第11屆景潤(rùn)杯 第一講 極限的理論及方法(講座)

廈門(mén)大學(xué)第十一屆“景潤(rùn)杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽

暨第六屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽

系列講座

廈門(mén)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院林建華

第一講

極限的理論與方法

極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想方法，極限理論是高等數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，它貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的始終。

如果要問(wèn)：“高等數(shù)學(xué)是一門(mén)什么學(xué)科？”，那么可以概括地說(shuō)：“高等數(shù)學(xué)就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)，研究自然科學(xué)的一門(mén)學(xué)科”。

極限的思想方法是微積分的基本思想，也是高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的本質(zhì)區(qū)別所在。高等數(shù)學(xué)之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題，例如瞬時(shí)速度、曲線(xiàn)弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體體積等問(wèn)題正是由于采用了極限的思想方法。

高等數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的因此掌握求極限的方法是理解極限思想的重要的基礎(chǔ)訓(xùn)練步驟之一。

求極限的方法是多種多樣的，有的還需要較高的技巧，因此要較好地掌握極限的方法，需要我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中不斷地總結(jié)、歸納、類(lèi)比、記憶。更為重要的是還要善于把所學(xué)過(guò)的知識(shí)串起來(lái)，并加于靈活運(yùn)用。

下面我們將討論幾類(lèi)重要的求極限方法，它是我們所學(xué)過(guò)求極限方法的深化拓廣和提高，也是綜合利用導(dǎo)數(shù)、微分中值定理、定積分等知識(shí)解決極限問(wèn)題的重要方法。1、

用導(dǎo)數(shù)定義求極限導(dǎo)數(shù)是用極限來(lái)定義的，現(xiàn)在反其道而行之，利用導(dǎo)數(shù)定義來(lái)計(jì)算某些數(shù)列和函數(shù)的極限。如下是我們所熟知的導(dǎo)數(shù)定義的一種變形例1計(jì)算解例2設(shè)解在點(diǎn)可導(dǎo)，計(jì)算例3設(shè)解計(jì)算1、計(jì)算分析：K為自然數(shù)。舉一反三練習(xí)2、

設(shè)f(x)在x0處二階可導(dǎo)分析：可以利用洛必達(dá)法則，但根據(jù)題設(shè)條件只能用一次，然后再利用導(dǎo)數(shù)的定義。2、用拉格朗日中值定理求極限如下是拉格朗日中值定理應(yīng)用的一種變形例1計(jì)算例2計(jì)算間。間。1、

計(jì)算分析舉一反三練習(xí)2、計(jì)算思考：可否利用柯西中值定理。3、用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限先利用拉格朗日中值定理給出下述一般命題：設(shè)下列兩個(gè)條件滿(mǎn)足(1)

(x),(x)是連續(xù)函數(shù),且(2)

f(x)在x=c的一個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)且在x=c處連續(xù)，且則證：由拉格朗日定理和題設(shè)條件于是即由此命題，可得到如下的等價(jià)代換式子。它給求極限帶來(lái)很大方便。容易知道，把xx0換成x

時(shí)，相應(yīng)條件還滿(mǎn)足，則上述結(jié)論仍然成立。此命題的特點(diǎn)是：相減的兩項(xiàng)的外層的函數(shù)必須是相同的，里面復(fù)合的自變量函數(shù)(x)，(x)可以是不一樣。x在某種趨近方式下，且(x)(x)解：利用等價(jià)關(guān)系式子解：利用等價(jià)關(guān)系式子解：利用等價(jià)關(guān)系式子1、

計(jì)算舉一反三練習(xí)提示：2、設(shè)提示：附近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且在存在,求3、已知提示：尋求a,b使下式成立求的值.為任意實(shí)數(shù))對(duì)乘除運(yùn)算求極限，利用等價(jià)無(wú)窮小代換簡(jiǎn)便而有效，但對(duì)加減運(yùn)算下的無(wú)窮小代換則需特別注意。下面定理給出了加減運(yùn)算求極限時(shí)可以進(jìn)行等價(jià)代換的條件。

4、加減運(yùn)算下的等價(jià)代換命題設(shè)(x),1(x),(x),1(x)均為xx0時(shí)的無(wú)窮小，且(x)1(x),(x)1(x)，證明：當(dāng)xx0時(shí)，(x)+(x)1(x)+1(x)。且不等于-1，命題證明:只需證注意到由等價(jià)關(guān)系(5)1、

計(jì)算舉一反三練習(xí)提示：Talor公式是用多項(xiàng)式逼近函數(shù)的一種有效工具，具有廣泛的應(yīng)用。帶有Peano余項(xiàng)的Talor公式常被應(yīng)用在求極限的過(guò)程中。

5、利用Taylor公式求極限公式成立的條件是：存在即可，不需要n+1階導(dǎo)數(shù)的存在。要熟記以下幾個(gè)常用的帶Peano余項(xiàng)的Talor公式.例2設(shè)f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且思考：（洛比達(dá)法則）1、

求舉一反三練習(xí)和求處可導(dǎo),且2、設(shè)在（1）數(shù)列極限的夾逼定理

若三個(gè)數(shù)列{xn},{yn},{zn},從某項(xiàng)開(kāi)始成立且（2）函數(shù)極限的夾逼定理

如果函數(shù)在的某個(gè)鄰域里或在無(wú)窮遠(yuǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)成立以下兩個(gè)條件則6、利用夾逼定理求極限例1

證:

應(yīng)用二項(xiàng)式展開(kāi)

由夾逼定理即證。于是得還有其它的方法放大嗎？

有！

平均值不等式

由夾逼定理即可獲證。于是得證:

于是由夾逼定理得到例2.

證:

于是由夾逼定理得例3.

證:

于是由夾逼定理得到例4.

證:

于是由夾逼定理得到例5例6證由夾逼定理即得例7設(shè)則有解：由

依次取求.令將上面的不等式相加，得

依次取則有即

由夾逼定理和的任意性，得而Stolz定理則

下面介紹的Stolz定理被譽(yù)為數(shù)列極限的洛比達(dá)法則它為求離散型的未定型極限問(wèn)題帶來(lái)很大的方便。

7、利用Stolz公式求極限證：例1例21、舉一反三練習(xí)2、定理

8、利用廣義洛必達(dá)法則求極限例4

1、

求舉一反三練習(xí)證明在2、設(shè)

連續(xù),且當(dāng)所求的極限表達(dá)式是連乘積形式，或可表成n項(xiàng)之和的形式時(shí)，可聯(lián)想到用定積分的定義來(lái)求極限。

9、利用定積分定義求極限連乘積形式的極限表達(dá)式可通過(guò)取對(duì)數(shù)把它轉(zhuǎn)化成n項(xiàng)之和的形式。例1求極限解：記取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成和的形式故例2設(shè)又解：因?yàn)?/p>

由夾逼定理即得我們把例2的解題思路歸納總結(jié)并一般化而所以

一般地，等價(jià)的表達(dá)式具有相同的極限.例3故解：因?yàn)?/p>

1、求舉一反三練習(xí)2、求

若級(jí)數(shù)收斂，則有下列兩條性質(zhì)：

10、利用級(jí)數(shù)的收斂性求極限（級(jí)數(shù)通項(xiàng)趨于零）（收斂級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn有極限.）例1求極限故解：構(gòu)造級(jí)數(shù)

由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法所以級(jí)數(shù)收斂，則通項(xiàng)必趨于零.例2設(shè)故解：構(gòu)造一個(gè)級(jí)數(shù),使級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和Sn為xn,即

所以級(jí)數(shù)收斂，因而存在，證明存在.則級(jí)數(shù)的通項(xiàng)為存在。另證：由于故

即有下界，所以單調(diào)下降由拉格朗日中值定理知存在。故有1、求舉一反三練習(xí)2、求

11、用單調(diào)有界定理求數(shù)列極限數(shù)列單調(diào)性的證明，通常方法是：這是因?yàn)椋喝魓1≤x2,由f(x)的單調(diào)遞增性有x2=f(x1)≤f(x2,)=x3,所以x1≤x2≤x3,以此類(lèi)推,同理若x1x2,由f(x)的單調(diào)遞增性有x2=f(x1)f(x2,)=x3,所以x1x2x3，以此類(lèi)推，即可得到{xn}是單調(diào)遞增。即可得到{xn}是單調(diào)遞減。當(dāng)某種數(shù)列{xn}是由遞推關(guān)系對(duì)這種由線(xiàn)性遞推關(guān)系所定義的數(shù)列，我們可以將其視為常系數(shù)齊次線(xiàn)性差分方程，通過(guò)求其差分方程的特征根，寫(xiě)出xn的通項(xiàng)公式，從而可求出{xn