數(shù)學(xué)同步練習(xí)題考試題試卷教案華杯賽經(jīng)典試題(三)

華杯賽經(jīng)典試題〔三〕華杯賽經(jīng)典試題〔三〕1.請(qǐng)將算式的結(jié)果寫(xiě)成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。[分析]這一道題，主要是檢查同學(xué)們將循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)的熟練程度。[解法]原式＝＝＝2.將高都是1米，底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱組成一個(gè)物體。求這個(gè)物體的外表積。[分析]我們知道，底面半徑r、高h(yuǎn)的圓柱體外表積是S=2πr2＋2πrh．此題的物體由三個(gè)圓柱組成，如果分別求出三個(gè)圓柱的外表積，還得注意減去重疊局部的面積，算起來(lái)便麻煩多了。但是仔細(xì)觀察后會(huì)發(fā)現(xiàn)，向上的三塊外表積之和恰好是大圓柱的一個(gè)底面面積，這樣便想到了簡(jiǎn)單的解法。[解法]物體的外表積恰好等于一個(gè)大圓柱的外表積加上中、小圓柱的側(cè)面積。2×π×1.52＋2×π×1.5×1＋2×π×1×1+2×π×0.5×1=4.5π+3π＋2π＋π=10.5π〔平方米〕取π值為3，上式等于41.5〔平方米〕。答：這個(gè)物體的外表積是41.5平方米。[注]因?yàn)槿齻€(gè)圓柱的高都是1米，所以求三個(gè)圓柱側(cè)面積之和時(shí)，還可以再簡(jiǎn)便些：2π×〔1.5＋1+0.5〕＝6π。中學(xué)生學(xué)過(guò)提取公因子知識(shí)，更應(yīng)該想到這樣簡(jiǎn)化的算法。這小小的簡(jiǎn)化可以使計(jì)算時(shí)間縮短幾秒鐘，這在初賽時(shí)可是很有用的哩！3.有甲、乙兩個(gè)同樣的杯子，甲杯中有半杯清水，乙杯中盛滿了含50％酒精的溶液。先將乙杯中酒精溶液的一半倒入甲杯，攪勻后，再將甲杯中酒精溶液的一半倒入乙杯。問(wèn)這時(shí)乙杯中的酒精是溶液的幾分之幾？[分析]對(duì)這類(lèi)關(guān)于濃度計(jì)算的問(wèn)題，只要能搞清楚溶質(zhì)〔這里是酒精〕含量和溶液總量的變化，便很容易解決。[解法]列出每一次變化時(shí)二杯中溶液總量和酒精含量的數(shù)值最后，乙杯酒精量是溶溶液總量的。答：乙杯的酒精是溶液的。、4.電子跳蚤每跳一步，可從一個(gè)圓圈跳到相鄰的圓圈?，F(xiàn)在，一只紅跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0〞的圓圈按順時(shí)針?lè)较蛱?991步，落在一個(gè)圓圈里。一只黑跳蚤也從標(biāo)有數(shù)字“0〞的圓圈起跳，但它是沿著逆時(shí)針?lè)较蛱?949步，落在另一個(gè)圓圈里。問(wèn)：這兩個(gè)圓圈里數(shù)字的乘積是多少？[分析]認(rèn)真讀兩遍題，仔細(xì)研究一下右邊的圖，便不難發(fā)現(xiàn)：不管是紅跳蚤、還是黑跳蚤，不管它們是從哪一個(gè)圓圈起跳，只要是沿著一個(gè)方向跳，每一步都跳到相鄰的圓圈中，那么，一共12個(gè)圓圈，跳12步就回到開(kāi)始起跳位置，又重復(fù)進(jìn)行前面的過(guò)程，這樣，不管它跳的步數(shù)有多么大，只要算出跳了多少圈〔這個(gè)圈是指大圓圈〕又多少步，就知道它落在標(biāo)有數(shù)字多少的圓圈中了。當(dāng)然，要注意它跳的方向。[解]電子跳蚤每跳12步就回到了原來(lái)位置?！?991=165×12＋11∴紅跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0〞的圓圈出發(fā)，按順時(shí)針?lè)较蛱?991步時(shí)，是跳了165個(gè)12步后跳到了標(biāo)有數(shù)字“11〞的圓圈。同理，由1949=165×12+5知道黑跳蚤從標(biāo)有數(shù)字“0〞的圓圈按順時(shí)針?lè)较蛱?62個(gè)12步后跳到了標(biāo)有數(shù)字“7〞的圓圈?！嗨蟮某朔e是11×7=77。答：乘積是77。[思考]電子跳蚤“每跳12步回到原來(lái)位置〞，這是一種周期變化。在日常生活中有周期現(xiàn)象的事物還有許多，如：一周是7天，一天是24小時(shí)，一年是12個(gè)月，又如：鐘擺的運(yùn)動(dòng)，日、月的運(yùn)動(dòng)等，研究周期現(xiàn)象，也是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要任務(wù)呢！這個(gè)題目，還可以變得更復(fù)雜一些，如：電子跳蚤跳步時(shí)有這樣的周期性：第一步跳1個(gè)小圓圈〔即到相鄰圈〕，第二步跳2個(gè)小圓圈〔即到隔1個(gè)圈的小圓圈處〕，第三步跳3個(gè)小圓圈〔即到隔2個(gè)圈的小圓圈處〕，如此重復(fù)下去，……其它條件同原題一樣，那么，怎么解呢？相信少年讀者們能自己解決。5.：S＝求：S的整數(shù)局部?！卜治觥尺@個(gè)題目看起來(lái)是不好下手的，顯然不能對(duì)分母中的12個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行通分求和，那實(shí)在是太繁了。由于題目只要求S的整數(shù)局部，所以只要知道S在哪兩個(gè)整數(shù)之間就可以了。困難在于S的分母含有12個(gè)分?jǐn)?shù)，太多了！必須設(shè)法減少分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)！我們發(fā)現(xiàn)：＞＞＞…＞于是＜＝＝并且＞＝這樣，就知道S的分母在和之間，也就知道S在165和之間，于是，到達(dá)了目的！〔解〕根據(jù)“一個(gè)分?jǐn)?shù)，當(dāng)分子不變而分母變大時(shí)，分?jǐn)?shù)值變??；如果分子不變而分母變小時(shí)，分?jǐn)?shù)值變大。〞這個(gè)原理，可以知道＜并且＞∴S＞＝165并且S＜∴S的整數(shù)局部是165?！菜伎肌成厦娴慕夥ㄖ?，主要是運(yùn)用了“放〞、“縮〞的思想，這個(gè)思想很有用。此題中是用來(lái)進(jìn)行數(shù)值估計(jì)。下面是兩個(gè)類(lèi)似的題，讀者自己練習(xí)：〔1〕S＝，求S的整數(shù)局部?！?〕請(qǐng)?jiān)谙旅娴仁降姆娇蛑刑钌舷嗤囊粋€(gè)自然數(shù)，使等式成立：□□□□□6．某玩具廠生產(chǎn)大小一樣的正方體形狀的積木，每個(gè)面分別涂上紅、黃、藍(lán)3種顏色中的1種，每色各涂2個(gè)面。當(dāng)兩個(gè)積木經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)姆瓌?dòng)以后，能使各種顏色的面所在位置相同時(shí)，它們就被看作是同一種積木塊。試說(shuō)明：最多能涂成多少種不同的積木塊？〔解〕我們先注意正方體上的兩個(gè)面，或者處于相對(duì)的位置〔如頂面和底面〕或者處于相鄰的位置〔如頂面和一個(gè)側(cè)面〕。按題意，每種顏色各涂?jī)蓚€(gè)面，因此我們可以根據(jù)同一顏色的兩個(gè)面所處的位置將所有積木塊分成以下兒種不同的情形?！并瘛惩膬蓚€(gè)面均為相對(duì)面，即紅紅相對(duì)，黃黃相對(duì)，藍(lán)藍(lán)相對(duì)．這種情形只有一種。其理由是：首先可以將紅色面放在頂面和底面的位置上，然后．可以將黃色面放在正面和反面的位置上，這樣，左面和右面就只是藍(lán)色面了。岡為所有這樣的積木〔同色面相對(duì)〕都可以放成上面這種位置，所以只有1種。〔Ⅱ〕3種顏色中有兩種顏色，其同色的兩面為相對(duì)面。這時(shí)，第三種顏色的兩個(gè)面也必然相對(duì)，因此這就是第一種情形?！并蟆?種顏色中，只有1種領(lǐng)色的兩個(gè)面為相111對(duì)面。這種情形共有3種不同的積木塊。理由如下：首先不妨設(shè)紅色的兩個(gè)面為相對(duì)面。將這兩個(gè)面置于頂面和底面，這樣4個(gè)側(cè)面就為黃色和藍(lán)色，并且同1種顏色的兩個(gè)面相鄰。我們通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)動(dòng)，總可以將黃色面放在正面和右面，而藍(lán)色面放在左面和反面，因此只有1種積木塊。但是相對(duì)的面也可能黃色或藍(lán)色，因此又各有1種積木塊，顯然這3種積木塊是不相同的〔因?yàn)槿魏无D(zhuǎn)動(dòng)都不能將相鄰面變成相對(duì)面，也不能將相對(duì)面變成相鄰面〕，所以共有3種不同的積木塊?！并簟匙詈笠环N情形，每種顏色的兩個(gè)面均為相鄰面。這種情形有兩種不同的積木塊。這是比擬困難的一種情形。首先我們可以看出積木塊的3組相對(duì)面的顏色只能是〔紅、黃〕，〔紅、藍(lán)〕，〔黃、藍(lán)〕。為了使積木塊固定不動(dòng)。我們先通過(guò)適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)使得頂面為紅色，底面為黃色。然后再將側(cè)面適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)使得正面為紅色，反面為藍(lán)色，這樣積木塊就不能再動(dòng)了。這時(shí)積木的左面和右面可以分別是黃色和藍(lán)色，也可以是藍(lán)色和黃色，這代表了兩種不同的積木塊．總結(jié)上述討論，總共有6種不同的積木。答：共有6種不同的積木塊．〔分析與討論〕這是在決賽題中大家認(rèn)為比擬難的一道題，只有一個(gè)同學(xué)給出了比擬滿意的解答。也有一些同學(xué)的思路接近正確的解答．同學(xué)們以往可能很少碰到這類(lèi)問(wèn)題，特別是在書(shū)本上很少接觸到．但是在日常生活中肯定已屢次見(jiàn)過(guò)類(lèi)似的情況，只是沒(méi)有太留心罷了．例如：工廠生產(chǎn)的鋼珠，一般只以直徑來(lái)區(qū)分。同一直徑的都看成一種，而并不關(guān)心放成什么位置。同樣道理，一盒乒乓球總是看成一樣的．球是最簡(jiǎn)單的圖形，而立方體那么是比球稍稍復(fù)雜一點(diǎn)的圖形，也是可以“翻來(lái)倒去〞的．這道題的主要目的是看看同學(xué)們的空間想象力，這是數(shù)學(xué)中最根本的能力之一．如果在每個(gè)參賽的小朋友面前放一個(gè)積木塊．讓大家看著實(shí)物做，也許會(huì)有不少小朋友能得到正確的答案，但憑空想象就難多了。有興趣的同學(xué)們不妨找一些舊木塊〔或舊紙盒子〕，自己在桌上擺擺看，一邊擺一邊想，對(duì)提高空間想象力是頗有好處的．在弄明白了這道題以后，如果再有興趣，可以將題目中的限制“每色各涂?jī)蓚€(gè)面〞這句話去掉，也就是說(shuō)，每種顏色涂的面數(shù)不限，問(wèn)有多少種不同的積木塊？祝你成功！如圖是一塊黑白格子布。白色大正方形的邊長(zhǎng)是14厘米，白色小正方形的邊長(zhǎng)是6厘米。問(wèn)：這塊布中白色的面積占總面積的百分之幾？【解法】格子布的面積是圖36面積的9倍，格子布白色局部的面積也是圖36上白色面積的9倍。這樣，我們只需計(jì)算圖36中白色局部所占面積的百分比就行了。這個(gè)計(jì)算很簡(jiǎn)單：答：格子布中白色局部的面積是總面積的58％?！痉治雠c討論】這個(gè)題目的關(guān)鍵是看到格子布可以分割成9塊如圖35的正方形。這實(shí)質(zhì)上是利用了格子布的“對(duì)稱(chēng)性〞：格子布圖案是由一塊圖案重復(fù)地整齊排列而成的?！皩?duì)稱(chēng)〞不僅是數(shù)學(xué)中的重要概念，而且是自然界構(gòu)成的一條根本規(guī)律。因此，自古以來(lái)，在各個(gè)不同領(lǐng)域，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、甚至美學(xué)等，都把“對(duì)稱(chēng)性〞與“不對(duì)稱(chēng)性〞作為重要的課題來(lái)研究。著名數(shù)學(xué)家H·魏爾曾專(zhuān)門(mén)寫(xiě)過(guò)一本名為?對(duì)稱(chēng)?的書(shū)〔有中譯本〕，內(nèi)容非常豐富，思想極其深刻，很值得一讀。圖378.有一個(gè)電子鐘，每走9分鐘亮一次燈，每到整點(diǎn)響一次鈴。中午12點(diǎn)整，圖37【解法】因?yàn)殡娮隅娒康秸c(diǎn)響鈴，所以我們只要考慮哪個(gè)整點(diǎn)亮燈就行了。從中午12點(diǎn)起，每9分鐘亮一次燈，要過(guò)多少個(gè)9分鐘才到整點(diǎn)呢？由于1小時(shí)＝60分鐘，這個(gè)問(wèn)題換句話說(shuō)就是：9分鐘的多少倍是6O分鐘的整數(shù)倍呢？這樣一來(lái)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就清楚了：是求9分和60最小公倍數(shù)。不難算出9和60的最小公倍數(shù)是180。這就是說(shuō)，從正午起過(guò)180分鐘，也就是3小時(shí)，電子鐘會(huì)再次既響鈴又亮燈。答：下一次既響鈴又亮燈時(shí)是下午3點(diǎn)鐘?！痉治雠c討論】這樣的問(wèn)題在生活中到處都會(huì)遇到。同學(xué)們能不能再舉些例子呢？9．一副撲克牌有四種花色，每種花色有13張。從中任意抽牌。問(wèn)：最少要抽多少?gòu)埮?，才能保證有四張牌是同一花色的？【解法】這里“保證〞的意思就是無(wú)論怎樣抽牌，都一定有4張牌為同一花色。我們先看抽12張牌是否能保證有4張同花的？雖然有時(shí)12張牌中可能有4張同花，甚至4張以上同花，但也可能每種花色正好3張牌，因此不能保證一定有4張牌同花。那末，任意抽13張牌是否保證有4張同花呢？我們說(shuō)可以。證明如下：如果不行的話，那末每種花色最多只能有3張，因此四種花色的牌加起來(lái)最多只能有12張，與抽13張牌相矛盾。所以說(shuō)抽13張牌就可以了。這種證明的方法稱(chēng)為反證法。答：至少要抽13張牌，才能保證有四張牌是同一花色的。【分析與討論】這個(gè)題目用的是所謂“抽屜原那么〞。比方說(shuō)有4個(gè)抽屜，要在里面放13本書(shū)，那么至少有一個(gè)抽屜要放4本。這個(gè)原那么也被稱(chēng)作“鴿子籠原那么〞或“重迭原那么〞。抽屜原那么雖然簡(jiǎn)單，在數(shù)學(xué)上卻有很多巧妙的應(yīng)用。有興趣的同學(xué)可以閱讀常庚哲著的?抽屜原那么及其他?這本書(shū)。10．有5塊圓形的花圃，它們的直徑分別是3米、4米、5米、8米、9米；請(qǐng)將這5塊花圃分成兩組，分別交給兩個(gè)班管便兩班所管理的面積盡可能接近。[解法]我們知道，每個(gè)圓的面積等于直徑的平方乘以〔π/4〕?，F(xiàn)在要把5個(gè)圓分組，兩組的總面積累盡可能接近或者說(shuō)；兩組總面積的比盡可能接近！由于每個(gè)圓面積都有因子〔π/4〕。而我們關(guān)心的只是面積的比，所以不把這個(gè)共同的因索都去掉，而把問(wèn)題簡(jiǎn)化為：將5個(gè)圓公成兩組，使兩組圓的直徑的個(gè)方和盡可能接近。5個(gè)圓的直徑的平方分別是：9，16，25，64，81。這5個(gè)數(shù)的和是195。由于195是奇數(shù)，所以不可能把這5個(gè)數(shù)分成兩組，使它們的和相等。另一方面.81+16=97，9+25+24=98天者僅相差1，這當(dāng)是我樣期望的最正確分配了。答：應(yīng)該把直徑4米和9米的兩個(gè)花圃交給一個(gè)班管理，其余三個(gè)花圃交給另一個(gè)班管理。[分析與討論]這個(gè)題目和“華羅庚金杯〞賽第一屆初賽第18題屬于同一類(lèi)型。做這個(gè)題目時(shí)，如果先每花圃的面積、再根據(jù)面積來(lái)分組，計(jì)算量就太大了。將這個(gè)因數(shù)去掉，只考慮直徑的平方，就使問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。11．一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長(zhǎng)之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時(shí)間之比次依是4∶5∶6。他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3公里.路程全長(zhǎng)50公里。問(wèn)此人走完全程用了多少時(shí)間？［解法］上坡時(shí)間是〔上坡路程〕÷〔上坡的速度〕＝50×÷3＝〔小時(shí)〕上坡時(shí)間占全程時(shí)間的所以，全程時(shí)間＝〔小時(shí)〕＝＝〔小時(shí)〕答：此人走完全程共用了小時(shí)。[分析與討論]這是一道比例題。比例問(wèn)題在代數(shù)和幾何中都很重要。在小學(xué)算術(shù)課本中也有不少比例問(wèn)題，主要是搞清楚局部與整體的關(guān)系。在進(jìn)一步學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們會(huì)不斷得到有關(guān)知識(shí)與技能。12.有一對(duì)緊貼的傳動(dòng)膠輪，每個(gè)輪子上都畫(huà)有一條通過(guò)軸心的標(biāo)志線。主動(dòng)輪的半徑是105厘米，從動(dòng)輪的半徑是90厘米。開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)輪子上的標(biāo)志線在一條直線上。問(wèn)：主動(dòng)輪至少轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)后，兩輪的標(biāo)志線又在一條直線上？[分析]我們將兩輪緊貼的點(diǎn)叫做接觸點(diǎn)。通過(guò)觀察不難看出，當(dāng)兩輪各有一個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)在接觸點(diǎn)相遇時(shí)，兩輪的標(biāo)志線便會(huì)在同一直線上。所以這道題是問(wèn)：在開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后，第一次出現(xiàn)有兩個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)同時(shí)到達(dá)接觸點(diǎn)時(shí)，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)了多少轉(zhuǎn)？[解法1]兩個(gè)傳動(dòng)膠輪的轉(zhuǎn)數(shù)與它們的半徑成反比，所以為了表達(dá)方便，用n1和n2分別代表主動(dòng)輪和從動(dòng)輪標(biāo)志線端點(diǎn)通過(guò)接觸點(diǎn)的次數(shù)。因?yàn)橹鲃?dòng)輪和從動(dòng)輪都是每轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)就有一個(gè)標(biāo)志線端點(diǎn)通過(guò)接觸點(diǎn)，所以當(dāng)主動(dòng)輪標(biāo)志線第6次通過(guò)接觸點(diǎn)時(shí)，從動(dòng)輪標(biāo)志線端點(diǎn)恰好通過(guò)接觸點(diǎn)7次，這時(shí)主動(dòng)輪轉(zhuǎn)了3轉(zhuǎn)。[解法2]