自動(dòng)控制原理 第5章 頻率法-2-1

§5-2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)頻率特性典型環(huán)節(jié)頻率特性(7種)幅相曲線伯德圖開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性幅相曲線伯德圖15.2.1典型環(huán)節(jié)的幅相曲線以角頻率w為參變量，當(dāng)w=-+變化時(shí)，將系統(tǒng)的頻率特性繪制在復(fù)平面上所得的曲線，簡(jiǎn)稱為幅相曲線。它是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的，通常只畫出w=0+的部分，并用箭頭標(biāo)明w增大的方向。2(1)幅相曲線傳遞函數(shù)：頻率特性：.0K圖5-4比例環(huán)節(jié)的幅相曲線頻率特性如圖5-4所示。其幅頻特性和相頻特性分別為1、比例環(huán)節(jié)3(2)對(duì)數(shù)頻率特性對(duì)數(shù)幅頻特性是一條平行于橫軸的直線，其縱坐標(biāo)為20lgK。

當(dāng)K>1時(shí)，20lgK>0，位于橫軸上方；當(dāng)K=1時(shí)，20lgK=0，與橫軸重合；當(dāng)K<1時(shí)，20lgK<0，位于橫軸下方。比例環(huán)節(jié)的相頻特性是

它是一條與角頻率w無(wú)關(guān)且與w軸重合的直線。圖5-21比例環(huán)節(jié)的Bode圖4當(dāng)有n個(gè)放大環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即：

G(s)=G1(s)G2(s)……Gn(s)幅值的總分貝數(shù)為

5

對(duì)應(yīng)的頻率特性：

幅頻特性和相頻特性分別為（5-17）（5-18）圖5-5積分環(huán)節(jié)的幅相曲線2、積分環(huán)節(jié)(1)幅相曲線0+0+6積分環(huán)節(jié)頻率特性的特點(diǎn)：積分環(huán)節(jié)屬于相角滯后環(huán)節(jié)，對(duì)正弦信號(hào)有900的滯后作用；幅相曲線與負(fù)虛軸重合。7對(duì)數(shù)幅頻特性是：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。(2)對(duì)數(shù)頻率特性斜率為-20(5-35)8設(shè)，則有

可見(jiàn)，積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條在w=1（弧度/秒）處穿過(guò)零分貝線（w軸），斜率為-20dB/dec的直線。

積分環(huán)節(jié)的相頻特性是

是一條與w無(wú)關(guān)，值為-900且平行于w軸的直線。圖5-22積分環(huán)節(jié)的Bode圖幾何意義(5-36)引申i)此時(shí)，即將積分環(huán)節(jié)的幅頻曲線平移20lgK(dB)，因此其幅頻曲線是在w=K處穿過(guò)0dB線，斜率仍為-20dB/dec的直線。w=1時(shí)，L(w)=20lgK(dB)

10引申ii)

n個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)時(shí)，即

其對(duì)數(shù)幅頻特性為

這是一條斜率為-n×20dB/dec，且在w=1（弧度/秒）處過(guò)零分貝線（w軸）的直線。其相頻特性是一條與與w軸平行的，值為-n×900的直線。圖5-13兩個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)的Bode圖12

頻率特性為：（5-19）幅頻特性和相頻特性分別是（5-20）（5-21）3、慣性環(huán)節(jié)(1)幅相曲線13當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

當(dāng)ω=0+時(shí)，慣性環(huán)節(jié)的頻率特性正實(shí)軸下方的半圓，圓心(1,0)，半徑為1/2。證明：

令，14

則有

這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓方程，其圓心坐標(biāo)是，半徑為。且當(dāng)ω由時(shí)，由，說(shuō)明慣性環(huán)節(jié)的頻率特性在平面上是實(shí)軸下方半個(gè)圓周。證明幅相曲線的形狀時(shí)，多用實(shí)頻特性和虛頻特性15思考題：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即時(shí)，其頻率特性是圓心為，半徑為的實(shí)軸下方半個(gè)圓周。0=0R()jI()=∞圖5-6(a)慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線10KK/2

圖5-6(b)慣性環(huán)節(jié)的幅相曲線16一階慣性環(huán)節(jié)頻率特性的特點(diǎn)：慣性環(huán)節(jié)是一個(gè)低通濾波環(huán)節(jié)和相位滯后環(huán)節(jié)。在低頻范圍內(nèi)，對(duì)輸入信號(hào)的幅值衰減較小，相位滯后也??；在高頻范圍內(nèi)，幅值衰減較大，滯后相角也大，最大滯后相角為900。17對(duì)數(shù)幅頻特性是：令w=0+，依次取值，計(jì)算出相應(yīng)的對(duì)數(shù)幅值L(w)，利用描點(diǎn)法即可繪制出較為精確的對(duì)數(shù)幅頻曲線。(2)對(duì)數(shù)頻率特性18L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0－4519相頻特性曲線是一條由00至-900范圍內(nèi)變化的反正切函數(shù)曲線，且以和的交點(diǎn)為斜對(duì)稱。相頻特性為：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°

T=1()=45°T

()=90°20

上述兩條直線在w=1/T處相交，該點(diǎn)頻率稱為慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率或者交接頻率。工程上常用簡(jiǎn)便的作圖法來(lái)得到L(w)曲線，方法如下：即當(dāng)頻率很低時(shí)，L(w)可用零分貝線近似；低頻漸近線即在頻率很高時(shí)，L(w)可近似為一條在w=1/T處穿過(guò)零分貝線，斜率為-20(dB/dec)的直線。高頻漸近線漸近特性精確特性圖5-24慣性環(huán)節(jié)的Bode圖由圖可見(jiàn)，距離轉(zhuǎn)折頻率愈遠(yuǎn)，用漸近線表示對(duì)數(shù)幅頻特性的精度就愈高；反之，距離轉(zhuǎn)折頻率愈近，漸近線的誤差愈大。22用漸近線近似表示L(w)，必然存在誤差，記作：其中L(w)為精確值，La(w)為近似值，因此：根據(jù)上式計(jì)算出的誤差，可繪制如圖所示的誤差曲線：23在轉(zhuǎn)折頻率處的誤差最大，約為-3dB；誤差主要存在于轉(zhuǎn)折頻率上下十倍頻程范圍內(nèi),十倍頻以上的誤差極小，可忽略。慣性環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性誤差修正曲線24思考題：當(dāng)慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T增大時(shí)，相應(yīng)的幅頻曲線和相頻曲線會(huì)如何變化？與時(shí)間響應(yīng)的性能相聯(lián)系進(jìn)行分析。2540db0.1110w20db慣性環(huán)節(jié)20db0.22200db-20db-40db8db2690-90

-45w0慣性環(huán)節(jié)454227振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：其頻率特性是

幅頻特性和相頻特性分別為(5-25)(5-26)4、振蕩環(huán)節(jié)(1)幅相曲線(5-24)可見(jiàn)，振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比有關(guān)。28(3)當(dāng)w=+時(shí)，說(shuō)明幅相曲線的終點(diǎn)為原點(diǎn)，且在第三象限趨近原點(diǎn)；(1)當(dāng)w=0時(shí)，，；表明幅相曲線的起點(diǎn)為實(shí)軸上的(1,0)這點(diǎn)；(2)當(dāng)w=1/T=wn時(shí)，說(shuō)明該點(diǎn)為幅相曲線與負(fù)虛軸的交點(diǎn)。

利用這一特點(diǎn)，可以利用實(shí)驗(yàn)法求取，n。29根據(jù)以上分析，可繪制出不同值的幅相曲線，如圖所示：圖5-7振蕩環(huán)節(jié)的幅相曲線減小300Re[G(jω)]Im[G(jω)]1ABA:B:振蕩環(huán)節(jié)G(jω)31諧振由圖可見(jiàn)，當(dāng)較小時(shí)，幅頻特性A(w)隨著w的增加，先增大后減小，當(dāng)w+時(shí)衰減至零，也就是說(shuō)在某一頻率下，A(w)達(dá)到最大值，這一現(xiàn)象稱為諧振，諧振峰值和諧振頻率可由幅頻特性的極值方程解出。令：解得：(5-27)32將wr代入A(w)得到諧振峰值Mr為：(5-28)振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性33諧振現(xiàn)象分析：=0時(shí)，wr=wn，Mr=，表明此時(shí)諧振發(fā)生在wn上，諧振峰值為，振蕩環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；0<0.707時(shí)，會(huì)出現(xiàn)諧振，越小，wr及Mr就越大，意味著時(shí)間響應(yīng)超調(diào)量大；

>0.707時(shí)，不會(huì)出現(xiàn)諧振，隨著w的增加，A(w)單調(diào)衰減；34振蕩環(huán)節(jié)的相頻特性：始終為負(fù)角，因此是一個(gè)滯后環(huán)節(jié)，相位滯后隨著w增加而增加，且與阻尼比有關(guān)，最大滯后角為-180度。思考題：當(dāng)振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的分子是常數(shù)K時(shí)，即：它的幅相曲線的起點(diǎn)？35對(duì)數(shù)幅頻特性：(2)對(duì)數(shù)頻率特性(5-43)即在低頻段，L(w)可用零分貝線近似；低頻漸近線即在高頻段，L(w)可近似為一條在w=1/T處穿過(guò)零分貝線，斜率為-40(dB/dec)的直線。高頻漸近線36由這兩段直線構(gòu)成振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線，它的轉(zhuǎn)折頻率為w=wn=1/T。其中wn為振蕩環(huán)節(jié)的無(wú)阻尼自然振蕩頻率，它也是漸近線的轉(zhuǎn)折（交接）頻率。

高頻漸近線低頻漸近線

圖5-25振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線37用漸近線近似表示L(w)，必然存在誤差，記作：其中L(w)為精確值，La(w)為近似值，因此：根據(jù)這一表達(dá)式，可繪制誤差曲線：38

漸近線與精確對(duì)數(shù)幅頻特性曲線的誤差分析如下：當(dāng)時(shí)，，它是阻尼比ξ的函數(shù)；當(dāng)=1時(shí)為-6（dB），當(dāng)=0.5時(shí)為0(dB)，當(dāng)=0.25時(shí)為+6(dB)；圖5-26振蕩環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性誤差修正曲線39由圖知，振蕩環(huán)節(jié)的誤差可正可負(fù)，它們是