計算方法1插值方法

第一章插值方法1.1問題的提法1.2拉格朗日插值公式1.5牛頓插值公式1.8樣條插值1.6埃爾米特插值1.7分段插值法1.3插值余項(xiàng)1.9曲線擬合的最小二乘法1.1問題的提法函數(shù)y=f(x)給出一組函數(shù)值

x:x0x1x2……xny:y0y1y2……yn其中x0,x1,x2,…,xn是區(qū)間[a,b]上的互異點(diǎn)，要構(gòu)造一個簡單的函數(shù)p(x)作為f(x)的近似表達(dá)式，使?jié)M足

(插值原則、插值條件)

這類問題稱為插值問題。p(x)-----f(x)的插值函數(shù),

f(x)-----被插值函數(shù)x0,x1,x2,…,xn-----插值節(jié)點(diǎn)

求插值函數(shù)的方法稱為插值法。

若x∈[a,b]，需要計算f(x)的近似值p(x),則稱x為插值點(diǎn)。

1.插值問題當(dāng)選擇代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù)時，稱為代數(shù)多項(xiàng)式插值問題:代數(shù)多項(xiàng)式插值問題:設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]有定義,且已知在n+1個點(diǎn)a≤x0<x1<……<xn≤b上的函數(shù)值y0,y1,……,yn.,要求一個次數(shù)不高于n的多項(xiàng)式

使?jié)M足插值原則稱pn(x)為f(x)的n次插值多項(xiàng)式。本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值。因?yàn)槎囗?xiàng)式具有一些很好的特性，如它具有各階導(dǎo)數(shù)，計算多項(xiàng)式的值比較方便，多項(xiàng)式四則運(yùn)算后仍是多項(xiàng)式等等。定理2在n+1個互異基點(diǎn)處滿足插值原則且次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式pn(x)是存在并唯一的。證

其系數(shù)行列式

因此方程組存在唯一的解

，因此pn(x)存在并唯一。2插值多項(xiàng)式的存在唯一性1.2拉格朗日插值多項(xiàng)式1線性插值3一般情形2拋物插值1線性插值----n=1時的代數(shù)多項(xiàng)式插值已知f(x0)=y0，f(x1)=y1,x0≠x1y0y1yx0x1x要構(gòu)造線性函數(shù)p1(x),使它滿足插值條件

p1(x0)=y0,p1(x1)=y1.（線性插值多項(xiàng)式）

（拉格朗日線性插值多項(xiàng)式）

公式的結(jié)構(gòu)：它是兩個一次函數(shù)的線性組合

（線性插值基函數(shù)）

例1已知

1011y100121x解

與精確值比較，這個結(jié)果有3位有效數(shù)字.的精確值為10.723805…,基函數(shù)的性質(zhì)2

拋物插值----n=2時的代數(shù)多項(xiàng)式插值已知f(x)在三個互異節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2的函數(shù)值y0,y1,y2xx0x1x2yy0y1y2要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式p2(x)

使?jié)M足插值條件

公式的構(gòu)造：采用基函數(shù)方法構(gòu)造p2(x)，先構(gòu)造三個二次插值基函數(shù)

lj(x)(j=0,1,2)，使?jié)M足且lj(x)(j=0,1,2)，是一個二次函數(shù).先構(gòu)造l0(x)因它有兩個零點(diǎn)x1及x2故可表為其中c為待定系數(shù)，由條件l0(x0)=1,求得

于是，得同理可得（拉格朗日二次插值多項(xiàng)式）于是求得顯然，它滿足

例2利用100,121和144的開方值求

x100121144y101112解

這個結(jié)果同精確值比較，有4位有效數(shù)字.二次插值也稱之為拋物插值。當(dāng)三點(diǎn)(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)位于一條直線上時，顯然插值函數(shù)的圖形是直線。3一般情形下面討論通過n+1個節(jié)點(diǎn)x0<x1<……<xn的n次插值多項(xiàng)式pn(x),假設(shè)它滿足條件

定義:若n次多項(xiàng)式lj(x)(j=0,1,…,n)在n+1個節(jié)點(diǎn)x0<x1<……<xn上滿足條件

就稱這n+1個n次多項(xiàng)式l0(x)，l1(x)，…,

ln(x)為節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn

上的n次插值基函數(shù)。

類似n=1,n=2的情況，可得n次插值基函數(shù)為顯然，它滿足條件n次拉格朗日插值多項(xiàng)式

由lk(x)的定義，知

若引入記號注意：

n次插值多項(xiàng)式pn(x)通常是次數(shù)為n的多項(xiàng)式，特殊情況次數(shù)可能小于n，例如，通過三點(diǎn)（x0,y0),（x1,y1),（x2,y2),的二次插值多項(xiàng)式p2(x)，如果三點(diǎn)共線，則y=p2(x)就是一直線，而不是拋物線，這時p2(x)是一次式。容易求得于是pn(x)又可改寫成1.3插值余項(xiàng)截斷誤差：

也稱為插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。

定理3設(shè)區(qū)間[a,b]含有節(jié)點(diǎn)x0，x1，…，xn,而函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)有連續(xù)的直到n+1階導(dǎo)數(shù)，且f(xi)=yi(i=0,1,…,n)已給，則當(dāng)x∈[a,b]時，對于滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式pn(x)，成立其中ξ∈(a,b)且依賴于x，

證

僅需要考察插值點(diǎn)x不是插值節(jié)點(diǎn)xi的情形，否則插值余項(xiàng)公式顯然成立。令式中c為待定系數(shù)，而這樣誤差函數(shù)R(t)=f(t)-g(t)至少有n+2個互異的零點(diǎn)x,x0,x1,…,xn。根據(jù)羅爾定理,R(n+1)(ξ)=0依此類推，可知R(n+1)(t)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點(diǎn)ξ，使R”(t)在(a,b)內(nèi)至少有n個互異零點(diǎn)R’(t)在(a,b)內(nèi)至少有n+1個互異的零點(diǎn)另一方面直接對R(x)求導(dǎo)知上式令t=ξ,并將c的表達(dá)式代入，得

據(jù)此稍加整理，就得到余項(xiàng)表達(dá)式，證畢由于xi(i=0,1,…,n)都是

（t)的零點(diǎn)，根據(jù)插值條件有此外，若取則又有g(shù)(x)=f(x).

推論當(dāng)f(x)是次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式時，其n次插值多項(xiàng)式就是f(x)本身。證明因?yàn)閒(n+1)(x)=0，從而Rn(x)≡0，pn(x)≡f(x)。誤差公式的用法：，則截斷誤差估計為

如果設(shè)min{x0,x1,…,xn}=a，max{x0,x1,…,xn}=b當(dāng)插值點(diǎn)x∈(a,b)時稱為內(nèi)插，否則稱為外插。特別，當(dāng)n=1時，線性插值余項(xiàng)為

當(dāng)n=2時，拋物線插值余項(xiàng)為

計算框圖：

1.5牛頓插值公式2差商及其性質(zhì)1具有承襲性的插值公式3差商形式的插值公式先考察線性插值的點(diǎn)斜式表達(dá)式為：

由于1具有承襲性的插值公式

p1(x

)=p0(x)+c1(x-x0)其中，修正項(xiàng)的系數(shù)顯然，不管系數(shù)c2如何取值p2(x)均能滿足

p2(x0)=f(x0),p2(x1)=f(x1)再利用剩下的一個條件p2(x2)=f(x2)來確定c2,結(jié)果有

可看作是零次插值多項(xiàng)式，上式表明再修正p1(x)以進(jìn)一步得到拋物線插值多項(xiàng)式p2(x

),為此令p2(x

)=p1(x)+c2(x-x0)(x-x1)以上論述表明，為了建立具有承襲性的插值公式，需要引進(jìn)差商并研究性質(zhì)。記c0=f(x0),從而有一階差商定義為：

一般地,n階差商定義為為統(tǒng)一起見，定義零階差商為函數(shù)值本身，即f(xi),2差商及其性質(zhì)二階差商定義為一階差商的差商：

差商有如下的基本性質(zhì):

例如這個性質(zhì)可用歸納法證明.這個性質(zhì)也表明,差商具有對稱性,即任意改變節(jié)點(diǎn)的次序后其值不變。即

k階差商可表為函數(shù)值f(x0),f(x1),…,f(xk)的線性組合,即

定理4若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)則n階差商與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下證作函數(shù)pn-1(x)是過的插值多項(xiàng)式,由定理3的證明得證差商表

xif(xk)1階2階3階4階x0f(x0)

x1f(x1)f(x0,x1)

x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)

x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)

x4f(x4)f(x3,x4)f(x2,x3,x4)f(x1,x2,x3,x4)f(x0,x1,x2,x3,x4)

┊┊┊┊┊┊……計算規(guī)律：任一個k(≥1)階差商的數(shù)值等于一個分式的值，其分子為所求差商左側(cè)的數(shù)減去左上側(cè)的數(shù)，分母為所求差商同一行最左邊的基點(diǎn)值減去由它往上數(shù)第k個基點(diǎn)值。

注意：差商表中，對角線上的差商是構(gòu)造牛頓型插值公式的重要數(shù)據(jù)。粗線框出的部分在計算機(jī)上可存入二維數(shù)組差商表的數(shù)據(jù)構(gòu)成一個矩陣F：F00=f(x0)F10=f(x1),F11=f[x0,x1]F20=f(x2),F21=f[x1,x2],F22=f[x0,x1,x2]F30=f(x3),F31=f[x2,x3],F32=f[x1,x2,x3],F33=f[x0,x1,x2,x3]Fi,j-1=f[xi-j+1,…,xi]Fi-1,j-1=f[xi-j,,…,xi-1]計算機(jī)上計算均差表的公式

一般有Fi,j=f[xi-j,xi-j+1,…,xi-1,xi]

例3已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)如表，試構(gòu)造差商表，并求f(2,4,5)及f(2,4,5,6)的值。

x02456f(x)159-413解

n=4,構(gòu)造差商表

xif(xi)1階2階3階4階0245621159-4132-13170-515-15f(2,4,5)=-5f(2,4,5,6)=53差商形式的插值公式根據(jù)差商定義，把x看成[a,b]上一點(diǎn)，可得牛頓均差型線性插值多項(xiàng)式只要把后一式代入前一式，就得到我們稱p

n(x)為牛頓均差插值多項(xiàng)式計算牛頓差商插值多項(xiàng)式的步驟：（1）作差商表（2）根據(jù)公式計算牛頓型插值多項(xiàng)式（表中對角線上各差商值就是pn(x)的各項(xiàng)系數(shù)）。

余項(xiàng)公式

牛頓型插值多項(xiàng)式

p

n(x)顯然滿足插值條件，且就是次數(shù)不超過n次的插值多項(xiàng)式，系數(shù)例4已知函數(shù)y=f(x)的觀測數(shù)據(jù)如上例，試用全部節(jié)點(diǎn)構(gòu)造牛頓插值多項(xiàng)式，并用二次插值求f(3)的近似值。

解用全部基點(diǎn)時，n=4，先作差商表,見上例。

p4(x)=f(0)+f(0,2)(x-0)+f(0,2,4)(x-0)(x-2)+f(0,2,4,5)(x-0)(x-2)(x-4)+f(0,2,4,5,6)(x-0)(x-2)(x-4)(x-5)xif(xi)1階2階3階4階0245622-1317159-4130-515-151=1+2x-x(x-2)(x-4)+x(x-2)(x-4)(x-5)用二次插值求f(3)時n=2，x=3，作內(nèi)插取

x0=2,x1=4,x2=5f(3)≈p2(3)=f(2)+f(2,4)(3–2)+f(2,4,5)(3-2)(3-4)=7-5(3-2)(3-4)=12

不少實(shí)際問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是Hermite插值多項(xiàng)式。這里不準(zhǔn)備對Hermite插值作一般性論述,而僅僅研究兩個具體問題.1.求作二次式p2(x)滿足設(shè)用這一插值多項(xiàng)式p2(x)逼近某個取值解決這類問題與處理不帶導(dǎo)數(shù)的插值一樣,也有兩種方法下面分別說明:1.6埃爾米特插值(1)基于承襲性,按牛頓插值特點(diǎn),令則不管系數(shù)c怎樣取值,總有將c代入,得再用剩下的一個條件確定c,(2)用基函數(shù)方法，為簡化計算，先設(shè)x0=0,x1=1,而令均為二次式，它們分別滿足其中基函數(shù)下面我們將利用以上條件來分別確定由條件0(1)=0知x=1是0(x)的一個根，故可令將0(x)的其它兩個條件代入，得方程組解得a=b=-1,于是有0(x)=1-x2同理可得1(x)=x2，0(x)=x(1-x)若x0,x1為任意節(jié)點(diǎn)，那么可令x1-x0=h，不難驗(yàn)證，這時2.求作三次式p3(x)，使?jié)M足仿照問題1的解法，記h=x1-x0,而令仿照問題1的解法，導(dǎo)出其插值基函數(shù)為余項(xiàng)：對于問題1和問題2的插值余項(xiàng)分別是其中1，2均包含在由點(diǎn)x0,x1和x所界定的范圍內(nèi)

例5求滿足的插值多項(xiàng)式及其余項(xiàng)表達(dá)式。解：由給定條件，可確定次數(shù)不超過3的插值多項(xiàng)式，由于此多項(xiàng)式通過點(diǎn)故其形式為其中A為待定常數(shù)，可由條件確定，通過計算得:為了求余項(xiàng)R(x)=f(x)-P(x)的表達(dá)式,設(shè)其中K(x)為待定函數(shù)，構(gòu)造

顯然故其形式為(t)在（a,b）內(nèi)有5個零點(diǎn)（重根算兩個）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，的(4)(t)在（a,b）內(nèi)至少有一個零點(diǎn)，故于是，余項(xiàng)公式可表為1高次插值的龍格現(xiàn)象2分段插值的概念3分段線性插值1.7分段插值法4分段三次插值1高次插值的龍格現(xiàn)象1901年龍格首先發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式插值有危險，他試圖在區(qū)間[-5,5]內(nèi)相等間隔的節(jié)點(diǎn)上用多項(xiàng)式對函數(shù)進(jìn)行插值，卻發(fā)現(xiàn)當(dāng)插值多項(xiàng)式pn(x)的次數(shù)趨于無窮時，pn(x)在|x|<3.63內(nèi)收斂，而在該區(qū)間之外發(fā)散。如下圖所示。高次代數(shù)多項(xiàng)式插值的龍格（Runge)現(xiàn)象所以，七、八次以上的代數(shù)多項(xiàng)式插值很少使用。2分段插值的概念

所謂分段插值就是將插值函數(shù)逐段多項(xiàng)式化。設(shè)已知節(jié)點(diǎn)a≤x0<x1<……<xn≤b上的函數(shù)值y0,y1,……,yn.，求函數(shù)SK(x)滿足：1oSk(x)C[a,b],2oSk(xk)=yk,(k=0,1,…,n)3oSk(x)在每個小區(qū)間[xk,xk+1]上是k次式，

則稱Sk(x)為分段k次式.3分段線性插值設(shè)給定f(x)函數(shù)值(xi,yi),i=0,1,…,n,求在分劃：a≤x0<x1<……<xn≤b下的一次式S1(x)，滿足條件S1(xi)=yi,i=0,1,…,n

由定義可知S1(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上可表示為或表示為式中hi=xi+1-xi,而0(x)=1-x，1(x)=x在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上有估計式而所以定理5當(dāng)f(x)C2[a,b]且x[a,b]時，有估計式由此得知，S1(x)在[a,b]上一致收斂到f(x).

習(xí)題29對函數(shù)

解

xi+1/2f(xi+1/2)S

(

xi+1/2

)相對誤差0.51.52.53.54.50.750000.033650.800000.307690.137930.075470.047060.350000.150000.079410.048640.137500.055200.062500.05520進(jìn)行分段線性插值。4分段三次Hermite插值若在節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,…,n)上除已知函數(shù)值yk外還已知導(dǎo)數(shù)值,就可構(gòu)造一個導(dǎo)數(shù)連續(xù)的分段插值函數(shù)S3(x)，它滿足：1oS3(x)C1[a,b],2oS3(xi)=yi,3oS3(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上是三次多項(xiàng)式，根據(jù)兩點(diǎn)三次Hermite插值多項(xiàng)式可知，S3(x)在每個小區(qū)間[xi,xi+1]上可表示為定理6若f

(x)C4[a,b],且x[a,b],有估計式

分段插值法的利弊

分段插值法是一種顯式算法，其算法簡單，而且收斂性能得到保證，只要節(jié)點(diǎn)間距充分小，分段插值法總能獲得所要求的精度，而不會象高次插值那樣發(fā)生龍格現(xiàn)象。分段插值法的另一個重要特點(diǎn)是它的局部性質(zhì)，如果修改某個數(shù)據(jù)，那么插值曲線僅僅在某個局部范圍內(nèi)受到影響，而代數(shù)插值卻會影響整個插值區(qū)間。我們看到，和分段線性插值相比較，分段三次Hermite插值雖然改善了精度，但這種插值要求給出節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，所要提供的信息“太多”，同時它的光滑性也不高（只有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)）。改進(jìn)這種插值以克服其缺點(diǎn)，這就導(dǎo)致了所謂三次樣條插值。1樣條函數(shù)的概念2三次樣條插值3計算步驟與例題1.8樣條插值1樣條函數(shù)的概念

樣條插值的思想：逐段選取適當(dāng)?shù)牡痛味囗?xiàng)式，按一定的光滑性要求連接起來構(gòu)成插值函數(shù)。

定義若函數(shù)Sk(x)Ck-1[a,b],且在每個小區(qū)間[xj,xj+1]上是k次多項(xiàng)式，其中a=x0<x1<……<xn=b是給定節(jié)點(diǎn)，則稱Sk(x)是節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,…,xn上的k次樣條函數(shù).若在節(jié)點(diǎn)xj上給定函數(shù)值yj=f(xj)(j=0,1,…,n),并成立S(xj)=yj,j=0,1,…,n.(*).

則稱Sk(x)為三次樣條插值函數(shù).

稱xoy平面上的點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)為樣點(diǎn)。

從定義知S3(x)在每個小區(qū)間[xj,xj+1]上是三次多項(xiàng)式，要確定4個待定系數(shù)，給定n+1個樣點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n)，共有n個小區(qū)間，需要確定4n叁數(shù)。在定義中，已指定了3n-3個條件，即所以，一般需在區(qū)間[a,b]端點(diǎn)a=x0,b=xn補(bǔ)充2個邊界條件。

再加上共有4n-2個條件2三次樣條插值常用的邊界條件有三種:

1°已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值，即

2°兩端的二階導(dǎo)數(shù)值已知，即特別取時稱為自然邊界條件。3°當(dāng)f(x)是以xn-x0為周期的周期函數(shù)時，則要求S3(x)也是周期函數(shù)，端點(diǎn)要滿足

這樣確定的樣條函數(shù)S3(x)，稱為周期樣條函數(shù)。若假定在節(jié)點(diǎn)xj處的值為由分段三次Hermite插值，可得及取邊界條件

顯然這樣造出來的三次多項(xiàng)式S3(x)不論叁數(shù)mj如何選取，均可直接驗(yàn)證所有節(jié)點(diǎn)不但連續(xù)，而且還有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，于是問題就歸結(jié)到如何選取叁數(shù)mj使S3(x)在每個節(jié)點(diǎn)上也有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。為此我們利用條件來確定mj。對S3(x)求二階導(dǎo)數(shù)得于是在每個小區(qū)間[xi,xi+1]的左右兩端分別有為了保證S(x)在節(jié)點(diǎn)xi處有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，應(yīng)有即令整理化簡為如采用第一種邊界條件

m1,m1,…,mn-1的n-1個方程，稱為基本方程組方程為只含其系數(shù)矩陣

它的系數(shù)矩陣的非零元素集中在三條對角線上而被稱作是三對角型的，求解這類方程組的有效方法是追趕法。求三次樣條插值函數(shù)的計算步驟歸納為:

步1輸入初始數(shù)據(jù)3計算步驟與例題步2i從0到n-1計算步3i從1到n-1計算步4用追趕法解三對角方程求出mi（i=1,…,n-1)步5計算S3(x)在若干點(diǎn)上的值，并打印結(jié)果。x0123y0000端點(diǎn)條件為：m0=1，m3=0.求三次樣條插值函數(shù)的分段表達(dá)式，并求f(1.5)。

求m1,m2

的方程組形為方程組化為解得例

給定函數(shù)表

解

利用公式求得三次樣條函數(shù)如下：因?yàn)?.5[1,2],所以

例給定區(qū)間[0,3]上3個點(diǎn)的函數(shù)值f(0)=0,f(1)=2,f(3)=4,試求數(shù)a,b,c,d,使函數(shù)S(x)為給定點(diǎn)上的三次樣條插值函數(shù)。

解設(shè)

根據(jù)定義，由得d=0，故則由

得由得由得由得求得

即1.9曲線擬合的最小二乘法1直線擬合2多項(xiàng)式擬合3觀測數(shù)據(jù)的修勻曲線擬合的問題：設(shè)函數(shù)y=f(x)在n個互異點(diǎn)的觀測數(shù)據(jù)為求一個簡單的近似函數(shù)φ(x)，使之“最好”地逼近f(x)，而不必滿足插值原則。稱函數(shù)y=φ(x)為經(jīng)驗(yàn)公式或擬合曲線。

xix1x2…..xnyiy1y2…..yn通常選擇函數(shù)類型的做法：描出散點(diǎn)圖，再根據(jù)專業(yè)知識和經(jīng)驗(yàn)來選擇φ(x)的類型。

例子：（注意它與插值法的不同）1.直線擬合.

假設(shè)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,N)的分布大致成一直線，我們求作擬合直線盡可能地從所給數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)附近通過，就是說，近似地成立這里，數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目N》2，，因此，擬合直線的構(gòu)造，本質(zhì)上是個解超定（矛盾）方程組的代數(shù)問題設(shè)表示按擬合直線y=a+bx求得的近似值，兩者之差稱為殘差。顯然，殘差的大小是衡量擬合好壞的重要標(biāo)志。構(gòu)造擬合曲線可以采用下列三種準(zhǔn)則之一：分析以上三種準(zhǔn)則,(1)和(2)兩種由于含有絕對值運(yùn)算,不便于實(shí)際應(yīng)用,最常用的是準(zhǔn)則(3)稱作曲線擬合的最小二乘法.按最小二乘法,作直線擬合應(yīng)使總誤差(1)使殘差的最大絕對值為最小:(2)使殘差的絕對值之和為最小:(3)使殘差的平方和為最小:為最小.即解方程組正則方程組為

例已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求經(jīng)驗(yàn)公式擬合這組數(shù)據(jù)。解作散點(diǎn)圖，容易看出數(shù)據(jù)點(diǎn)接近一條直線，因此設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為2112840y2468x正則方程組為解得得經(jīng)驗(yàn)公式為y=-12.5+6.55xN=4,2多項(xiàng)式擬合

使總誤差

假設(shè)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi)(i=1,2,…,N)的分布大致成一曲線，我們求作m(m<<N)次多項(xiàng)式為最小.即解方程組得即有這個關(guān)于系數(shù)aj的線性方程組通常稱為正則方程組。（*）(1)由已知數(shù)據(jù)畫出函數(shù)粗略的圖形——散點(diǎn)圖，確定擬合多項(xiàng)式的次數(shù)m;(2)列表計算(3)寫出正則方程組，求出a0,a1,…,am;(4)寫出擬合多項(xiàng)式多項(xiàng)式擬合的一般方法可歸納為以下幾步：定理7設(shè)節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn互異,則正則方程組(*)有唯一解.定理8設(shè)aj(j=0,1,…,m)為正則方程組(*)的解,則必為滿足最小二乘的擬合多項(xiàng)式.例

已知一組觀測數(shù)據(jù)表，試用最小二乘法求一個多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)。解作散點(diǎn)圖，可以看出這些點(diǎn)接近一條拋物線，因此設(shè)所求的多項(xiàng)式為其正則方程組為得c1=4.7143,c2=-2.7857,c3=0.5000521