復(fù)變函數(shù)第四版(第四章)

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冪級(jí)數(shù)§4.3泰勒級(jí)數(shù)§4.1

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)第4章級(jí)數(shù)§4.4洛朗級(jí)數(shù)1.復(fù)數(shù)列的極限設(shè){an}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,其中an=an+ibn,又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù).如果任意給定e>0,相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時(shí)成立,則a稱為復(fù)數(shù)列{an}當(dāng)n時(shí)的極限,記作

此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.§4.1

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理一復(fù)數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對(duì)于任意給定的e>0,就能找到一個(gè)正數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),反之,如果2.級(jí)數(shù)概念設(shè){an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式稱為無窮級(jí)數(shù),其最前面n項(xiàng)的和

sn=a1+a2+...+an稱為級(jí)數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,定理二級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)

和都收斂

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級(jí)數(shù)和都收斂.定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問題.定理三[證]另外,因?yàn)榈母黜?xiàng)都是非負(fù)的實(shí)數(shù),所以它的收斂也可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定法來判定.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.[解]1)因2)由于an=ncosin=nchn,因此,當(dāng)n時(shí),an.所以an發(fā)散.

例2下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂?[解]1)

因發(fā)散;收斂,故原級(jí)數(shù)發(fā)散.3)因收斂;也收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂.但因

為條件收斂,所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.2)因,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知

收斂,故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.§4.2

冪級(jí)數(shù)1.冪級(jí)數(shù)的概念

設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).最前面n項(xiàng)的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0,極限

存在,則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.s(z)稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí),就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形:如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO[證]2.收斂圓和收斂半徑

利用阿貝爾定理,可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍,對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來說,它的收斂情況不外乎三種:i)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.ii)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.iii)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù).設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)收斂,z=b(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.RCROabCaCbxy當(dāng)a由小逐漸變大時(shí),Ca必定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍(lán)色.這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓.在收斂圓的外部,級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.

所以冪級(jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.對(duì)冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來說,收斂范圍是以z=a為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.例1求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù),部分和為3.收斂半徑的求法例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑4.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加,相減,相乘,所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣,復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算.設(shè)更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算

這個(gè)代換運(yùn)算,在把函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.Oxyab當(dāng)|z-a|<|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂3)f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,即

設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,而|z-z0|=r為D內(nèi)以z0為中心的任何一個(gè)圓周,它與它的內(nèi)部全含于D,把它記作K,又設(shè)z為K內(nèi)任一點(diǎn).z0Kzrz§4.3泰勒級(jí)數(shù)按柯西積分公式,有且由解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式,上式可寫成在K內(nèi)成立,即f(z)可在K內(nèi)用冪級(jí)數(shù)表達(dá).q與積分變量z無關(guān),且0q<1.z0KzrzK含于D,f(z)在D內(nèi)解析,在K上連續(xù),在K上有界,因此在K上存在正實(shí)數(shù)M使|f(z)|M.因此,下面的公式在K內(nèi)成立:稱為f(z)在z0的泰勒展開式,它右端的級(jí)數(shù)稱為f(z)在z0處的泰勒級(jí)數(shù).

圓周K的半徑可以任意增大,只要K在D內(nèi).所以,如果z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離為d,則f(z)在z0的泰勒展開式在圓域|z-z0|<d內(nèi)成立.定理(泰勒展開定理)

設(shè)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,z0為D內(nèi)的一點(diǎn),d為z0到D的邊界上各點(diǎn)的最短距離,則當(dāng)|z-z0|<d時(shí),

注：如果f(z)在z0解析,則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個(gè)奇點(diǎn)a的距離,即R=|a-z0|.yz0ax

任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù),因而是唯一的.

利用泰勒展開式,我們可以直接通過計(jì)算系數(shù):把f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù),這被稱作直接展開法例如,求ez在z=0處的泰勒展開式,由于(ez)(n)=ez,(ez)(n)|z=0=1(n=0,1,2,...)，故有因?yàn)閑z在復(fù)平面內(nèi)處處解析,上式在復(fù)平面內(nèi)處處成立,收斂半徑為+.同樣,可求得sinz與cosz在z=0的泰勒展開式:

除直接法外,也可以借助一些已知函數(shù)的展開式,利用冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和分析性質(zhì),以唯一性為依據(jù)來得出一個(gè)函數(shù)的泰勒展開式,此方法稱為間接展開法.例如sinz在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:[解]由于函數(shù)有一奇點(diǎn)z=-1,而在|z|<1內(nèi)處處解析,所以可在|z|<1內(nèi)展開成z的冪級(jí)數(shù).因?yàn)?/p>

例1把函數(shù)展開成z的冪級(jí)數(shù).例2求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值ln(1+z)在z=0處的冪級(jí)數(shù)展開式.[解]ln(1+z)在從-1向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的平面內(nèi)是解析的,-1是它的奇點(diǎn),所以可在|z|<1展開為z的冪級(jí)數(shù).推論1：

注：推論2:冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓周上至少有一個(gè)奇點(diǎn).(即使冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上處處收斂)例如：推論3：例如：

在實(shí)變函數(shù)中有些不易理解的問題,一到復(fù)變函數(shù)中就成為顯然的事情,例如在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),展開式的成立必須受|x|<1的限制,這一點(diǎn)往往使人難以理解,因?yàn)樯鲜阶蠖说暮瘮?shù)對(duì)任何實(shí)數(shù)都是確定的而且是可導(dǎo)的.而如果把函數(shù)中的x換成z,在復(fù)平面內(nèi)來看函數(shù)1-z2+z4-…它有兩個(gè)奇點(diǎn)i,而這兩個(gè)奇點(diǎn)都在此函數(shù)的展開式的收斂圓周上,所以這個(gè)級(jí)數(shù)的收斂半徑只能等于1.因此,即使我們只關(guān)心z的實(shí)數(shù)值,但復(fù)平面上的奇點(diǎn)形成了限制.

一個(gè)以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z),可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級(jí)數(shù).如果f(z)在z0處不解析,則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級(jí)數(shù)來表示.但是這種情況在實(shí)際問題中卻經(jīng)常遇到.因此,在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法.§4.4洛朗級(jí)數(shù)討論下列形式的級(jí)數(shù):可將其分為兩部分考慮:只有正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為原級(jí)數(shù)收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級(jí)數(shù),設(shè)其收斂半徑為R2：這是z的冪級(jí)數(shù),設(shè)收斂半徑為R：對(duì)負(fù)冪項(xiàng),如果令z=(z-z0)-1,就得到：則當(dāng)|z-z0|>R1時(shí),即|z|<R,因此,只有在R1<|z-z0|<R2的圓環(huán)域,原級(jí)數(shù)才收斂.z0R1R2例如級(jí)數(shù)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有.例如,可以證明,上述級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的,而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo)