【課件】余弦定理與正弦定理第1課時(shí) 課件-2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

余弦定理與正弦定理第1課時(shí)導(dǎo)入新課情境中的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為：已知b，c和角A，如何求a．問(wèn)題1

隧道工程的設(shè)計(jì)，經(jīng)常要測(cè)算山腳的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)?shù)奈恢肁，量出A到山腳B，C的距離，再利用經(jīng)緯儀測(cè)出A對(duì)山腳BC（即線段BC）的張角，那么如何求出山腳的長(zhǎng)度BC呢（如圖）？

已知AB，AC，角A（兩條邊，一個(gè)夾角）ABC山新知探究問(wèn)題2

在△ABC中，當(dāng)C＝90°時(shí)，有c2＝a2＋b2，若a，b邊的大小不變，變換角C的大小時(shí)，c2與a2＋b2有什么大小關(guān)系呢？當(dāng)90°＜C＜180°時(shí)，－1＜cosC＜0，此時(shí)c2＞a2＋b2；據(jù)此看出，當(dāng)C≠90°時(shí)，c2≠a2＋b2．當(dāng)0°＜C＜90°時(shí)，0＜cosC＜1，此時(shí)c2＜a2＋b2．新知探究問(wèn)題3

在問(wèn)題2中，我們已經(jīng)知道，當(dāng)c≠90°時(shí)，c2≠a2＋b2，那么c2與a2＋b2到底有什么大小關(guān)系呢？如何探究？其它邊也有類似的關(guān)系嗎？

abcABC

＝a2＋b2－2abcosC，所以c2＝a2＋b2－2abcosC．同理可證：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB．所以其它邊也有類似關(guān)系．新知探究問(wèn)題3

在問(wèn)題2中，我們已經(jīng)知道，當(dāng)c≠90°時(shí)，c2≠a2＋b2，那么c2與a2＋b2到底有什么大小關(guān)系呢？如何探究？其它邊也有類似的關(guān)系嗎？方法2：（坐標(biāo)法）

所以a2＝（ccosA－b）2＋（csinA）2＝c2cos2A＋c2sin2A－2bccosA＋b2＝b2＋c2－2bccosA，同理可證b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．a(chǎn)bcABCyx新知探究問(wèn)題3

在問(wèn)題2中，我們已經(jīng)知道，當(dāng)c≠90°時(shí)，c2≠a2＋b2，那么c2與a2＋b2到底有什么大小關(guān)系呢？如何探究？其它邊也有類似的關(guān)系嗎？方法3：（幾何法）

∴a2＝CD2＋BD2＝（bsinA）2＋（c－bcosA）2＝b2sin2A＋c2＋b2cos2A－2bccosA當(dāng)A為直角時(shí)：由勾股定理a2＝b2＋c2，又cosA＝0，∴a2＝b2＋c2－2bccosA成立，＝b2＋c2－2bccosA．當(dāng)A為鈍角同理可證．bcABCaD新知探究問(wèn)題4

余弦定理和勾股定理有什么關(guān)系？余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．新知探究問(wèn)題5

余弦定理及其變式有哪些？

追問(wèn)：使用余弦定理可以解決哪些解三角形問(wèn)題？①已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角；②已知三邊，求三個(gè)角．新知探究問(wèn)題6

三角形的面積公式是什么？能用角表示嗎？如何表示？能，如圖，因?yàn)閔＝bsinA＝asinb，

同理得

．

ACBhbca初步應(yīng)用例1

如圖，有兩條直線AB和CD相交成80°角，交點(diǎn)為O．甲、乙兩人同時(shí)從點(diǎn)O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別為4km/h，4.5km/h．3h后兩人相距多遠(yuǎn)？（精確到0.1km）

3h后兩人相距16.4km．（詳解參考教材P109例1的解析．）BOPADQC80°初步應(yīng)用

DCBA111

（詳解參考教材P109例2的解析．）cos∠BAD＝

≈0.1691，

即∠BAD≈80°．初步應(yīng)用（1）m＝1；（2）△ABC面積的最大值為

．

（詳解參考教材P110例3的解析．）

（1）若mbc＝b2＋c2－a2，求實(shí)數(shù)m的值；

課堂練習(xí)練習(xí)：教科書第110頁(yè)練習(xí)1，2，3．歸納小結(jié)（1）這節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)了什么新知識(shí)？我們是如何研究它的？（2）余弦定理的變式有哪些？三角形的面積公式是什么？問(wèn)題3

本節(jié)課收獲了哪些知識(shí)，請(qǐng)你從以下幾方面總結(jié)：（1）我們發(fā)現(xiàn)了余弦定理，三角形面積公式的另一種表達(dá)形式；

（2）變式：

歸納小結(jié)（3）余弦定理的應(yīng)用有哪些？（4）你有什么困惑嗎？問(wèn)題3

本節(jié)課收獲了哪些知識(shí)，請(qǐng)你從以下幾方面總結(jié)：（3）余弦定理的應(yīng)用：①已知三邊，求三個(gè)角；（4）困惑是：……②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．作業(yè)布置作業(yè)：教科書第123頁(yè)，A組3，4，5，6．1目標(biāo)檢測(cè)A在△ABC中，

，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）

解析：∵

，

∴

得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×＝32，

2目標(biāo)檢測(cè)C

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，若c2＝（a－b）2＋4，C＝

，則△ABC的面積是（）A．

B．3

又由余弦定理可得：c2＝a2＋b2－ab，解得：ab＝4，解析：∵c2＝（a－b）2＋4＝a2＋b2－2ab＋4，C＝

，

∴4－2ab＝－ab，∴

3目標(biāo)檢測(cè)D在△ABC中，a∶b∶c＝3∶5∶7，則△ABC的最大角是（）A．30°C．90°D．120°B．60°解析：由a∶b∶c＝3∶5∶7，知最大邊為c，∴最大角為C，設(shè)a＝3k，b＝5k，c＝7k（k＞0），則

又0°＜C＜180°，∴C＝120°．4目標(biāo)檢測(cè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知a＝7，c