自動控制原理第五章頻率特性

2023/2/41時域分析法和根軌跡法的特點①時域分析法：時域分析法較為直接，不足之處：對于高階或較為復(fù)雜的系統(tǒng)難以求解和定量分析；當(dāng)系統(tǒng)中某些元器件或環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型難以求出時，整個系統(tǒng)的分析將無法進(jìn)行；系統(tǒng)的參數(shù)變化時，系統(tǒng)性能的變化難以直接判斷，而需新求解系統(tǒng)的時問響應(yīng)；系統(tǒng)的性能不滿足技術(shù)要求時，無法方便地確定應(yīng)如何伺調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期結(jié)果；必須由閉環(huán)傳遞函數(shù)求系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2023/2/42②根軌跡分析法：快速，簡潔而實用的圖解分析法；根據(jù)圖形的變化趨勢可得到系統(tǒng)性能隨某一參數(shù)變化的全部信息，從而可以獲得應(yīng)如何調(diào)整系統(tǒng)的參數(shù)來獲得預(yù)期結(jié)果；一種非常實用的求取閉環(huán)特征方程式根和定性分析系統(tǒng)性能的圖解法，特別適用于高階系統(tǒng)的分析求解；但對于高頻噪聲問題，難以建立數(shù)學(xué)模型等問題仍然無能為力。2023/2/43頻域法不必求解微分方程，能預(yù)示系統(tǒng)性能，同時，又能指出如何調(diào)整系統(tǒng)參數(shù)來得到系統(tǒng)預(yù)期的性能指標(biāo)。時域分析法和根軌跡分析法主要是以單位階躍輸入信號來研究系統(tǒng)的，而頻域分析法主要是以正弦輸入信號來研究系統(tǒng)的。頻域分析：給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦信號，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也是一個正弦信號，其頻率與輸入信號同頻率，其幅值和相位隨輸入信號頻率的變化而變化。設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖給系統(tǒng)輸入正弦信號，保持幅值不變，增大頻率，曲線如下:2023/2/44給穩(wěn)定的系統(tǒng)輸入一個正弦信號，其穩(wěn)態(tài)輸出是與輸入同頻率的正弦信號，幅值隨ω而變，相角也是ω的函數(shù)。系統(tǒng)對不同頻率的正弦信號的“復(fù)現(xiàn)能力”或“跟蹤能力”。頻率越高，衰減越大，這意味著自動控制系統(tǒng)將能實現(xiàn)對所有低于截止頻率的信號進(jìn)行幾乎沒有衰減的傳輸，而對于那些高于截止頻率的噪聲信號來說，它們將被自動控制系統(tǒng)完全隔離（衰減掉），這也正是研究系統(tǒng)頻特性的優(yōu)越之處。2023/2/46一、頻率特性基本概念二、開環(huán)頻率特性的繪制三、頻率域穩(wěn)定判據(jù)四、控制系統(tǒng)頻域性能分析五、專題討論第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法本講主要內(nèi)容1、基本概念2、典型環(huán)節(jié)頻率特性一、頻率特性基本概念2023/2/471RC網(wǎng)絡(luò)RC濾波網(wǎng)絡(luò)，設(shè)電容C的初始電壓為，取輸入信號為正弦信號：1、頻率特性基本概念曲線如圖所示。當(dāng)響應(yīng)呈穩(wěn)態(tài)時，仍為正弦信號，頻率與輸入信號相同，幅值較輸入信號有一定衰減，相位存在一定延遲。2023/2/48RC網(wǎng)絡(luò)的輸入與輸出的關(guān)系為：式中，，為時間常數(shù)。取拉氏變換并代入初始條件得拉氏反變換得式中第一項，由于T＞0，將隨時間增大而趨于零，為輸出的瞬態(tài)分量；第二項正弦信號為輸出的穩(wěn)態(tài)分量。2023/2/49——幅值比比較——相位差——幅值——相角2023/2/410！??！結(jié)論非常重要，反映了A(ω)和φ(ω)與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)關(guān)系，具有普遍性。系統(tǒng)輸入為諧波信號（1）頻率特性定義設(shè)穩(wěn)定線性定常系統(tǒng)的傳函：因為系統(tǒng)穩(wěn)定，輸出響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量的拉氏變換為如何推導(dǎo)！2023/2/411求出系統(tǒng)穩(wěn)定！思路：①②③②得出5-11④2023/2/412⑤考慮⑥式5-11又可表示為⑦關(guān)于ω的偶次冪多項式關(guān)于ω的奇次冪多項式2023/2/413⑧代入2023/2/414諧波輸入下，輸出響應(yīng)中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比為幅頻特性，相位之差為相頻特性，并稱其指數(shù)表達(dá)形式

為系統(tǒng)的頻率特性。上式表明，由諧波輸入產(chǎn)生的輸出穩(wěn)態(tài)分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數(shù)，幅值和相位的變化是同頻率的函數(shù)，且與系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型相關(guān)。頻率特性定義2023/2/415②頻率特性表示了系統(tǒng)對不同頻率的正弦信號的“復(fù)現(xiàn)能力”或“跟蹤能力”。在頻率較低時，ωT≤1時，輸入信號基本上可以按原比例在輸出端復(fù)現(xiàn)出來，而在頻率較高時，輸入信號就被抑制而不能傳遞出去。對于實際中的系統(tǒng)，雖然形式不同，但一般都有這樣的“低通”濾波及相位滯后作用。③

頻率特性隨頻率而變化，是因為系統(tǒng)含有儲能元件。實際系統(tǒng)中往往存在彈簧、慣量或電容、電感這些儲能元件，它們在能量交換時，使不同頻率的信號具有不同的特性。（2）頻率特性的物理意義①頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換之比。書P1892023/2/416wjs=dtds=系統(tǒng)傳遞函數(shù)微分方程頻率特性dtdjw=線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

傳遞函數(shù)

微分方程頻率特性

時域復(fù)數(shù)域頻域（3）三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系2023/2/417②系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出量與輸入量具有相同的頻率當(dāng)輸入量頻率改變，則輸出、輸入量的幅值之比A（）和它們的相位移（）也隨之改變。所以A（）和（）都是的函數(shù)。這是由于系統(tǒng)中的儲能元件引起的。①與傳函一樣，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型它描述了系統(tǒng)的內(nèi)在特性，與外界因素?zé)o關(guān)。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)給定了，則系統(tǒng)的頻率特性也完全確定。（4）頻率特性的性質(zhì)2023/2/418③頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但表示的是系統(tǒng)動態(tài)特性頻率特性是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下求得的，對于不穩(wěn)定系統(tǒng)則無法觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。從理論上講，系統(tǒng)動態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量（從全解的形式中理解）總可以分離出來。系統(tǒng)微分方程的全解＝齊次通解+穩(wěn)態(tài)特解穩(wěn)態(tài)特解就是穩(wěn)態(tài)分量，即頻率特性定義中要用到的量。2023/2/419①根據(jù)定義求取對已知系統(tǒng)的微分方程，把正弦輸入函數(shù)代入，求出其穩(wěn)態(tài)解，取輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦量的復(fù)振幅比即可得到。②根據(jù)傳遞函數(shù)求取用s=j代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即可得到。③通過實驗的方法直接測得用實驗測得的頻率特性曲線求。（5）頻率特性的求取2023/2/420（6）頻率特性的幾何表示法——極坐標(biāo)形式——直角坐標(biāo)形式①幅相頻率特性曲線——又叫幅相曲線或極坐標(biāo)圖或Nyquist（奈奎斯特）圖，簡稱奈氏圖；③對數(shù)幅相曲線——又叫Nichocls(尼科爾斯)圖，簡稱尼氏圖，一般用于閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性分析的。②對數(shù)頻率特性曲線——又叫Bode（伯德）圖，簡稱伯氏圖；Re[G(jω)]Im[G(jω)]①幅相頻率特性曲線：以實部為橫軸，虛部為縱軸，頻率為參變量，表示頻率特性G(j)的幅值A(chǔ)()和相角()之間關(guān)系的曲線。例1

繪制RC網(wǎng)絡(luò)幅相頻率特性曲線逐點描繪比較麻煩g=tf([1],[11]);figure;

nyquist(g)%開環(huán)幅相曲線②對數(shù)頻率特性曲線：在半對數(shù)坐標(biāo)中，表示頻率特性的對數(shù)幅值20lgA(ω)與對數(shù)頻率lgω，相角()與對數(shù)頻率lgω之間關(guān)系的曲線圖稱為頻率特性的對數(shù)坐標(biāo)圖或Bode圖。

由對數(shù)幅頻特性圖和對數(shù)相頻特性圖組成；

縱坐標(biāo)線性分度，分別表示幅頻特性的G(jω)的對數(shù)20lgA(ω)和相角()，單位分別為dB和度(o)，橫坐標(biāo)對數(shù)分度lgω，表示頻率ω，單位為(rad/s)。線性分度線性分度對數(shù)分度，按1020900十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程:用dec表示繪制近似對數(shù)坐標(biāo)圖簡單；可以將頻率范圍很寬的系統(tǒng)的頻率特性繪制在一張不大的圖上進(jìn)行研究。橫坐標(biāo)采用對數(shù)分度的原因：2、典型環(huán)節(jié)的頻率特性式中：

從上式可以看出：傳遞函數(shù)是一些基本因子的乘積。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)所對應(yīng)的傳遞函數(shù)，是一些最簡單、最基本的一些形式。比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)①最小相位典型環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)②非最小相位典型環(huán)節(jié)除了比例環(huán)節(jié)外，非最小相位環(huán)節(jié)和與之相對應(yīng)的最小相位環(huán)節(jié)的區(qū)別在于開環(huán)零極點的位置。

（1）典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制①比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：頻率特性：Nyquist圖Bode圖L(ω)與ω軸平行，隨K變化上下移動φ(ω)與ω軸重合傳遞函數(shù)：頻率特性：Bode圖：②微分環(huán)節(jié)Nyquist圖③積分環(huán)節(jié)ImRe0傳遞函數(shù)：頻率特性：奈氏圖：Bode圖：例：傳遞函數(shù)：求頻率特性并分析取ω=0，1/T和ω=∞三個特殊點:傳遞函數(shù)：頻率特性：0w=121ReIm+￥=w0④

慣性環(huán)節(jié)奈氏圖漸近線

精確曲線

精確曲線

漸近線

10-1100101低頻時，即高頻時，即為轉(zhuǎn)角(轉(zhuǎn)折、交接)頻率Bode圖幾點說明：簡化對數(shù)幅頻曲線作圖，常用低頻和高頻漸近線近似表示對數(shù)幅頻曲線，稱之為對數(shù)幅頻漸近特性曲線。低頻段(小于轉(zhuǎn)折頻率)幅頻特性可認(rèn)為是0dB的一條直線，高頻段的幅頻特性可認(rèn)為是斜率為-20dB/dec的一條斜線。近似圖形有兩條直線構(gòu)成，又稱：折線近似圖，1/T為折線之間的轉(zhuǎn)折頻率；精確圖形以近似圖形為漸近線，最大誤差發(fā)生在ω=1/T處，L(1/T)=-3dB。T分別為0.1、1、10Bode圖-3dB-3dB-3dB傳遞函數(shù)：頻率特性：⑤振蕩環(huán)節(jié)分析：相頻特性從0單調(diào)減至-180，當(dāng)ω=ωn時，，表明振蕩環(huán)節(jié)與虛軸的交點為——諧振頻率——諧振峰值均為阻尼比的減函數(shù)幅頻特性極坐標(biāo)相位從0°到-180°變化，頻率特性與虛軸交點處的頻率是無阻尼自然振蕩頻率，ζ越小，對應(yīng)ω的幅值就越大。說明頻率特性與ω、ζ均有關(guān)。w=￥0w=nwnwnw2z3zImRe01···321zzz>>1zwww當(dāng)ω=0，1/T和ω=∞時，奈氏圖10-110010110-2

Bode圖10-110010110-210-110010110-210-110010110-210-110010110-210-110010110-2時，L(ω)是一條折線，沒有峰值10-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-18010-11001010-45-90-135-180阻尼比越大，阻尼越大，角度變化越緩低頻漸近線為一條0分貝的水平線；高頻時的對數(shù)幅頻特性曲線是一條斜率為-40dB/dec的直線。振蕩環(huán)節(jié)漸近特性曲線分析用折線近似二階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線以漸近線表示時引起的對數(shù)幅值誤差⑥一階微分環(huán)節(jié)和二階微分環(huán)節(jié)對照各個環(huán)節(jié)看一下有什么規(guī)律？微分二階微分一階微分慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)積分最小相位環(huán)節(jié)的相頻特性與幅頻特性之間有什么對應(yīng)關(guān)系？⑦非最小相位系統(tǒng)頻率特性非最小相位比例環(huán)節(jié)求頻率特性并分析傳遞函數(shù):頻率特性:非最小相位慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù):頻率特性:幅頻特性曲線與最小相位的慣性環(huán)節(jié)相同；相頻特性曲線與一階