長春市東北師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題含解析

吉林省長春市東北師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題含解析吉林省長春市東北師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題含解析PAGE28-吉林省長春市東北師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題含解析吉林省長春市東北師大附中2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題（含解析）考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分本試卷共23題，共6頁．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項(xiàng)：1．答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼粘區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效.4．作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5．保持卡面清潔,不要折疊、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1。已知集合，，則(）A。 B. C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】計(jì)算得到,再計(jì)算交集得到答案?！驹斀狻?故。故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，屬于簡單題.2。已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則為（）A.1 B. C。 D.5【答案】C【解析】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡求得，然后利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以。故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題．3。已知雙曲線的焦距為4，則該雙曲線的漸近線方程為（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可求，再根據(jù)雙曲線的漸近線的概念，即可求出結(jié)果?！驹斀狻坑呻p曲線的幾何性質(zhì)可知，，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為。故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題。4。已知向量,，，,則（）A.4 B。 C。 D。12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知求出，再由向量數(shù)列積性質(zhì)求出，即可得出結(jié)論.【詳解】，,.故選：B?！军c(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積計(jì)算，求模長轉(zhuǎn)化為求向量的平方即可，屬于基礎(chǔ)題.5.已知,，是直線，是平面，給出下列命題：①若，，則；②若，,則；③若,,則；④若，,則,其中為真命題的是（）A.①③ B.①④ C.②④ D.①③④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,對四個(gè)命題逐一判斷，即可得到正確結(jié)果?！驹斀狻繉τ冖?，顯然正確;對于②，若，,則與平行或相交或是異面直線，故②錯(cuò)誤;對于③，若，，則或或與相交，故③錯(cuò)誤；對于④，顯然正確；故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題。6.“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來就一直使用的紀(jì)年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干"，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干"以“甲”字開始，“地支"以“子”字開始,兩者按照干支順序相配，構(gòu)成了“干支紀(jì)年法”，其相配順序?yàn)椋杭鬃?、乙丑、丙寅……癸酉、甲戌、乙亥、丙子……癸未、甲申、乙酉、丙戌……癸巳……癸亥?0年為一個(gè)紀(jì)年周期，周而復(fù)始，循環(huán)記錄．按照“干支紀(jì)年法",今年(公元2020年）是庚子年,則中華人民共和國成立100周年（公元2049年）是(）A。己未年 B.辛巳年 C.庚午年 D。己巳年【答案】D【解析】【分析】“天干”以10為周期，“地支”以12為周期,分別對“庚”和“子”向后推算29即可【詳解】由題,,因?yàn)椤疤旄伞币?0為周期,所以2050年仍為“庚”,故2049年為“己”；因?yàn)椤暗刂А币?2為周期，所以2044年仍為“子”，故2049年為“巳”；故2049年為己巳年.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查周期性的應(yīng)用，考查閱讀理解能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知，，，則的大小關(guān)系為（)A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及1，為橋梁，可比較三個(gè)數(shù)的大小.【詳解】,，,只需比較，的大小，，，又，，故故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)類型數(shù)的大小比較,充分理解指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題。8.早在17世紀(jì)人們就知道用事件發(fā)生的“頻率”來估計(jì)事件的“概率"．18世紀(jì)末有人用投針試驗(yàn)的方法來估計(jì)圓周率,20世紀(jì)40年代電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使得用數(shù)學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上大量、快速地模擬這樣的試驗(yàn)成為可能，這種模擬方法稱為蒙特卡羅方法或隨機(jī)模擬方法.如圖所示的程序框圖就是利用隨機(jī)模擬方法估計(jì)圓周率，(其中是產(chǎn)生內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)的函數(shù),）,則的值約為（）A。 B. C. D?！敬鸢浮緿【解析】【分析】根據(jù)，，而表示個(gè)圓，則，故?！驹斀狻扛鶕?jù)程序框圖，知，，而表示個(gè)圓，如圖所示：則落在陰影部分的面積與正方形面積比為，得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖，幾何概型,頻率的理解與應(yīng)用，屬于中檔題。9。函數(shù)的圖象大致是（）A。 B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域,再判斷函數(shù)奇偶性,然后取特殊值，利用排除法即可得結(jié)果。【詳解】解：定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為偶函?shù),圖像關(guān)于軸對稱，所以排除A，B，因?yàn)?，所以排除D故選：C【點(diǎn)睛】此題考查辨別函數(shù)圖像,一般從函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的零點(diǎn),特殊點(diǎn)的函數(shù)值,函數(shù)的單調(diào)性等方面運(yùn)用排除法，屬于基礎(chǔ)題。10.已知，則（）A。 B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的余弦公式可求得的值.【詳解】.故選:A?！军c(diǎn)睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式求值，要觀察角與角之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中等題。11.若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A。 B。 C. D。【答案】B【解析】【分析】分單調(diào)遞增、單調(diào)遞減兩種情況進(jìn)行討論，從而可轉(zhuǎn)化為(或）恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間是單調(diào)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞增函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立；所以在區(qū)間上恒成立,又當(dāng)時(shí)，，所以;若數(shù)在區(qū)間是單調(diào)遞減函數(shù)，則在區(qū)間上恒成立；所以在區(qū)間上恒成立,又當(dāng)時(shí)，，所以；綜上所述，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．12.如圖，三棱柱的所有棱長都為，側(cè)棱底面，，，分別在棱,，上，，，過，，三點(diǎn)的平面將三棱柱分為兩部分，下列說法錯(cuò)誤的是（）A。截面是五邊形 B.截面面積為C。截面將三棱柱體積平分 D。截面與底面所成的銳二面角大小為【答案】D【解析】【分析】如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于的直線為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算截面的法向量得到D錯(cuò)誤，再根據(jù)截面的形狀計(jì)算面積，截面過三棱柱中心得到答案。【詳解】如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于的直線為軸，為軸,為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則，,,設(shè)截面與的交點(diǎn)為，設(shè)截面與的交點(diǎn)為,設(shè)，,設(shè)截面的法向量為，則，取，則,易知底面的法向量為，則，故D錯(cuò)誤。,，，，故，,根據(jù)平行平面性質(zhì)知，計(jì)算，，故,故四邊形為矩形，，，故，故AB正確；三棱柱的中心坐標(biāo)為，，則在截面上，根據(jù)對稱性知C正確。故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱柱的截面問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力，空間想象能力，建立空間直角坐標(biāo)系是解題的關(guān)鍵。二、填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分。13。甲、乙、丙三人參加知識競賽．賽后，他們?nèi)齻€(gè)人預(yù)測名次的談話如下：甲：“我第二名,丙第一名”；乙：“我第二名，丙第三名";丙：“我第二名，甲第三名”；最后公布結(jié)果時(shí),發(fā)現(xiàn)每個(gè)人的預(yù)測都只猜對了一半,則這次競賽第一名的是______．【答案】丙【解析】【分析】對甲、乙、丙在這次競賽中分別獲得第一名進(jìn)行分類討論，結(jié)合簡單的合情推理,可得出結(jié)論.【詳解】若甲獲得第一名，甲預(yù)測出一半，則丙第一名，矛盾；若乙獲得第一名，乙預(yù)測出一半，則丙第三名,甲第二名，則丙預(yù)測全錯(cuò)，不合乎題意;若丙獲得第一名，甲預(yù)測出一半，則甲第三名，乙第二名，乙、丙都預(yù)測出一半，合乎題意。綜上所述，這次競賽中第一名的是丙。故答案為：丙.【點(diǎn)睛】本題考查合情推理，考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題。14.在中，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得關(guān)于的方程,求得即可．【詳解】解：由余弦定理可知，解得或（舍去）故答案為：8【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．15。已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為、,直線過點(diǎn)且與軸垂直，點(diǎn)是橢圓上異于的動點(diǎn),直線與直線交于點(diǎn),若,則橢圓的離心率是______．【答案】【解析】【分析】依題意,不妨取點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn),表示出直線，從而得到的坐標(biāo)，由兩直線垂直,可得斜率乘積為，從而得到、的關(guān)系，再求出橢圓的離心率；【詳解】解：不妨取點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)如圖所示，則：，則，所以,又因?yàn)?，，所以，所以，所以所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì),屬于中檔題.16.已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)，)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有______個(gè)零點(diǎn);若函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】(1)。(2).【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，由可得出，令，可得出,解得,,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，觀察直線、與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),可得此時(shí)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；令，可得出，令，可得出，解得,，由題意可得，,進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的取值范圍?！驹斀狻慨?dāng)時(shí),,，令可得，令，可得，整理得，解得,。對于函數(shù),，令得，列表如下：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),，如下圖所示：由圖象可知，直線與曲線有個(gè)交點(diǎn),直線與曲線只有個(gè)交點(diǎn)，所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；對于函數(shù)，，令，可得，令，可得，即,即,由于函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)，則關(guān)于的方程必有兩個(gè)不等實(shí)根、，且，，所以，，則,解方程得，，由題意可得，解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是。故答案為:；.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，同時(shí)也考查了利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于較難題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17題～第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一）必考題：共60分。17。已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1）;（2）.【解析】分析】（1）令,由得出，兩式作差得出，可得出數(shù)列是常數(shù)列，結(jié)合可求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）求得，然后利用裂項(xiàng)求和法可求得數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由得，兩式相減得，即，化簡得，所以數(shù)列是常數(shù)列,且，；（2）,，則，．【點(diǎn)睛】本題考查利用與之間的關(guān)系求通項(xiàng)，同時(shí)也考查了裂項(xiàng)相消法，考查計(jì)算能力，屬于中等題。18.一次大型考試后，年級對某學(xué)科進(jìn)行質(zhì)量分析，隨機(jī)抽取了名學(xué)生成績分組為,,,,，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）從這名成績在，之間的同學(xué)中，隨機(jī)選擇三名同學(xué)做進(jìn)一步調(diào)查分析，記為這三名同學(xué)中成績在之間的人數(shù),求的分布列及期望;（2）（?。┣竽昙壢w學(xué)生平均成績與標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（精確到1）（ⅱ）如果年級該學(xué)科的成績服從正態(tài)分布,其中，分別近似為（?。┲械?，。若從年級所有學(xué)生中隨機(jī)選三名同學(xué)做分析，求這三名同學(xué)中恰有兩名同學(xué)成績在區(qū)間的概率。（精確到0。01）附：。若，則，【答案】（1)分布列見解析，1.5；(2）(ⅰ)73分，11；(ⅱ）0。36.【解析】【分析】(1）先求出成績在,之間的人數(shù)，從而可得的所有可能取值，然后分別求出對應(yīng)的概率，再列分布列，再根據(jù)期望公式求出期望；（2）（?。┯妙l率分布直方圖中每組的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)組的頻率，將所得的結(jié)果全部相加可得平均成績，再利用標(biāo)準(zhǔn)差公式求標(biāo)準(zhǔn)差，（ⅱ）由（ⅰ)可知，，所以，然后根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】解：（1）由直方圖，40名同學(xué)中成績在，之間的同學(xué)的人數(shù)均為4，的所有可能取值為0，1，2,3,,的分布列為0123．（2）（ⅰ)（分),(ⅱ）由（?。?，記“三名同學(xué)中恰有兩名同學(xué)成績在區(qū)間”為事件，則．【點(diǎn)睛】此題考查頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列，正態(tài)分布等知識，考查分析問題的能力，考查計(jì)算能力,屬于中檔題。19。如圖，在四棱錐中,平面,底面為菱形，,．（1）求證：；（2)若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）。【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由菱形性質(zhì)得，再根據(jù)平面得，所以平面,所以．（2)結(jié)合幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系，求得半平面的法向量,然后求解二面角的余弦值即可?！驹斀狻拷猓海?）證明:連接交于點(diǎn)．因?yàn)闉榱庑?，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以．又由?平面，平面,所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）解：因?yàn)槠矫?，平?平面，所以，，所以，即．在菱形中，，得，則，又因?yàn)椋裕谥?．取中點(diǎn)，連接．在中，中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫妫云矫妫诹庑沃?，．如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向量,，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．由題意知，，，，，所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則即所以可?。O(shè)平面的法向量為，則即所以可?。裕远娼堑挠嘞抑禐椋军c(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的性質(zhì)定理，利用空間直角坐標(biāo)系求二面角的方法等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn),且截軸所得弦長為8,設(shè)圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；(2）若為曲線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)到軸距離,求的最大值，并求此時(shí)直線方程．【答案】（1);（2）12；。【解析】【分析】（1）設(shè)動圓圓心，由題意可得,由此即可求出結(jié)果；（2）設(shè)直線方程為，將其與曲線的方程聯(lián)立，得到韋達(dá)定理,可求線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得，再根據(jù)弦長公式將表示為的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征求出其最大值,并由此即可求出直線方程?！驹斀狻拷猓?1）設(shè)動圓圓心，則,化簡整理得,故曲線的軌跡方程為．(2)設(shè)直線方程為，由消去得,所以，設(shè)，，，，，,，當(dāng)且僅當(dāng),即（滿足）時(shí)，取得最大值，此時(shí),直線．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軌跡的求法，同時(shí)考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中等題。21。已知函數(shù)．(1）求的最小值；（2）若不等式對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1；(2）.【解析】【分析】（1)先對函數(shù)求導(dǎo)得，并令，再求導(dǎo)得，注意到，所以得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可解決。（2）方法1，先驗(yàn)證不等式成立,再對時(shí)，利用分離參數(shù)法和洛必達(dá)法則求解即可；方法2，直接移項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，求二階導(dǎo),再分類討論求解即可?！驹斀狻拷猓海?)，，，∴在上為增函數(shù)，又，∴，，單調(diào)遞減；,,單調(diào)遞增，．（2)方法1：(分離參數(shù)法）當(dāng)時(shí)，成立,當(dāng)，,設(shè)（）設(shè)，(),∴單調(diào)遞增，又,∴,，∴單調(diào)遞增，∴．,∴．方法2：設(shè)，則,,∵,∴,∴單調(diào)遞增,①當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，恒成立，②當(dāng)時(shí)，，，，使，，單調(diào)遞減，,不合題意.由①②知實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)