樣，將式（5-40）代入式（5-38），得(5-42)其瞬時(shí)表達(dá)式為(5-43)可見，導(dǎo)電媒質(zhì)中場強(qiáng)的振幅隨z的增加按指數(shù)規(guī)律不斷衰減，衰減的大小取決于媒質(zhì)的電導(dǎo)率。衰減量可用場強(qiáng)衰減值的自然對數(shù)進(jìn)行計(jì)量，衰減常數(shù)的單位是奈培每米（Np/m）。若電磁波在導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播一段距離

米后場強(qiáng)幅值由衰減到，則

于是，有

或

(5-44)在工程上常用分貝（dB）作為衰減量的單位，其定義為或根據(jù)上述關(guān)系可知，1Np=8.686dB。(5-45)導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的波長為

其中，按式（5-41b）計(jì)算。導(dǎo)電媒質(zhì)中電磁波的相速為(5-47)這表明，導(dǎo)電媒質(zhì)中平面波的相速比，相同的理想介質(zhì)中平面波的相速要慢，且越大，頻率越低，則相速越慢。這種現(xiàn)象稱為波的色散，導(dǎo)電媒質(zhì)稱為色散媒質(zhì)。（5-46）導(dǎo)電媒質(zhì)的本征阻抗為(5-48)可見，(特別地，，對應(yīng)于理想介質(zhì)；，對應(yīng)于理想導(dǎo)體)，即本征阻抗具有感性相角。此時(shí)磁場強(qiáng)度復(fù)矢量為（5-49）其瞬時(shí)表達(dá)式為即磁場強(qiáng)度的相位比電場強(qiáng)度的相位滯后，越大滯后就越多，其振幅也隨的增加按指數(shù)律衰減。由于導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的電磁波的電場和磁場方向相互垂直，并且都垂直于波的傳播方向，因此傳播波仍是TEM波。此時(shí)，復(fù)坡印亭矢量為(5-51)于是，平均功率流密度矢量為(5-52)可見，平均功率流密度隨z的增加按迅速衰減。導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的平面波的平均電、磁場能量密度不再相等。此時(shí)，因附加磁場，從而使。于是，引起傳導(dǎo)電流而激發(fā)磁場能量密度為總的平均電（5-53）由式（5-52）和式（5-53），可得導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的平面波的能速為（5-54）下面討論兩種具有代表性的導(dǎo)電媒質(zhì)。1）良介質(zhì)中的平面波良介質(zhì)是一種低損耗的媒質(zhì)，此時(shí)，即位移電流密度遠(yuǎn)大于傳導(dǎo)電流密度，例如常見的聚四氟乙烯、聚苯乙烯以及有機(jī)玻璃等材料，在高頻、超高頻或更高頻段中均有。對式(5-40)的第二個(gè)等式作二項(xiàng)式級數(shù)展開，略去平方項(xiàng)以上的高階項(xiàng)，可得傳播常數(shù)的近似式為(5-55)(5-56a)(5-56b)同理，良介質(zhì)的本征阻抗和波的相速可分別近似為(5-57)(5-58)于是，良介質(zhì)的衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為以上各式表明，平面波在良介質(zhì)中傳播時(shí)，除了電磁波場強(qiáng)的幅度因介質(zhì)損耗引起微弱的衰減外，其他傳播特性與理想介質(zhì)情況幾乎相同。2）良導(dǎo)體中的平面波對良導(dǎo)體，，即傳導(dǎo)電流密度遠(yuǎn)大于位移電流密度。例如銀、金、銅等金屬，在整個(gè)微波波段都有（如銅()在頻率高達(dá)時(shí)仍為良導(dǎo)體）。此時(shí)，等效復(fù)介電常數(shù)可近似為

(5-59)這樣，衰減常數(shù)為(5-60)

或(5-61)良導(dǎo)體的本征阻抗為(5-62)良導(dǎo)體中電磁波的傳播相速為(5-63)由良導(dǎo)體中電磁波的衰減常數(shù)的表達(dá)式(5-61)可見，高頻電磁波在良導(dǎo)體中衰減很大，因此高頻電磁場只能存在于導(dǎo)體表面附近的一個(gè)薄層內(nèi)。這種現(xiàn)象稱為趨膚效應(yīng)。為此，定義一個(gè)新的物理量—趨膚深度，它是指電磁波場強(qiáng)的幅度衰減至導(dǎo)體表面處的或的深度。記趨膚深度為，因時(shí)場強(qiáng)幅度降為，故m(5-64)又因，于是

(5-65)

可見，根據(jù)良導(dǎo)體中電磁波的波長可近似計(jì)算趨膚深度。此外，由式（5-64）可知，導(dǎo)體材料的導(dǎo)電性能越好，頻率越高，則趨膚深度越小。良導(dǎo)體中平面波的電、磁場復(fù)矢量可表示為(5-66a)(5-66b)于是，復(fù)坡印亭矢量及平均功率流密度矢量分別為(5-67)(5-68)

此外，通常將導(dǎo)體表面（）處的切向電場與切向磁場之比定義為導(dǎo)體的表面阻抗，記為，即(4.53)式中,分別稱為表面電阻和表面電抗。4.3平面波的極化

按照矢量的尾端軌跡的形狀通?？蓪⑵矫娌ǖ臉O化分為三種：線極化、圓極化和橢圓極化。無一定極化方式的波（如光波）通常稱為隨機(jī)極化波。假設(shè)平面波沿正z向傳播，則電場強(qiáng)度總可分解為和兩個(gè)分量，即復(fù)矢量為(5-69)

若的振幅為，的振幅為，且相位滯后于相位的角度為（若相位超前于，則）。于是，上式可寫成為(5-70)其瞬時(shí)表達(dá)式為(5-71)這表明瞬時(shí)矢量的兩個(gè)分量分別為(5-72)在上兩式中消去，可得和間的以下關(guān)系：

(5-73)這是對任意給定z值的情況下，的尾端在z平面內(nèi)的軌跡方程。對不同的和的比值及的取值，上式代表不同的幾何圖形，從而對應(yīng)不同的極化方式。

5.3.1線極化當(dāng)或時(shí)，則方程（5-73）變?yōu)橐韵碌姆匠蹋?/p>

(5-74)這是一直線方程，其中“＋”對應(yīng)于；“－”對應(yīng)于（或）。根據(jù)式（5-72），可得的方向與軸正向間的夾角為(5-75)這表明的尾端軌跡是一直線，故稱為線極化。圖5-7(a)示出了z=0平面上在情況下電場強(qiáng)度尾端的軌跡。

圖5-7（a）線極化

4.3.2圓極化

當(dāng)，時(shí)，由式（5-73），可得

這是半徑為的圓，圖5-7（b）示出了平面上電場強(qiáng)度尾端的變化軌跡。(5-76)

圖5-7(b)圓極化根據(jù)式（5-72）可知，的大小不隨變化，而的方向與x軸的夾角為

(5-77)這表明，對于給定值的某點(diǎn)（如圖中情況），隨的增加，場矢量的方向以角頻率等速旋轉(zhuǎn)。的尾端軌跡是圓，故稱為圓極化。當(dāng)相位滯后于時(shí)，的旋向與波的傳播方向滿足右手螺旋關(guān)系，稱為右旋圓極化（或正圓極化）。當(dāng)相位超前時(shí)，的旋向與波的傳播方向滿足左手螺旋關(guān)系，稱為左旋圓極化（或負(fù)圓極化）。在給定時(shí)刻，右旋圓極化波的電場的尾端軌跡恰為左旋螺旋線；左旋圓極化波的電場的尾端軌跡恰為右旋螺旋線。如圖5-8所示。圖5-8左旋圓極化波電場的右旋螺旋線根據(jù)上述討論可知，若波沿正z向傳輸，對左旋圓極化，因，故電場強(qiáng)度復(fù)矢量為

(5-78)對右旋圓極化，因，故電場強(qiáng)度復(fù)矢量為

(5-79)可見，兩個(gè)相位相差，振幅相等，空間上正交的線極化波可合成一個(gè)圓極化波；反之，一個(gè)圓極化波可分解為兩個(gè)相位相差，振幅相等，空間上正交的線極化波。

4.3.3橢圓極化最一般的情況是式（5-73）中相位差為任意值（但，以及時(shí)，）的情況，式（5-73）是一個(gè)橢圓方程，此時(shí)矢量的尾端在橢圓上變化，故稱為橢圓極化，對應(yīng)的波為橢圓極化波。圖5-7(c)示出了z＝0平面上矢量尾端的變化軌跡。由式（4.57）可知，與x軸正向間的夾角的正切為