構件的強度與剛度講解

《機械設計基礎》

—構件的強度與剛度

段齊駿南京理工大學設計藝術系2構件的強度與剛度2.1構件材料的要求與假設2.2構件的基本變形形式2.3拉伸與壓縮★2.4剪切與擠壓2.5圓軸的扭轉(zhuǎn)2.6梁的平面彎曲2.7組合變形的強度計算2.1構件材料的要求與假設構件材料的相關要求

在任何外力(載荷)作用下,零件不允許發(fā)生破壞；材料抵抗破壞的能力，稱之為強度。

在任何外力(載荷)作用下,零件不可發(fā)生過大的變形；材料抵抗變形的能力，稱之為剛度。

在任何外力(載荷)作用下,零件應保持原有形式下的平衡；材料保持原有平衡形式的能力，稱之為穩(wěn)定性。

2.1構件材料的要求與假設構件材料的基本假設

均勻連續(xù)假設：假設變形體內(nèi)部都是連續(xù)不斷的均勻的物質(zhì)；

各向同性假設：假設變形體在各個方向上具有相同的力學屬性。

2.2桿件的基本變形形式材料力學的研究對象—桿件

桿件是指一個方向的尺寸遠大于另兩個方向的尺寸的構件。 典型的桿件有軸、連桿、梁。

桿件的與其長度方向垂直的截面稱為橫截面；橫截面形心的連線稱為軸線。 桿件的基本變形形式基本變形工程實例受力簡圖拉伸壓縮剪切扭轉(zhuǎn)彎曲2.3拉伸與壓縮2.3.1拉伸、壓縮的概念

在一對大小相等、方向相反、作用線與桿軸線重合的外力作用下，構件所發(fā)生的伸長或縮短變形。

2.3.2內(nèi)力與截面法內(nèi)力的概念

材料力學所指的內(nèi)力,是指在外力作用下存在于構件內(nèi)部的各質(zhì)點之間、構件這一部分和另一部分之間的相互作用力。

2.3.3應力的概念

工程上常用單位面積上的內(nèi)力大小來判斷構件的危險程度；即有單位面積上的內(nèi)力稱為應力。

N—橫截面上的內(nèi)力，單位為N（牛頓）；

A—橫截面的面積，單位為m2；

—橫截面上的正應力，單位為Pa，1Pa=1N/m2

2.3.4材料在拉壓時的力學性質(zhì)低碳鋼的拉伸

構件拉伸的長度與原長之比為應變：低碳鋼的拉伸

彈性階段(ab)E為材料的彈性模量。屈服階段(bc)強化階段(cd)縮頸階段(de)延伸率：2.3.5許用應力與安全系數(shù)塑性材料的許用應力

ns稱為屈服安全系數(shù)，取值1.2～1.5；σs稱為屈服應力脆性材料的許用應力

nb稱為屈服安全系數(shù)，取值2～3；σb稱為屈服應力2.3.6拉（壓）桿的強度計算根據(jù)該強度條件,可以解決三類計算問題:

強度校核

設計截面

確定許可載荷 拉(壓)桿的強度條件:例:已知兩45號圓鋼成直角構成支承結構如圖，B點懸掛的重物重量為1000N。根據(jù)強度條件，設計AB和BC桿的直徑。解題步驟：1根據(jù)靜力平衡條件，分別求得兩桿的內(nèi)力；2根據(jù)材料特征，確定許用應力；3 按照強度條件，分別計算兩桿截面積，從而確定兩桿直徑。2.3.7拉（壓）時的變形1 縱向變形及其規(guī)律

2橫向變形及其規(guī)律 式中為橫向變形系數(shù)；μ為泊松系數(shù)或泊松比。2.3.8應力集中的概念由于功能與結構的需要，在構件上常存在切口、孔洞、螺紋、軸肩等結構；實驗證明，在截面形狀突變部分，其應力不是均勻分布，在突變附近的局部范圍內(nèi)，應力顯著增大，這種現(xiàn)象稱為應力突變。減小應力集中的方法：2.4剪切與擠壓2.4.1剪切剪切的特點

作用于構件兩個側面上且與構件軸線垂直的外力，可以簡化成大小相等、方向相反、作用線相距很近的一對力，使構件兩部分沿剪切面有發(fā)生相對錯動的趨勢。2.4剪切與擠壓剪切強度計算（實用計算方法）

Q---剪力；A---受剪面積。鍵的受剪面積是多少？2.4剪切與擠壓2.4.2擠壓

擠壓面上的壓強習慣上稱為擠壓應力，用表示。擠壓應力與直桿壓縮的壓應力不同，壓應力在橫截面上是均勻分布的。擠壓應力則只限于接觸面附近的區(qū)域，在接觸面上的分布也比較復雜，因此也采用實用計算方法。例：電瓶車掛鉤用插銷聯(lián)接，如圖所示。已知t=8mm，插銷的材料為20鋼，[τ]=30Mpa，[σjy]=100Mpa，牽引力P=15KN。試選頂插銷的直徑。2.5圓軸的扭轉(zhuǎn)2.5.1概念

在桿件兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面垂直于桿件軸線的力偶，致使桿件的任意兩個橫截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對轉(zhuǎn)動，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。2.5.2扭矩與扭矩圖

假想將圓軸沿mm截面分成兩部分，并取部分I作為研究對象。由于整個軸是平衡的，所以部分I也是平衡的，也即在mm截面上存在一個內(nèi)力偶矩Mn—部分II對部分I作用的內(nèi)力偶矩。扭矩的符號法則若按右手螺旋法則把Mn表示為矢量，當矢量方向與截面的外法線方向一致時，Mn為正；反之，為負。判斷：該圓軸內(nèi)的扭矩的正負性。例：傳動軸如圖所示。已知MA=1170Nm，MB=MC=351Nm，MD=468Nm。求軸的扭矩圖?！窘狻緽C段：Mn1+MB=0∴Mn1=-MB=-351NmCA段：Mn2+MC+MB=0∴Mn2=-MC-MB=-702NmAD段：Mn3-MD=0∴Mn3=MD=468Nm例：傳動軸如圖所示。已知MA=1170Nm，MB=MC=351Nm，MD=468Nm。求軸的扭矩圖。結構合理結構欠佳2.5.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力和強度條件

研究步驟：由桿件的變形找出應變的規(guī)律—研究圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形幾何條件；由應變規(guī)律找出應力的分布規(guī)律—建立應力和應變間的物理關系；根據(jù)扭矩和應力之間的靜力平衡關系，求出應力計算公式。1）變形幾何關系圓軸扭轉(zhuǎn)的基本假設：圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線。相鄰兩截面間的距離不變。mm面相對于nn面產(chǎn)生相對錯動，轉(zhuǎn)角為ab邊相對于cd邊的相對錯動距離是：ab邊相對cd邊轉(zhuǎn)動，即有單元體abcd的剪切變形：根據(jù)變形后橫截面仍為平面、半徑保持為直線的假設，可以求得在距離圓心為處的剪應變是：橫截面上任意點的簡應變與該點到圓心的距離成正比。2）物理關系G為剪切彈性模量。3）靜力關系微面積dA微面積上的內(nèi)力系在任何方向上的合力為零；只存在一個微力偶矩橫截面上的內(nèi)力偶矩和應等于外力作用所產(chǎn)生的扭矩，即有：稱為橫截面對O點的極慣性矩如果Wn—抗扭截面模量實心圓軸空心圓軸NOTES:以上結論是以平面假設為基礎導出的。實驗表明，只有對橫截面不變的圓軸，平面假設才是正確的；所以，上述強度計算公式只適用于等徑圓桿。在導出過程中，應用了剪切虎克定律，因此強度不可超出材料的剪切比例極限。圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件：為材料的許用剪切應力。2.5.4圓軸扭轉(zhuǎn)時的剛度條件

兩個截面之間的相對轉(zhuǎn)角

圓軸的絕對轉(zhuǎn)角

圓軸扭轉(zhuǎn)的剛度條件

圓軸單位長度的扭轉(zhuǎn)角許用扭轉(zhuǎn)角是按機器的工作要求和工作條件確定的，一般經(jīng)驗值為：精密機器的軸：=（0.15~0.5）°/m一般傳動軸：=（0.5~1）°/m精密度較低的軸：=（1~2.5）°/m2.6梁的平面彎曲2.6.1概念

作用桿件上的外力垂直于桿件的軸線，使變形前原為直線的軸線，變形后成為曲線，此為彎曲。以彎曲變形為主的桿件習慣上稱為梁。橋式起重機車刀梁的結構特征：受彎桿件的橫截面具有一根對稱軸，因此梁就存在一個包含軸線的縱向?qū)ΨQ面。當作用于桿件上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁彎曲變形后的軸線也將位于這個對稱面內(nèi)，這種彎曲形式稱為平面彎曲。梁的典型橫截面2.6.2梁的載荷及基本形式

載荷的簡化根據(jù)力作用的范圍與梁長的比，可以將載荷簡化為集中載荷或均布載荷。比如車刀的切削力、橋式起重機的起吊重物對梁的載荷可簡化為集中載荷；而梁的自重則可視為均布載荷。

靜定梁的基本形式簡支梁，橋式起重機外伸梁，火車輪軸懸臂梁，車刀支座反力可由靜力平衡條件確定的梁，統(tǒng)稱為靜定梁。2.6.3剪力和彎矩

集中載荷簡支梁：由靜力平衡條件求支座反力截面法求梁的內(nèi)力符號規(guī)定：mm以左，相對右段向上錯動剪力為正，反之為負；mm處彎曲變形凸向下，彎矩為正，反之為負。剪力方程和彎矩方程一般情況下，梁上橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化，即有：Q=Q(x)；M=M(x)剪力圖和彎矩圖—用圖線表示梁上各橫截面剪力Q和彎矩M的變化情況。均布載荷簡支梁：由靜力平衡條件求支座反力剪力方程和彎矩方程集中載荷懸臂梁：由靜力平衡條件求支座反力剪力方程和彎矩方程2.6.4平面彎曲應力

在AC與DB段內(nèi)，梁上各橫截面上既有彎矩又有剪力，因而既有正應力又有剪應力，這種情況稱為橫力彎曲或剪切彎曲。在CD段內(nèi)，梁的各個橫截面上剪應力為零，而彎矩為常量；此時在橫截面上只有正應力而無剪應力，此為純彎曲。此處主要研究純彎曲。1）變形幾何關系梁彎曲的實驗觀察：變形前原來的直縱向線，變形后呈曲線，一側縮短，一側伸長。橫截面仍為平面且仍垂直于梁軸線，但相鄰兩橫截面間存在夾角。受壓與受拉區(qū)間存在“0”變形層，稱作中性層；中性層與橫截面的交線為中性軸。受力前彎曲時距中性層為y處的纖維，變形后的長度原長度上述纖維的線應變2）物理關系E為彈性模量。3）靜力關系橫截面上微內(nèi)力,可簡化為三個內(nèi)力分量：純彎曲，即有：令為橫截面對中性軸的極慣性矩，即有—抗彎截面模量—彎曲強度條件2.6.5梁的變形

在平面彎曲的情況下，變形后梁的軸線將成為xy對稱面內(nèi)的一條曲線，稱為撓曲線：v=f(x)

撓曲線方程v代表坐標為x的橫截面沿y方向的位移，稱為撓度。在梁彎曲變形過程中，梁的橫截面對原來位置所轉(zhuǎn)過的角度θ稱為該截面的轉(zhuǎn)角。在純彎曲情況下：又，平面曲線的曲率：撓曲線平坦據(jù)平面假設：彎矩符號規(guī)定，撓曲線凸向下，彎矩M為正；而凸向下的撓曲線的二階導數(shù)也為正；同理于撓曲線凸向上。則有：所以可用積分法求得轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程：C、D可根據(jù)撓曲線方程的邊界條件和連續(xù)條件確定。—撓曲線微分方程撓曲線方程的邊界條件：撓曲線方程的連續(xù)條件：在鉸支座上，撓度等于零；在固定端，撓度和轉(zhuǎn)角等于零；在彎曲變形的對稱點，轉(zhuǎn)角等于零。在撓曲線的任意點上，有唯一確定的撓度和轉(zhuǎn)角。均布載荷簡支梁的變形：彎矩方程代入撓曲線微分方程兩次積分，得：梁在兩端鉸支座上的撓度為零，故有邊界條件：將邊界條件代入撓度方程，有：于是有梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程：因為梁上的外力和邊界條件都對跨度中點對稱，所以撓曲線也對跨度中點對稱。在跨度中點撓曲線切線斜率為零，撓度最大。兩端截面轉(zhuǎn)角數(shù)值相等為最大，符號相反。集中載荷懸臂梁：集中載荷簡支梁：推導撓曲線方程與轉(zhuǎn)角方程：建議：應對AC與CB段分別積分；在CB段內(nèi)，對含有(x-a)的項就以(x-a)為自變量積分，可使計算得以簡化。

剛度條件

提高梁彎曲剛度的措施改善結構形式，比如（1）在結構允許的條件下，應使軸上的齒輪、皮帶輪等部件盡可能靠近支座；（2）把集中載荷分散為分布力；（3）縮短跨度。選擇合理的截面形狀，例如工字形、槽形、T形等截面都比面積相同的矩形截面有更大的極慣性矩。鋼的E值差別不大，所以改變材料不是有效措施。2.7組合變形2.7.1概念

在工程實際中，往往存在兩種以上基本變形組合的情況，稱為組合變形。2.7.2組合變形的研究方法

把載荷簡化成幾個靜力等效的載荷，使這幾個靜力等效的載荷各自對應著一種基本變形。在材料服從虎克定律且變形很小的前提下，桿件上雖然同時存在著幾種基本變形，但每一種基本變形都各自獨立，互不影響；于是，分別計算每一種基本變形各自引起的應力和形變，然后求其總和，便是桿件在原載荷下的應力和變形。2.7.3拉壓與彎曲

起重機橫梁可簡化為簡支梁。軸向力Rax和Tx引起AB桿的壓縮變形。垂直于桿件軸線的G、Ray和Ty共同導致桿件的彎曲變形。2.7.4彎曲與扭轉(zhuǎn)

已知T1、T2是皮帶輪兩邊的拉力，皮帶輪直徑為D，其余