2023年九年級圓的基礎知識點經(jīng)典例題與課后習題

圓一：【知識梳理】１.圓的有關概念和性質(1)圓的有關概念①圓:平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓，其中定點為圓心，定長為半徑．②弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣?。巯遥哼B接圓上任意兩點的線段叫做弦，通過圓心的弦叫做直徑.(2)圓的有關性質①圓是軸對稱圖形;其對稱軸是任意一條過圓心的直線;圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心．②垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧．推論:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對于一個圓和一條直線來說,假如具有:①過圓心;②垂直于弦;③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)??；⑤平分弦所對的劣弧。上述五個條件中的任何兩個條件都可推出其他三個結論。③弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧:弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“⌒”表達,以CＤ為端點的弧記為“”,讀作“圓弧CD”或“弧CD”。半圓：直徑的兩個端點分圓成兩條弧,每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧:大于半圓的弧叫做優(yōu)弧劣弧:小于半圓的弧叫做劣弧。（為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個字母表達。)④弧、弦、圓心角的關系:在同圓或等圓中，假如兩個圓心角,兩條弧，兩條弦中有一組量相等,那么它們所相應的其余各組量都分別相等.推論：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;直徑所對的圓周角是直角;90”⑤等圓:可以完全重合的兩個圓叫做等圓,半徑相等的兩個圓是等圓。⑥等?。涸谕瑘A或等圓中,可以互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角.⑧弦心距:從圓心到弦的距離叫做弦心距.（3)對圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線,不是圓面;②圓由兩個條件唯一擬定:一是圓心（即定點），二是半徑(即定長）２．與圓有關的角(1)圓心角:頂點在圓心的角叫圓心角。圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)．（２）圓周角：頂點在圓上，兩邊分別和圓相交的角,叫圓周角。圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半．（3)圓心角與圓周角的關系：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．（４)圓內接四邊形：頂點都在圓上的四邊形,叫圓內接四邊形．圓內接四邊形對角互補，它的一個外角等于它相鄰內角的對角．３.點與圓的位置關系及其數(shù)量特性:假如圓的半徑為r，點到圓心的距離為d,則①點在圓上<===＞d=r;②點在圓內<===>d<r；③點在圓外<＝＝＝>d>r.其中點在圓上的數(shù)量特性是重點，它可用來證明若干個點共圓,方法就是證明這幾個點與一個定點、的距離相等。4．擬定圓的條件:1.理解擬定一個圓必須的具有兩個條件：圓心和半徑,圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.通過一點可以作無數(shù)個圓，通過兩點也可以作無數(shù)個圓,其圓心在這個兩點線段的垂直平分線上．2.通過三點作圓要分兩種情況:(1)通過同一直線上的三點不能作圓.(2）通過不在同一直線上的三點,能且僅能作一個圓．定理：不在同一直線上的三個點擬定一個圓.3.三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內接三角形的概念:(1)三角形的外接圓和圓的內接三角形:通過一個三角形三個頂點的圓叫做這個三角形的外接圓,這個三角形叫做圓的內接三角形.(2）三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.(3)三角形的外心的性質:三角形外心到三頂點的距離相等．5.直線與圓的位置關系1．直線和圓相交、相切相離的定義:（１)相交:直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交,這時直線叫做圓的割線．(2)相切:直線和圓有惟一公共點時，叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線，惟一的公共點做切點．（3)相離:直線和圓沒有公共點時,叫做直線和圓相離.２．直線與圓的位置關系的數(shù)量特性:設⊙O的半徑為ｒ,圓心O到直線的距離為d；①d<r<===＞?直線L和⊙O相交.②d=r?＜===>?直線Ｌ和⊙Ｏ相切．③d>r<===＞直線Ｌ和⊙O相離.3.切線的總鑒定定理:通過半徑的外端并且垂直于這個條半徑的直線是圓的切線．4.切線的性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.推論1通過圓心且垂直于切線的直線必通過切點．推論2通過切點且垂直于切線的直線必通過圓心.分析性質定理及兩個推論的條件和結論間的關系，可得如下結論：假如一條直線具有下列三個條件中的任意兩個,就可推出第三個.①垂直于切線；②過切點;③過圓心.5.三角形的內切圓、內心、圓的外切三角形的概念.和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的內心,這個三角形叫做圓的外切三角形.6.三角形內心的性質:(１）三角形的內心到三邊的距離相等.(２)過三角形頂點和內心的射線平分三角形的內角.由此性質引出一條重要的輔助線：連接內心和三角形的頂點,該線平分三角形的這個內角．6.圓和圓的位置關系．1．外離、外切、相交、內切、內含(涉及同心圓)這五種位置關系的定義.(1）外離:兩個圓沒有公共點,并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外離.(2)外切:兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外,每個圓上的點都在另一個圓的外部時,叫做這兩個圓外切.這個惟一的公共點叫做切點.(3)相交：兩個圓有兩個公共點,此時叫做這個兩個圓相交.(4)內切:兩個圓有惟一的公共點，并且除了這個公共點以外,一個圓上的都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內切．這個惟一的公共點叫做切點.(５)內含:兩個圓沒有公共點,并且一個圓上的點都在另一個圓的內部時,叫做這兩個圓內含.兩圓同心是兩圓內的一個特例.2.兩圓位置關系的性質與鑒定:（１）兩圓外離＜==＝>d>Ｒ+r(2）兩圓外切<=＝=>??ｄ=R+ｒ(3）兩圓相交?<＝==>R-r<d<Ｒ+r（R≥r)(4)兩圓內切?<===>d＝Ｒ-r(R>r)(5）兩圓內含<＝=＝>d<R-r(R>r)３.相切兩圓的性質:假如兩個圓相切,那么切點一定在連心線上.4.相交兩圓的性質:相交兩圓的連心線垂直平分公共弦．７.圓內接四邊形若四邊形的四個頂點都在同一個圓上,這個四邊形叫做圓內接四邊形,這個圓叫做這個四邊形的外接圓.圓內接四邊形的特性:①圓內接四邊形的對角互補;②圓內接四邊形任意一個外角等于它的內錯角.8.弧長及扇形的面積1.圓周長公式:圓周長Ｃ=２R（R表達圓的半徑）２．弧長公式：弧長(R表達圓的半徑,n表達弧所對的圓心角的度數(shù))3.扇形定義:一條弧和通過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形.4.弓形定義:由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．弓形弧的中點到弦的距離叫做弓形高.5.圓的面積公式.圓的面積(R表達圓的半徑)6.扇形的面積公式：扇形的面積(R表達圓的半徑，n表達弧所對的圓心角的度數(shù))弓形的面積公式:(如圖5）圖5圖5（１)當弓形所含的弧是劣弧時，(2)當弓形所含的弧是優(yōu)弧時，（3)當弓形所含的弧是半圓時,二、例題解析【例題１】如圖１,⊙是的外接圓,是直徑，若,則等于(）A．60oB.５０oＣ．40oＤ.３0o圖1圖2圖3【例題2】如圖２,以Ｏ為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切于點Ｃ,若大圓半徑為１0cｍ,小圓半徑為6cm,則弦AＢ的長為cm．【例題3】如圖３，△AＢＣ內接于⊙Ｏ,ＡＢ=ＢC,∠ＡBＣ=1２０°,AD為⊙Ｏ的直徑，AD=6，那么BD＝________＿．【例題4】如圖4已知⊙O的兩條弦AC，ＢD相交于點E,∠A=70o,∠ｃ＝5０o，那么sin∠AEB的值為()A.B.Ｃ.D.圖4PBCEA（圖8）【例題５】如圖5PBCEA（圖8）(１)求弦的長;（2)若Ｐ為ＡB的中點,交于點E,求的長．三、課堂練習1、如圖6，在⊙O中，∠ABC=４0°，則∠AOC＝度．CABCABS1S2BCAO圖6圖7圖８２、如圖7，ＡB是⊙O的直徑，AC是弦,若∠ACO=32°，則∠ＣOＢ的度數(shù)等于．3、已知⊙O的直徑AB＝8cｍ,C為⊙O上的一點,∠ＢAC＝3０o,則BC=＿_____cｍ.4、如圖8,已知在中，,，分別以，為直徑作半圓,面積分別記為，,則+的值等于.5、如圖9，⊙O的半徑ＯA=1０ｃm，Ｐ為AB上一動點,則點P到圓心Ｏ的最短距離為_______＿___cｍ。圖96、如圖10，在⊙O中,∠ＡＣB=∠BＤC=60°,AC=,(1)求∠ＢAC的度數(shù)；（２)求⊙O的周長7、已知：如圖１1，⊙Ｏ的直徑AＢ與弦CD相交于E，?。翪=弧BD,⊙O的切線BＦ與弦ＡD的延長線相交于點F．（1)求證：CD∥ＢF.(２)連結BＣ,若⊙O的半徑為４,ｃos∠BCD＝，求線段AＤ、CD的長．8、如圖12,在△ABＣ中,AB＝BＣ,以ＡB為直徑的⊙O與AC交于點D,過D作DF⊥BC，交AB的延長線于E，垂足為Ｆ．(1)求證：直線ＤE是⊙O的切線；(２）當ＡB＝5,AC=8時,求coｓＥ的值．圖１2四、經(jīng)典考題解析1．如圖13，在⊙O中,已知∠AＣB=∠CＤB=60○，ＡＣ=3，則△ABC的周長是___＿_＿__＿___．圖13圖1４圖１5２．“圓材埋壁”是我國古代《九章算術》中的問題：“今有圓材,埋在壁沖，不知大小，以鋸鋸之，深一寸,鋸道長一尺，間徑幾何”.用數(shù)學語言可表述為如圖14,CD為⊙Ｏ的直徑，弦AB⊥CＤ于點Ｅ，CＥ＝1寸，ＡB=１0寸,則直徑CD的長為()Ａ．12．５寸Ｂ．13寸C.25寸D.２６寸3．如圖15,已知AＢ是半圓O的直徑,弦ＡＤ和BC相交于點P，那么EQ\F(CD,AB)等于（)Ａ．ｓin∠BPDＢ.cos∠BＰＤC.ｔａn∠ＢPＤＤ.cｏｔ∠BＰD４.⊙O的半徑是５，AＢ、ＣD為⊙O的兩條弦,且AB∥CD，AB=6,ＣD＝８，求AB與CD之間的距離.5．如圖16，在⊙M中,弧ＡB所對的圓心角為1200，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標系，點C是ｙ軸與?。罛的交點。（1)求圓心M的坐標;（2）若點D是弦AＢ所對優(yōu)弧上一動點，求四邊形ACBD的最大面積圖16五、課后訓練1.如圖1７，在⊙O中，弦ＡB＝1.8cｍ，圓周角∠AＣB=30○，則⊙O的直徑等于___＿_＿__＿cｍ.圖１7圖18圖1９２．如圖18，Ｃ是⊙O上一點，O是圓心．若∠C=３5°,則∠ＡOＢ的度數(shù)為(）A.35○Ｂ.７０○C．105○D．150○3.如圖19,⊙O內接四邊形ABCＤ中，AB＝CD，則圖中和∠１相等的角有_＿___＿４.在半徑為1的圓中,弦ＡB、AC分別是和，則∠BＡC的度數(shù)為多少？5.如圖20,弦ＡB的長等于⊙O的半徑，點C在⊙O上，則∠C的度數(shù)是＿_＿____.圖２0圖21圖22６．如圖21，四邊形AＢＣD內接于⊙O,若∠ＢOD=10０°，則∠DAＢ的度數(shù)為（)A．50°Ｂ．80°C.1０0°D．１30°７.如圖２2，四邊形ＡBCD為⊙O的內接四邊形,點Ｅ在CＤ的延長線上,假如∠BＯD=１2０°，那么∠BＣＥ等于(）A.30°B.60°Ｃ.９0°D．12０°8.如圖，⊙O的直徑AＢ=10，ＤE⊥AB于點H,AH＝2．(1）求DE的長;（2）延長ＥＤ到Ｐ,過Ｐ作⊙Ｏ的切線，切點為C,若PC=22，求PD的長.九年級數(shù)學圓練習題填空題:(21分)如圖，在⊙Ｏ中,弦AＢ∥ＯＣ,,則=??_＿____＿__2、如圖,在⊙Ｏ中,ＡＢ是直徑,,則=_＿_＿_＿_＿__3、如圖，點O是的外心，已知，則＝__＿___＿＿___BCOABCOA（1題圖）(2題圖)（３題圖）（4題圖）4、如圖，ＡＢ是⊙O的直徑，弧BＣ=弧BＤ，,則．(5題圖）(6題圖)(7題圖)5、如圖，⊙O的直徑為８，弦CD垂直平分半徑OA,則弦CD=．6、已知⊙Ｏ的半徑為2cm，弦ＡB＝2cm,P點為弦AB上一動點,則線段OP的范圍是.7、如圖,在⊙O中，∠B=５0o,∠C＝２0o,則∠ＢOC的=_____＿______二、解答題(70分)BD1、如圖,AＢ是⊙Ｏ的直徑.若OD∥ＡC,與的大小有什么關系？為什么?BD2、已知:如圖，在⊙Ｏ中，弦AB＝CＤ.求證：⑴弧AC＝弧BD;⑵∠AOC=∠ＢOD3、如圖，已知:⊙O中,AＢ、CB為弦，OC交AＢ于D，求證：(1）∠ODB>∠OBD,(2)∠ODB>∠ＯBC；4、已知如圖，，AB、AC為弦，ＯＭ⊥ＡB于M,ON⊥ＡC于N,MN是△ABC的中位線嗎？5、已知如圖,AＢ、CＤ是⊙O的直徑，DＦ、BＥ是弦,且DF=BE,求證:∠D=∠Ｂ6、已知如圖,AＢ是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點,CD⊥AＢ于D，CE平分∠DCＯ，交⊙O于E,求證：弧AE=?。牛拢贰⑷鐖D,已知△ABC,AC=3，ＢC=4，∠C=９0°,以點C為圓心作⊙C，半徑為r.(1)當r取什么值時,點