江蘇省南京市建鄴區(qū)三校聯(lián)合~2023學(xué)年中考數(shù)學(xué)模試卷含解析及點(diǎn)睛_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

2023中考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知一元二次方程1–(x–3)(x+2)=0,有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1和x2(x1<x2),則下列判斷正確的是()A.–2<x1<x2<3 B.x1<–2<3<x2 C.–2<x1<3<x2 D.x1<–2<x2<32.一小組8位同學(xué)一分鐘跳繩的次數(shù)如下:150,176,168,183,172,164,168,185,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()A.172 B.171 C.170 D.1683.如圖,已知是中的邊上的一點(diǎn),,的平分線交邊于,交于,那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.△BAC∽△BDA B.△BFA∽△BECC.△BDF∽△BEC D.△BDF∽△BAE4.對(duì)于一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)1,1,6,5,1.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.眾數(shù)是1 B.平均數(shù)是4 C.方差是1.6 D.中位數(shù)是65.一個(gè)不透明的布袋里裝有5個(gè)只有顏色不同的球,其中2個(gè)紅球、3個(gè)白球.從布袋中一次性摸出兩個(gè)球,則摸出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是()A. B. C. D.6.下列計(jì)算正確的是A. B. C. D.7.用尺現(xiàn)作圖的方法在一個(gè)平行四邊形內(nèi)作菱形,下列作法錯(cuò)誤的是()A. B. C. D.8.下列圖形中既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.9.小明和他的爸爸媽媽共3人站成一排拍照,他的爸爸媽媽相鄰的概率是()A. B. C. D.10.下列圖案中,是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.11.從﹣1,2,3,﹣6這四個(gè)數(shù)中任選兩數(shù),分別記作m,n,那么點(diǎn)(m,n)在函數(shù)y=圖象上的概率是()A. B. C. D.12.下列運(yùn)算結(jié)果正確的是()A.3a﹣a=2B.(a﹣b)2=a2﹣b2C.a(chǎn)(a+b)=a2+bD.6ab2÷2ab=3b二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.若實(shí)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖,則化簡(jiǎn):2|a+c|++3|a﹣b|=_____.14.要使分式有意義,則x的取值范圍為_________.15.有一個(gè)計(jì)算程序,每次運(yùn)算都是把一個(gè)數(shù)先乘2,再除以它與1的和,多次重復(fù)進(jìn)行這種運(yùn)算的過(guò)程如下:則第n次的運(yùn)算結(jié)果是____________(用含字母x和n的代數(shù)式表示).16.用半徑為6cm,圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐,則圓錐的底面圓半徑為_______cm.17.讓我們輕松一下,做一個(gè)數(shù)字游戲:第一步:取一個(gè)自然數(shù),計(jì)算得;第二步:算出的各位數(shù)字之和得,計(jì)算得;第三步:算出的各位數(shù)字之和得,再計(jì)算得;依此類推,則____________18.如圖,已知函數(shù)y=3x+b和y=ax﹣3的圖象交于點(diǎn)P(﹣2,﹣5),則根據(jù)圖象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是_____.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19.(6分)如圖,一次函數(shù)y=ax﹣1的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于A,B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)D,已知OA=,tan∠AOC=(1)求a,k的值及點(diǎn)B的坐標(biāo);(2)觀察圖象,請(qǐng)直接寫出不等式ax﹣1≥的解集;(3)在y軸上存在一點(diǎn)P,使得△PDC與△ODC相似,請(qǐng)你求出P點(diǎn)的坐標(biāo).20.(6分)圖1和圖2中,優(yōu)弧紙片所在⊙O的半徑為2,AB=2,點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B重合),將圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′.發(fā)現(xiàn):(1)點(diǎn)O到弦AB的距離是,當(dāng)BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí),∠ABA′=;(2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí),如圖2,求折痕的長(zhǎng).拓展:把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁,得到半圓形紙片,點(diǎn)P(不與點(diǎn)M,N重合)為半圓上一點(diǎn),將圓形沿NP折疊,分別得到點(diǎn)M,O的對(duì)稱點(diǎn)A′,O′,設(shè)∠MNP=α.(1)當(dāng)α=15°時(shí),過(guò)點(diǎn)A′作A′C∥MN,如圖3,判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)如圖4,當(dāng)α=°時(shí),NA′與半圓O相切,當(dāng)α=°時(shí),點(diǎn)O′落在上.(3)當(dāng)線段NO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí),直接寫出β的取值范圍.21.(6分)某中學(xué)舉行室內(nèi)健身操比賽,為獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)勝班級(jí),購(gòu)買了一些籃球和足球,籃球單價(jià)是足球單價(jià)的1.5倍,購(gòu)買籃球用了2250元,購(gòu)買足球用了2400元,購(gòu)買的籃球比足球少15個(gè),求籃球、足球的單價(jià).22.(8分)已知矩形ABCD的一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊,使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處,如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O,連接AP、OP、OA.若△OCP與△PDA的面積比為1:4,求邊CD的長(zhǎng).如圖2,在(Ⅰ)的條件下,擦去折痕AO、線段OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(點(diǎn)M與點(diǎn)P、A不重合),動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上,且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME⊥BP于點(diǎn)E.試問(wèn)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?若變化,說(shuō)明變化規(guī)律.若不變,求出線段EF的長(zhǎng)度.23.(8分)某學(xué)校為弘揚(yáng)中國(guó)傳統(tǒng)詩(shī)詞文化,在九年級(jí)隨機(jī)抽查了若干名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試,然后把測(cè)試結(jié)果分為4個(gè)等級(jí);A、B、C、D,對(duì)應(yīng)的成績(jī)分別是9分、8分、7分、6分,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成兩幅如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題:(1)本次抽查測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為,圖①中的a的值為;(2)求統(tǒng)計(jì)所抽查測(cè)試學(xué)生成績(jī)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).24.(10分)定義:若某拋物線上有兩點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則稱該拋物線為“完美拋物線”.已知二次函數(shù)y=ax2-2mx+c(a,m,c均為常數(shù)且ac≠0)是“完美拋物線”:(1)試判斷ac的符號(hào);(2)若c=-1,該二次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)C,且S△ABC=1.①求a的值;②當(dāng)該二次函數(shù)圖象與端點(diǎn)為M(-1,1)、N(3,4)的線段有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),求m的取值范圍.25.(10分)為了解某市市民上班時(shí)常用交通工具的狀況,某課題小組隨機(jī)調(diào)查了部分市民(問(wèn)卷調(diào)查表如表所示),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如圖所示的尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖:根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖,解答下列問(wèn)題:本次接受調(diào)查的市民共有人;扇形統(tǒng)計(jì)圖中,扇形B的圓心角度數(shù)是;請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;若該市“上班族”約有15萬(wàn)人,請(qǐng)估計(jì)乘公交車上班的人數(shù).26.(12分)某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可以銷售20件,每件盈利40元,為了擴(kuò)大銷售,增加利潤(rùn),盡量減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天多售出2件,若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?27.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象交x軸于點(diǎn)P,二次函數(shù)y=﹣x2+x+m的圖象與x軸的交點(diǎn)為(x1,0)、(x2,0),且+=17(1)求二次函數(shù)的解析式和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若二次函數(shù)y=﹣x2+x+m的圖象與一次函數(shù)y=﹣x+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)),在x軸上是否存在點(diǎn)M,使得△MAB是以∠ABM為直角的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、B【解析】

設(shè)y=-(x﹣3)(x+2),y1=1﹣(x﹣3)(x+2)根據(jù)二次函數(shù)的圖像性質(zhì)可知y1=1﹣(x﹣3)(x+2)的圖像可看做y=-(x﹣3)(x+2)的圖像向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,根據(jù)圖像的開口方向即可得出答案.【詳解】設(shè)y=-(x﹣3)(x+2),y1=1﹣(x﹣3)(x+2)∵y=0時(shí),x=-2或x=3,∴y=-(x﹣3)(x+2)的圖像與x軸的交點(diǎn)為(-2,0)(3,0),∵1﹣(x﹣3)(x+2)=0,∴y1=1﹣(x﹣3)(x+2)的圖像可看做y=-(x﹣3)(x+2)的圖像向上平移1,與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2,∵-1<0,∴兩個(gè)拋物線的開口向下,∴x1<﹣2<3<x2,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖像性質(zhì)及平移的特點(diǎn),根據(jù)開口方向確定函數(shù)的增減性是解題關(guān)鍵.2、C【解析】

先把所給數(shù)據(jù)從小到大排列,然后根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可.【詳解】從小到大排列:150,164,168,168,,172,176,183,185,∴中位數(shù)為:(168+172)÷2=170.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了中位數(shù),如果一組數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè),那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后,排在中間位置的數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果一組數(shù)據(jù)有偶數(shù)個(gè),那么把這組數(shù)據(jù)從小到大排列后,排在中間位置的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).3、C【解析】

根據(jù)相似三角形的判定,采用排除法,逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】∵∠BAD=∠C,∠B=∠B,∴△BAC∽△BDA.故A正確.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,∴△BFA∽△BEC.故B正確.∴∠BFA=∠BEC,∴∠BFD=∠BEA,∴△BDF∽△BAE.故D正確.而不能證明△BDF∽△BEC,故C錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定.識(shí)別兩三角形相似,除了要掌握定義外,還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.4、D【解析】

根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、方差等的概念計(jì)算即可得解.【詳解】A、這組數(shù)據(jù)中1都出現(xiàn)了1次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1,此選項(xiàng)正確;B、由平均數(shù)公式求得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,故此選項(xiàng)正確;C、S2=[(1﹣4)2+(1﹣4)2+(6﹣4)2+(5﹣4)2+(1﹣4)2]=1.6,故此選項(xiàng)正確;D、將這組數(shù)據(jù)按從大到校的順序排列,第1個(gè)數(shù)是1,故中位數(shù)為1,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選D.考點(diǎn):1.眾數(shù);2.平均數(shù);1.方差;4.中位數(shù).5、D【解析】

畫出樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù),找出恰好是兩個(gè)紅球的情況數(shù),即可求出所求的概率.【詳解】畫樹狀圖如下:一共有20種情況,其中兩個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的有14種情況,因此兩個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是:.故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查了列表法與樹狀圖法,用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.6、B【解析】試題分析:根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則,可知,故A不正確;根據(jù)同底數(shù)冪的除法,知,故B正確;根據(jù)冪的乘方,知,故C不正確;根據(jù)完全平方公式,知,故D不正確.故選B.點(diǎn)睛:此題主要考查了整式的混合運(yùn)算,解題關(guān)鍵是靈活應(yīng)用合并同類項(xiàng)法則,同底數(shù)冪的乘除法法則,冪的乘方,乘法公式進(jìn)行計(jì)算.7、A【解析】

根據(jù)菱形的判定方法一一判定即可【詳解】作的是角平分線,只能說(shuō)明四邊形ABCD是平行四邊形,故A符合題意B、作的是連接AC,分別做兩個(gè)角與已知角∠CAD、∠ACB相等的角,即∠BAC=∠DAC,∠ACB=∠ACD,能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD,所以四邊形ABCD為菱形,B不符合題意C、由輔助線可知AD=AB=BC,又AD∥BC,所以四邊形ABCD為菱形,C不符合題意D、作的是BD垂直平分線,由平行四邊形中心對(duì)稱性質(zhì)可知AC與BD互相平分且垂直,得到四邊形ABCD是菱形,D不符合題意故選A【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定,能理解每個(gè)圖的作法是本題解題關(guān)鍵8、C【解析】

根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念,對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷,即可得到答案.【詳解】解:A、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故A錯(cuò)誤;B、是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故B錯(cuò)誤;C、既是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故C正確;D、既不是軸對(duì)稱圖形,也不是中心對(duì)稱圖形,故D錯(cuò)誤;故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念,解題的關(guān)鍵是熟練掌握概念進(jìn)行分析判斷.9、D【解析】試題解析:設(shè)小明為A,爸爸為B,媽媽為C,則所有的可能性是:(ABC),(ACB),(BAC),(BCA),(CAB),(CBA),∴他的爸爸媽媽相鄰的概率是:,故選D.10、D【解析】分析:根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念分別分析得出答案.詳解:A.是軸對(duì)稱圖形,也是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B.不是軸對(duì)稱圖形,也不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;C.不是軸對(duì)稱圖形,是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;D.是軸對(duì)稱圖形,不是中心對(duì)稱圖形,故此選項(xiàng)正確.故選D.點(diǎn)睛:本題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的概念.軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸,圖形沿對(duì)稱軸折疊后可重合;中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心,圖形旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.11、B【解析】

首先根據(jù)題意畫出樹狀圖,然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與點(diǎn)(m,n)恰好在反比例函數(shù)y=圖象上的情況,再利用概率公式即可求得答案.【詳解】解:畫樹狀圖得:∵共有12種等可能的結(jié)果,點(diǎn)(m,n)恰好在反比例函數(shù)y=圖象上的有:(2,3),(﹣1,﹣6),(3,2),(﹣6,﹣1),∴點(diǎn)(m,n)在函數(shù)y=圖象上的概率是:.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為:概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.12、D【解析】

各項(xiàng)計(jì)算得到結(jié)果,即可作出判斷.【詳解】解:A、原式=2a,不符合題意;

B、原式=a2-2ab+b2,不符合題意;

C、原式=a2+ab,不符合題意;D、原式=3b,符合題意;

故選D【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算,熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、﹣5a+4b﹣3c.【解析】

直接利用數(shù)軸結(jié)合二次根式、絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案.【詳解】由數(shù)軸可得:a+c<0,b-c>0,a-b<0,故原式=-2(a+c)+b-c-3(a-b)=-2a-2c+b-c-3a+3b=-5a+4b-3c.故答案為-5a+4b-3c.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式以及絕對(duì)值的性質(zhì),正確化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.14、x≠1【解析】由題意得x-1≠0,∴x≠1.故答案為x≠1.15、【解析】試題分析:根據(jù)題意得;;;根據(jù)以上規(guī)律可得:=.考點(diǎn):規(guī)律題.16、1.【解析】

解:設(shè)圓錐的底面圓半徑為r,根據(jù)題意得1πr=,解得r=1,即圓錐的底面圓半徑為1cm.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算,掌握公式正確計(jì)算是解題關(guān)鍵.17、1【解析】

根據(jù)題意可以分別求得a1,a2,a3,a4,從而可以發(fā)現(xiàn)這組數(shù)據(jù)的特點(diǎn),三個(gè)一循環(huán),從而可以求得a2019的值.【詳解】解:由題意可得,a1=52+1=26,a2=(2+6)2+1=65,a3=(6+5)2+1=1,a4=(1+2+2)2+1=26,…∴2019÷3=673,∴a2019=a3=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探索,解題的關(guān)鍵是明確題意,求出前幾個(gè)數(shù),觀察數(shù)的變化特點(diǎn),求出a2019的值.18、x>﹣1.【解析】

根據(jù)函數(shù)y=3x+b和y=ax-3的圖象交于點(diǎn)P(-1,-5),然后根據(jù)圖象即可得到不等式

3x+b>ax-3的解集.【詳解】解:∵函數(shù)y=3x+b和y=ax-3的圖象交于點(diǎn)P(-1,-5),∴不等式

3x+b>ax-3的解集是x>-1,故答案為:x>-1.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式、一次函數(shù)的圖象,熟練掌握是解題的關(guān)鍵.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.19、(1)a=,k=3,B(-,-2)(2)﹣≤x<0或x≥3;(3)(0,)或(0,0)【解析】

1)過(guò)A作AE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E,在Rt△AOE中,根據(jù)tan∠AOC的值,設(shè)AE=x,得到OE=3x,再由OA的長(zhǎng),利用勾股定理列出關(guān)于x的方程,求出方程的解得到x的值,確定出A坐標(biāo),將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出a的值,代入反比例解析式求出k的值,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo);(2)由A與B交點(diǎn)橫坐標(biāo),根據(jù)函數(shù)圖象確定出所求不等式的解集即可;(3)顯然P與O重合時(shí),滿足△PDC與△ODC相似;當(dāng)PC⊥CD,即∠PCD=時(shí),滿足三角形PDC與三角形CDO相等,利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)直角相等得到三角形PCO與三角形CDO相似,由相似得比例,根據(jù)OD,OC的長(zhǎng)求出OP的長(zhǎng),即可確定出P的坐標(biāo).【詳解】解:(1)過(guò)A作AE⊥x軸,交x軸于點(diǎn)E,在Rt△AOE中,OA=,tan∠AOC=,設(shè)AE=x,則OE=3x,根據(jù)勾股定理得:OA2=OE2+AE2,即10=9x2+x2,解得:x=1或x=﹣1(舍去),∴OE=3,AE=1,即A(3,1),將A坐標(biāo)代入一次函數(shù)y=ax﹣1中,得:1=3a﹣1,即a=,將A坐標(biāo)代入反比例解析式得:1=,即k=3,聯(lián)立一次函數(shù)與反比例解析式得:,消去y得:x﹣1=,解得:x=﹣或x=3,將x=﹣代入得:y=﹣1﹣1=﹣2,即B(﹣,﹣2);(2)由A(3,1),B(﹣,﹣2),根據(jù)圖象得:不等式x﹣1≥的解集為﹣≤x<0或x≥3;(3)顯然P與O重合時(shí),△PDC∽△ODC;當(dāng)PC⊥CD,即∠PCD=90°時(shí),∠PCO+∠DCO=90°,∵∠PCD=∠COD=90°,∠PCD=∠CDO,∴△PDC∽△CDO,∵∠PCO+∠CPO=90°,∴∠DCO=∠CPO,∵∠POC=∠COD=90°,∴△PCO∽△CDO,∴=,對(duì)于一次函數(shù)解析式y(tǒng)=x﹣1,令x=0,得到y(tǒng)=﹣1;令y=0,得到x=,∴C(,0),D(0,﹣1),即OC=,OD=1,∴=,即OP=,此時(shí)P坐標(biāo)為(0,),綜上,滿足題意P的坐標(biāo)為(0,)或(0,0).【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題,涉及的知識(shí)有:待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)定義,相似三角形的判定與性質(zhì),利用了數(shù)形結(jié)合的思想,熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.20、發(fā)現(xiàn):(1)1,60°;(2)2;拓展:(1)相切,理由詳見解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】

發(fā)現(xiàn):(1)利用垂徑定理和勾股定理即可求出點(diǎn)O到AB的距離;利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對(duì)稱性就可求出∠ABA′.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA′=90°,從而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,進(jìn)而求出∠OBP=30°.過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BP,垂足為G,容易求出OG、BG的長(zhǎng),根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長(zhǎng).拓展:(1)過(guò)A'、O作A'H⊥MN于點(diǎn)H,OD⊥A'C于點(diǎn)D.用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C與半圓相切;(2)當(dāng)NA′與半圓相切時(shí),可知ON⊥A′N,則可知α=45°,當(dāng)O′在時(shí),連接MO′,則可知NO′=MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根據(jù)點(diǎn)A′的位置不同得到線段NO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí)α的取值范圍是0°<α<30°或45°≤α<90°.【詳解】發(fā)現(xiàn):(1)過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H,如圖1所示,∵⊙O的半徑為2,AB=2,∴OH==在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)過(guò)點(diǎn)O作OG⊥BP,垂足為G,如圖2所示.∵BA′與⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=OB=1.∴BG=.∵OG⊥BP,∴BG=PG=.∴BP=2.∴折痕的長(zhǎng)為2拓展:(1)相切.分別過(guò)A'、O作A'H⊥MN于點(diǎn)H,OD⊥A'C于點(diǎn)D.如圖3所示,∵A'C∥MN∴四邊形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=A'N=MN=2∴A'C與半圓(2)當(dāng)NA′與半圓O相切時(shí),則ON⊥NA′,∴∠ONA′=2α=90°,∴α=45當(dāng)O′在上時(shí),連接MO′,則可知NO′=MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案為:45°;30°.(3)∵點(diǎn)P,M不重合,∴α>0,由(2)可知當(dāng)α增大到30°時(shí),點(diǎn)O′在半圓上,∴當(dāng)0°<α<30°時(shí)點(diǎn)O′在半圓內(nèi),線段NO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B;當(dāng)α增大到45°時(shí)NA′與半圓相切,即線段NO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí),點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)N,但是點(diǎn)P,N不重合,∴α<90°,∴當(dāng)45°≤α<90°線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、翻折問(wèn)題等知識(shí),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.21、足球單價(jià)是60元,籃球單價(jià)是90元.【解析】

設(shè)足球的單價(jià)分別為x元,籃球單價(jià)是1.5x元,列出分式方程解答即可.【詳解】解:足球的單價(jià)分別為x元,籃球單價(jià)是1.5x元,可得:,解得:x=60,經(jīng)檢驗(yàn)x=60是原方程的解,且符合題意,1.5x=1.5×60=90,答:足球單價(jià)是60元,籃球單價(jià)是90元.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用,利用題目等量關(guān)系準(zhǔn)確列方程求解是關(guān)鍵,注意分式方程結(jié)果要檢驗(yàn).22、(1)10;(2).【解析】

(1)先證出∠C=∠D=90°,再根據(jù)∠1+∠3=90°,∠1+∠2=90°,得出∠2=∠3,即可證出△OCP∽△PDA;根據(jù)△OCP與△PDA的面積比為1:4,得出CP=AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,由勾股定理得x2=(8﹣x)2+42,求出x,最后根據(jù)AB=2OP即可求出邊AB的長(zhǎng);(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME⊥PQ,得出EQ=PQ,根據(jù)∠QMF=∠BNF,證出△MFQ≌△NFB,得出QF=QB,再求出EF=PB,由(1)中的結(jié)論求出PB=,最后代入EF=PB即可得出線段EF的長(zhǎng)度不變【詳解】(1)如圖1,∵四邊形ABCD是矩形,∴∠C=∠D=90°,∴∠1+∠3=90°,∵由折疊可得∠APO=∠B=90°,∴∠1+∠2=90°,∴∠2=∠3,又∵∠D=∠C,∴△OCP∽△PDA;∵△OCP與△PDA的面積比為1:4,∴,∴CP=AD=4設(shè)OP=x,則CO=8﹣x,在Rt△PCO中,∠C=90°,由勾股定理得x2=(8﹣x)2+42,解得:x=5,∴AB=AP=2OP=10,∴邊CD的長(zhǎng)為10;(2)作MQ∥AN,交PB于點(diǎn)Q,如圖2,∵AP=AB,MQ∥AN,∴∠APB=∠ABP=∠MQP.∴MP=MQ,∵BN=PM,∴BN=QM.∵M(jìn)P=MQ,ME⊥PQ,∴EQ=PQ.∵M(jìn)Q∥AN,∴∠QMF=∠BNF,∴△MFQ≌△NFB.∴QF=FB,∴EF=EQ+QF=(PQ+QB)=PB,由(1)中的結(jié)論可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,∴PB=,∴EF=PB=2,∴在(1)的條件下,當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過(guò)程中,線段EF的長(zhǎng)度不變,它的長(zhǎng)度為2.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì),關(guān)鍵是做出輔助線,找出全等和相似的三角形23、(1)50、2;(2)平均數(shù)是7.11;眾數(shù)是1;中位數(shù)是1.【解析】

(1)根據(jù)A等級(jí)人數(shù)及其百分比可得總?cè)藬?shù),用C等級(jí)人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得a的值;(2)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義計(jì)算可得.【詳解】(1)本次抽查測(cè)試的學(xué)生人數(shù)為14÷21%=50人,a%=×100%=2%,即a=2.故答案為50、2;(2)觀察條形統(tǒng)計(jì)圖,平均數(shù)為=7.11.∵在這組數(shù)據(jù)中,1出現(xiàn)了20次,出現(xiàn)的次數(shù)最多,∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.∵將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列,其中處于中間的兩個(gè)數(shù)都是1,∴=1,∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的定義.用到的知識(shí)點(diǎn):一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).將一組數(shù)據(jù)按照從小到大(或從大到?。┑捻樞蚺帕?,如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù),則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù),則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù).24、(1)ac<3;(3)①a=1;②m>或m<.【解析】

(1)設(shè)A

(p,q).則B

(-p,-q),把A、B坐標(biāo)代入解析式可得方程組即可得到結(jié)論;

(3)由c=-1,得到p3=,a>3,且C(3,-1),求得p=±,①根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)果;②由①可知:拋物線解析式為y=x3-3mx-1,根據(jù)M(-1,1)、N(3,4).得到這些MN的解析式y(tǒng)=x+(-1≤x≤3),聯(lián)立方程組得到x3-3mx-1=x+,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:方程x3-(3m+)x-=3在-1≤x≤3內(nèi)只有一個(gè)解,建立新的二次函數(shù):y=x3-(3m+)x-,根據(jù)題意得到(Ⅰ)若-1≤x1<3且x3>3,(Ⅱ)若x1<-1且-1<x3≤3:列方程組即可得到結(jié)論.【詳解】(1)設(shè)A

(p,q).則B

(-p,-q),

把A、B坐標(biāo)代入解析式可得:,

∴3ap3+3c=3.即p3=?,

∴?≥3,

∵ac≠3,

∴?>3,

∴ac<3;

(3)∵c=-1,

∴p3=,a>3,且C(3,-1),

∴p=±,

①S△ABC=×3×1=1,

∴a=1;

②由①可知:拋物線解析式為y=x3-3mx-1,

∵M(jìn)(-1,1)、N(3,4).

∴MN:y=x+(-1≤x≤3),

依題,只需聯(lián)立在-1≤x≤3內(nèi)只有一個(gè)解即可,

∴x3-3mx-1=x+,

故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:方程x3-(3m+)x-=3在-1≤x≤3內(nèi)只有一個(gè)解,

建立新的二次函數(shù):y=x3-(3m+)x-,

∵△=(3m+)3+11>3且c=-<3,

∴拋物線y=x3?(3m+)x?與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),且交y軸于負(fù)半軸.

不妨設(shè)方程x3?(3m+)x?=3的兩根分別為x1,x3.(x1<x3)

則x1+x3=3m+,x1x3=?

∵方程x3?(3m+)x?=3在-1≤x≤3內(nèi)只有一個(gè)解.

故分兩種情況討論:

(Ⅰ)若-1≤x1<3且x3>3:則.即:,

可得:m>.

(Ⅱ)若x1<-1且-1<x3≤3:則.即:,

可得:m<,

綜上所述,m>或m<.【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,三角形面積公式,正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.25、(1)1;(2)43.2°;(3)條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示

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