雙縫干涉條紋間距公式的推導兩種方法

..雙縫干涉條紋間距公式的推導雙縫干涉條紋間距公式的推導O·O··xy如圖建立直角坐標系,其x軸上橫坐標為的點與的點為兩波源。這兩個波源的振動情況完全相同,則這兩個波源發(fā)生干涉時的加強區(qū)為到兩個波源的距離差為波長整數倍〔零除外的雙曲線簇。其中、為所有雙曲線的公共焦點。這個雙曲線簇的方程為：O·O··xy用直線去截這簇雙曲線,直線與雙曲線的交點為加強的點。將代入雙曲線簇的方程,有：解得：上式中,d的數量級為,為。故,x的表達式簡化為：其中的數量級為,d的數量級為。故,x的表達式簡化為：可見,交點橫坐標成一等差數列,公差為,這說明：〔1條紋是等間距的；〔2相鄰兩條紋的間距為。至此,證明了條紋間距公式：。楊氏雙縫干涉條紋間距到底是不是相等的？海軍航空工程學院李磊梁吉峰選自《物理教師》20XX第11期在楊氏雙縫干涉實驗中,在現(xiàn)行的高中物理教科書中得出相鄰的明紋〔或者暗紋中心間距為：Δx＝Lλ/d,其中L為雙縫與屏的間距,d為雙縫間距,對單色光而言,其波長λ為定值,所以我們得出的結論是干涉圖樣為等間距的一系列明暗相同的條紋,但是在現(xiàn)行的高中物理教科書中所給的干涉條紋的照片卻并非如此,如圖1。我們可以看到只是在照片中央部分的干涉條件是等間距的,但是在其邊緣部分的條紋的間距明顯與中央部分的條紋間距不同。問題到底出在哪里呢？首先我們來看現(xiàn)行的教科書上對于楊氏雙縫干涉的解釋,如圖2。設定雙縫S1、S2的間距為d,雙縫所在平面與光屏P平行。雙縫與屏之間的垂直距離為L,我們在屏上任取一點P1,設定點P1與雙縫S1、S2的距離分別為r1和r2,O為雙縫S1、S2的中點,雙縫S1、S2的連線的中垂線與屏的交點為P0,設P1與P0的距離為x,為了獲得明顯的干涉條紋,在通常情況下L>>d,在這種情況下由雙縫S1、S2發(fā)出的光到達屏上P1點的光程差Δr為S2M＝r2－r1≈dsinθ,〔1其中θ也是OP0與OP1所成的角。因為d<<L,θ很小,所以sinθ≈tanθ＝EQ\F<x,L>〔2因此Δr≈dsinθ≈dEQ\F<x,L>當Δr≈dEQ\F<x,L>＝±kλ時,屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,……,〔3當Δr≈dEQ\F<x,L>＝±〔k＋EQ\F<1,2>λ時,屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中是k＝0,1,2,……。〔3′我們繼續(xù)算得光屏上明條紋和暗條紋的中心位置。當x＝±kEQ\F<L,d>λ時,屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,…?！?當x＝±〔k＋EQ\F<1,2>EQ\F<L,d>λ時,屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。〔4′我們還可以算出相鄰明條紋〔或者暗條紋中心問的距離為Δx＝xk＋1－xk＝EQ\F<L,d>λ。〔5至此我們得出結論：楊氏雙縫干涉條紋是等間距的。問題就在于以上的推導過程中,我們用過兩次近似,第1次是在運用公式Δr＝r2－r1≈dsinθ的時候,此式近似成立的條件是∠S1P1S2很小,因此有S1M⊥S2P1,S1M⊥OP1,因此∠P0OP1＝∠S2S1M,如果要保證∠S1P1S2很小,只要滿足d<<L即可,因此Δr≈dsinθ是滿足的。第2次近似是因為d<<L,θ很小,所以sinθ≈tanθ。下面我們通過表1來比較sinθ與tanθ的數值。表1θ1°2°3°4°5°6°7°sinθ0.0174520.0348990.0523590.0697560.0871550.1045280.121869tanθ0.0174550.0349200.0524070.0699260.0874880.1051040.122784θ8°9°10°11°sinθ0.1391730.1564340.1736480.190808tanθ0.1405400.1583840.1763260.194380從表1中我們可以看出當θ＝6°時,EQ\F<tanθ－sinθ,sinθ>≈0.6%。因此當θ≥6°時,相對誤差就超過了0.6%,因此我們通常說sinθ＝tanθ成立的條件是θ≤5°,當θ＞5°時,sinθ≈tanθ就不再成立。而在楊氏雙縫干涉實驗中,θ很小所對應的條件應該是x<<L,這應該對應于光屏上靠近P0的點,在此種情況下上述的推導過程是成立的,干涉條紋是等間距的。而當x較大時,也就是光屏上離P0較遠的點所對應的θ角也較大,當θ＞5°時,sinθ≈tanθ就不再成立,上述推導過程也就不完全成立了,〔2式就不能再用了。此時sinθ＝所以,Δr≈dsinθ＝＝±kλ,屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,…,Δr≈dsinθ＝＝±〔k＋EQ\F<1,2>λ,屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。因此可以得到光屏上明紋或者暗紋的中心位置為x＝±,屏上表現(xiàn)為明條紋,其中k＝0,1,2,…,x＝±,屏上表現(xiàn)為暗條紋,其中k＝0,1,2,…。則相鄰的明條紋中心問距為Δx明＝xk＋1明一xk明＝－鄰暗條紋中心間距為Δx暗＝xk＋1暗一xk暗＝－由上式可見相鄰的明、暗條紋就不再是等間距的了,這也正如教科書上的照片所示的條紋分布。下面我們通過一個實例來定量計算等間距條紋的條數。例1：用氦氖激光器〔頻率為4.74×1014Hz的紅光照射間距為2mm的雙縫時,試求我們能觀察到的等間距的條紋的條數。解：因為Δr＝dsin