三角函數(shù)公式推導(dǎo)和應(yīng)用大全

..三角函數(shù)公式推導(dǎo)和應(yīng)用大全三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。其定義域?yàn)檎麄€(gè)實(shí)數(shù)域。另一種定義是在直角三角形中,但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的解,將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。三角函數(shù)看似很多、很復(fù)雜,但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在中文名三角函數(shù)公式外文名Formulasoftrigonometricfunctions應(yīng)用學(xué)科數(shù)學(xué)、物理、地理、天文等適用領(lǐng)域范圍幾何,代數(shù)變換,數(shù)學(xué)、物理、地理、天文等適用領(lǐng)域范圍高考復(fù)習(xí)目錄1定義式2函數(shù)關(guān)系3誘導(dǎo)公式4基本公式?和差角公式?和差化積?積化和差?倍角公式?半角公式?萬能公式?輔助角公式5三角形定理?正弦定理?余弦定理三角函數(shù)公式定義式編輯銳角三角函數(shù)任意角三角函數(shù)圖形

直角三角形任意角三角函數(shù)正弦〔sin余弦〔cos正切〔tan或tg余切〔cot或ctg正割〔sec余割〔csc表格參考資料來源：現(xiàn)代漢語詞典．三角函數(shù)公式函數(shù)關(guān)系編輯倒數(shù)關(guān)系：；；商數(shù)關(guān)系：；．平方關(guān)系：；；．三角函數(shù)公式誘導(dǎo)公式編輯公式一：設(shè)為任意角,終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：公式二：設(shè)為任意角,與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式三：任意角與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式四：與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式五：與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：公式六：及與的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：記背訣竅：奇變偶不變,符號看象限．即形如〔2k+190°±α,則函數(shù)名稱變?yōu)橛嗝瘮?shù),正弦變余弦,余弦變正弦,正切變余切,余切變正切。形如2k×90°±α,則函數(shù)名稱不變。誘導(dǎo)公式口訣"奇變偶不變,符號看象限"意義：k×π/2±a<k∈z>的三角函數(shù)值．<1>當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),等于α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看作銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號；

<2>當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),等于α的異名三角函數(shù)值,前面加上一個(gè)把α看作銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號。記憶方法一：奇變偶不變,符號看象限：

記憶方法二：無論α是多大的角,都將α看成銳角．

以誘導(dǎo)公式二為例：若將α看成銳角〔終邊在第一象限,則π十α是第三象限的角〔終邊在第三象限,正弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值,余弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值,正切函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是正值．這樣,就得到了誘導(dǎo)公式二．

以誘導(dǎo)公式四為例：

若將α看成銳角〔終邊在第一象限,則π-α是第二象限的角〔終邊在第二象限,正弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是正值,余弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值,正切函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值．這樣,就得到了誘導(dǎo)公式四．誘導(dǎo)公式的應(yīng)用：運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的一般步驟：

特別提醒：三角函數(shù)化簡與求值時(shí)需要的知識(shí)儲(chǔ)備：①熟記特殊角的三角函數(shù)值；②注意誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用；③三角函數(shù)化簡的要求是項(xiàng)數(shù)要最少,次數(shù)要最低,函數(shù)名最少,分母能最簡,易求值最好。三角函數(shù)公式基本公式編輯三角函數(shù)公式和差角公式二角和差公式證明如圖,負(fù)號的情況只需要用-β代替β即可．cot<α+β>推導(dǎo)只需把角α對邊設(shè)為1,過程與tan<α+β>相同．證明正切的和差角公式證明正弦、余弦的和差角公式三角和公式三角函數(shù)公式和差化積口訣：正加正,正在前,余加余,余并肩,正減正,余在前,余減余,負(fù)正弦．三角函數(shù)公式積化和差三角函數(shù)公式倍角公式二倍角公式三倍角公式證明：sin3a=sin<a+2a>=sin^2a·cosa+cos^2a·sina=2sina<1-sin^2a>+<1-2sin^2a>sina=3sina-4sin^3acos3a=cos<2a+a>=cos^2acosa-sin^2asina=<2cos^2a-1>cosa-2<1-cos^2a>cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina<3/4-sin^2a>=4sina[<√3/2>-sina][<√3/2>+sina]=4sina<sin60°+sina><sin60°-sina>=4sina*2sin[<60+a>/2]cos[<60°-a>/2]*2sin[<60°-a>/2]cos[60°+a>/2]=4sinasin<60°+a>sin<60°-a>cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa<cos^2a-3/4>=4cosa[cos^2a-<√3/2>^2]=4cosa<cosa-cos30°><cosa+cos30°>=4cosa*2cos[<a+30°>/2]cos[<a-30°>/2]*{-2sin[<a+30°>/2]sin[<a-30°>/2]}=-4cosasin<a+30°>sin<a-30°>=-4cosasin[90°-<60°-a>]sin[-90°+<60°+a>]=-4cosacos<60°-a>[-cos<60°+a>]=4cosacos<60°-a>cos<60°+a>上述兩式相比可得：tan3a=tana·tan<60°-a>·tan<60°+a>四倍角公式sin4a=-4*[cosa*sina*<2*sina^2-1>]cos4a=1+<-8*cosa^2+8*cosa^4>tan4a=<4*tana-4*tana^3>/<1-6*tana^2+tana^4>五倍角公式n倍角公式應(yīng)用歐拉公式：.上式用于求n倍角的三角函數(shù)時(shí),可變形為