金融博弈論第一章

--------“囚徒困境”兩個犯罪嫌疑人被捕并受到指控，但除非至少一個人招人犯罪，警方并無充足證據(jù)將其按罪判刑.警方把他們關(guān)入不同的牢室，并對他們說明不同行動帶來的后果.如果兩個人都不坦白，將均被判為輕度犯罪，入獄一個月；如果兩人都坦白招認，都將被判入獄6個月；最后，如果一人招認而另一人拒不坦白，招認的一方將馬上獲釋，而另一人將判入獄9個月.博弈論經(jīng)典例子第1章完全信息靜態(tài)博弈(StaticGamesofCompleteInformation)第1章完全信息靜態(tài)博弈一個博弈由三部分構(gòu)成:參與者

,參與者的戰(zhàn)略（空間），參與者的收益構(gòu)成.動)構(gòu)成的集合.參與者的收益是參與者在博弈中的參與者的戰(zhàn)略空間是參與者可選擇的戰(zhàn)略(行得益.參與者的“共同知識”.完全信息是指:所有參與者的收益函數(shù)是每個靜態(tài)博弈是指所有參與者同時選擇行動或戰(zhàn)略.同時:(彼此沒有信息交流).假設(shè)每個參與者選擇且僅選擇一次戰(zhàn)略（行動）.參與者是理性的.參與者是理性的是指參與者總是追求收益最大（參與者唯一的目標）.1.1·A

博弈的標準式表述

經(jīng)典例子；“囚徒困境”(prisoner,sdilemma)

囚徒1-6-60-9-90

-1-1

沉默招認

囚徒2沉默招認在此博弈中,每個囚徒有兩個可供選擇的戰(zhàn)略:

坦白,沉默.在一組特定的戰(zhàn)略被選定后，兩人的收益由上表中的數(shù)字給出，習慣上橫行代表的參與者1的收益

在兩個數(shù)字中放在前面，列代表的參與者2的收益放在后面.一般情況下，博弈的標準式包括：（1）博弈的參與者，（2）每一參與者的戰(zhàn)略集，（3）針對所有參與者可能選擇的戰(zhàn)略組合，每一個參與者獲得的收益.一般來講,我們只考慮n個參與者的博弈,其中參與者從1到n排序,設(shè)其中任一參與者的序號為i,令Si

代表參與者i

可以選擇的戰(zhàn)略集合(稱為i的戰(zhàn)略空間),其中任意一個特定的戰(zhàn)略用si表示

表示戰(zhàn)略si是戰(zhàn)略集Si中的要素）

(有時寫成令后形成的戰(zhàn)略組合.間，表示為定義在一個n

人博弈的標準表達式中,參與者的戰(zhàn)略空間為我們用

表示此博弈.表示每個參與者選定一個戰(zhàn)略所有戰(zhàn)略組合構(gòu)成戰(zhàn)略組合空表示第i個參與者選擇戰(zhàn)略si

時，i的收益函數(shù)，即收益函數(shù)為注意:

參與者同時選擇戰(zhàn)略(行動)并不意味著各方行動必須是同時的,只要每一個參與者在選擇行動時沒有信息交流即可.參與者永遠是理性的！博弈模型已經(jīng)構(gòu)建，我們的任務(wù)是如何預(yù)知博弈的結(jié)果(?),

換言之，如何尋找博弈的解.1·1·B重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略

定義在標準式的博弈中,令和代表參與者的兩個可行戰(zhàn)略,如果對其他參與者每一個可能的戰(zhàn)略組合,參與者i

或者相對與是嚴選擇的收益都小于其選擇的收益,則稱戰(zhàn)略相對于是嚴格劣戰(zhàn)略，格占優(yōu)戰(zhàn)略，即：(DS)每一組可能的戰(zhàn)略組合都成立.對其他參與者在其戰(zhàn)略空間中的理由：理性的參與者不可能選擇嚴格劣戰(zhàn)略，“囚徒困境”(prisoner,sdilemma)

囚徒1-6-60-9-90

-1-1

沉默招認

囚徒2沉默招認用重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略方法解決“囚徒困境”

不難驗證，在囚徒困境中，對每一個參與者，沉默和招認相比是嚴格劣戰(zhàn)略.因此每一個囚徒都會選擇招認.故“囚徒困境”博弈的重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略解是（招認，招認）.下面再看一個二人博弈的例子：參與人12，00，10，30，11，21，0左中右上下參與人2圖1.1.1參與人1有兩個可選戰(zhàn)略，參與人2有三個可選戰(zhàn)略S1=｛上,下}，S2=｛左,中，右}，如果2選擇左，上優(yōu)于下(1大于0)，但如果2選擇右，下就會優(yōu)于上(因為2>0).但對參與人2來講，右嚴格劣于中(2>1且1>0)，因此理性的參與者2不會選擇右的.那么如果參與人1知道參與人2是理性的，他就可以把右從參與人2的戰(zhàn)略空間中剔除掉，即如果參與人1知道參與人2是理性的，他就可以把圖1.1.1所示博弈視同為圖1·1·2所示的博弈:1，01，20，30，1

參與人2

左中參與人1上下圖1·1·2在圖1·1·2中,對于參與人1來講，下就成了上的嚴格劣戰(zhàn)略,于是如果參與人1是理性的,(并且參與人1知道參與人2是理性的，這樣才能把原博弈化為圖1.1.2所示的博弈)，參與人1就可以把下從參與人1的戰(zhàn)略空間中剔除，余下圖1·1·3所示博弈.但這時對參與人2,左又成為中的嚴格劣戰(zhàn)略，參與人2可以剔除左，得博弈的解為(上，中).1，01，2

參與人2左中參與人1

上圖1·1·3上面的過程可稱為“重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略”.戰(zhàn)略的原則之上，但它仍有兩個缺陷：注意此過程建立在理性參與者不會選擇嚴格劣第一每一步剔除都需要參與者間相互了解的意多步就需要假定“參與者是理性”是共同知識.的還要假定所有參與人都知道所有參與人是理性更進一步假設(shè)，如果我們要把這一過程應(yīng)用到任這意味著，我們不僅需要假定所有參與人是理性的如此等等，以至無窮.第二對博弈預(yù)測的結(jié)果經(jīng)常是不精確的.或者此方法根本不能使用.例如：6，63，53，55，30，44，05，34，00，4左中右上中下此博弈就不能用以上方法求解.由此引出納什均衡的概念.納什均衡概念是博弈理論的基石!它為博弈理論提供了分析框架.它的思想是:設(shè)想在博弈論預(yù)測的博弈結(jié)果中,給每個參與者選定各自的戰(zhàn)略,為使該預(yù)測是正確的，必須使參與者自愿選擇理論給它推導(dǎo)出的戰(zhàn)略.這樣每一個參與者要選擇的戰(zhàn)略必須是針對其他參與者選擇戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng),這種理論推測的結(jié)果可以叫做“戰(zhàn)略穩(wěn)定”或“自動實施”的,因為沒有參與者愿意獨自離棄他所選定的戰(zhàn)略,這一狀態(tài)稱做納什均衡（NashEquilibrium）.定義:在n個參與者的標準式博弈中,如果戰(zhàn)略組合滿足對每一個參與者i

,

是(至少不劣于)他針對其他(n-1)個參與者所選戰(zhàn)略的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略，則稱戰(zhàn)略組合是該博弈的一個納什均衡(純戰(zhàn)略).即：對所有中的都成立，(NE)亦即是以下最優(yōu)化問題

的解：關(guān)于納什均衡解求解方法的說明：納什均衡(純戰(zhàn)略)的定義提供好了求解納什均衡的思路：1.假如最優(yōu)化問題對每一個參與者i都有最大值點

則為其他參與者選定戰(zhàn)略的函數(shù)，即這樣就會得到n個等式或方程，2.解以上n個方程聯(lián)立的方程組，3.如果以上方程組有解，即得納什均衡解.反之，不是針對其他參與人戰(zhàn)略選不是博弈Si中存在另外一個戰(zhàn)略

使得如果戰(zhàn)略組合G的納什均衡，就意味著至少存在一個參與人

i，參與人

i的戰(zhàn)略選擇的最優(yōu)反應(yīng)戰(zhàn)略,即在擇如果博弈論提供的戰(zhàn)略組合解不是納什均衡的解，離理論的預(yù)測，則至少有一個參與者有動因偏使得博弈進行和理論預(yù)測不一致.和納什均衡推導(dǎo)密切相關(guān)的是協(xié)議的理念：如果參與者之間要商定一個協(xié)議決定博弈如何進行，那么一個有效的協(xié)議中的戰(zhàn)略組合必須是納

議.什均衡的略組合，否則至少有一個參與者不遵守協(xié)看下面幾個例子：例一“囚徒困境”

-1，-1

-9，0

0，-9

-6，-6囚徒2

沉默招認囚徒1沉默招認對于囚徒1來講，如果囚徒2選擇戰(zhàn)略“沉默”,那么，囚徒1選擇“沉默”的收益為-1,選擇“招認”

的收益為0,當然選擇“招認”.同理可得囚徒2的戰(zhàn)略選擇也是“招認”.因此，此博弈的納什均衡解為

(招認，招認).此時雙方的收益為(-6,-6),很明顯(-1,-1)

的收益好于(-6,-6).但納什均衡

的結(jié)果是達不到的，此所謂的“囚徒困境”.這也正是博弈論的有趣之處,均衡的結(jié)果告訴我們一個很重要的結(jié)論:“囚徒困境”納什

個體理性和集體理性的矛盾,每個個體都追求個體收益最優(yōu),其結(jié)果可能是都達不到最優(yōu),相反,集體利益可能也受到損害.注:亞當.斯密:每個個體追求最優(yōu),結(jié)果集體最優(yōu).

影響.納什認為亞當.斯密忽略了個體選擇時的相互

6

，63，53，55，30，44

，05，34

，00，4左中右上中下例2對于參與者1,如果參與者2選擇左,則參與者1選擇中(4＞3＞0),此時參與者1的收益為4,在4下面劃一橫線,同理可以求出參與者2選擇中、右時,1的選擇和收益.對于參與者2可用同樣的方法求解.格子內(nèi)數(shù)字都劃線的對應(yīng)的雙方的戰(zhàn)略組合(下，中)即為博弈的納什均衡解.1，2

0

,

0

0,02

,1

帕特歌劇拳擊克里斯歌劇拳擊例3—性別戰(zhàn)博弈易知此博弈有兩個納什均衡,(歌劇,歌劇);（拳擊,拳擊)結(jié)果到底是那一個呢?不得而知.此

為納什均衡解的多重性，是納什均衡的缺陷之一,也是博弈論的一大難題.此博弈無納什均衡（純戰(zhàn)略）.例4—猜硬幣博弈-1，1

1

，-11

，-1

-1，1參與人2正面反面參與人1正面反面例5博弈雙方1和2就如何分100元錢進行討價還價.假設(shè)確定了以下規(guī)則：雙方同時提出自己的要求的數(shù)額和如果,則博弈雙方的要求都能得到滿足,即分別得到和但如果則該筆錢就被沒收.求該博弈的納什為什么？均衡,若你是其中一個博弈方,你會選擇什么數(shù)額,解根據(jù)題意，參與者1,2要求的份額分別為因此，參與者1,2的戰(zhàn)略空間都為參與者1的收益函數(shù)為因此,參與者1的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)是由對稱性2的最優(yōu)反應(yīng)函數(shù)為雙方的反應(yīng)函

方程有無數(shù)解，所以該博數(shù)完全相同，弈有無數(shù)個純戰(zhàn)略納什均衡

其中解.為方程另外，當參與者1均衡解是時，參與者2的一個均衡解為1，但是，依照題意，當時，依照納什均衡解的定義，此時參與者也是納什均衡解.參與者2的收益所以，當參與者1均衡時，2戰(zhàn)略于是，以及解是該博弈的所有的所有解如果我是其中的一個參與者,我會選擇得到50.因為在該博弈的無窮個納什均衡中,(50,50)是比較

稱為“聚點”均衡.公平容易被雙方接受的.納什均衡解為滿足方程例6

考慮一個有

N個人參加的游戲:每個人可以放最多100元錢到一部可以生錢的機器里,機器把所有人放進去的錢的總和增加到原來的3倍，然后再平均分給這N

個人.求此博弈的納什均衡.解:容易得出當N=1,2時,此博弈有唯一的納什均衡.雙方都放進100元錢,即(100,100)為納什均衡.當N=3時的情況如何?參與者i的收益函數(shù)為其中m,n,p分別為三個參與者放進機器里的錢數(shù)，m為參與者i放進機器里的錢數(shù)，n,p分別為其他兩個參與者放進機器里的錢數(shù)，由可以看出,i的最優(yōu)選擇是:中的任意一個數(shù).同理可分析另外兩個參與者的選擇.當N=4時情況如何?

因此博弈有無數(shù)個納什均衡.參與者的收益函數(shù)為:其中m,n,p,Q分別為四個參與者放進機器里的錢數(shù)，m為參與者i放進機器里的錢數(shù)，n,p,Q分別其他三個參與者放進機器里的錢數(shù).由于所以參與者i的最優(yōu)選擇是:所以任何一個參與者都不放錢到機器里.此時博弈m=0.有唯一的納什均衡:例7

“智豬博弈”豬圈里有兩頭豬.一頭大豬，一頭小豬，豬圈一頭有一個豬食槽，另一頭安裝一個按鈕控制著豬食的供應(yīng).按一下按鈕會有10個單位的豬食進槽，但誰按按鈕誰需要付出2個單位的的成本.若大豬先到，大豬吃到9個單位，小豬只能吃到1個單位；若同時到，大豬吃7個單位,小豬吃3個單位；若小豬先到，大豬吃6個單位，小豬吃4個單位.求此博弈的納什均衡.解5，14，49，-10，0小豬按等待大豬按等待此博弈的收益矩陣：容易求出此博弈的納什均衡為:（按，等待）.此納什均衡顯然是不合理的.例如：股份公司中，股東承擔著監(jiān)督經(jīng)理的職能，但股東中有大股東和小股東之分，他們從現(xiàn)實中類似的現(xiàn)象.監(jiān)督中得到的收益并不一樣，因監(jiān)督經(jīng)理是要有成本的.在監(jiān)督成本相同的情況下，大股東從監(jiān)督中得到的收益顯然小于小股東.大股東類似于“大豬”，小股東類似于“小豬”.納什均衡是，大股東擔當起監(jiān)督經(jīng)理的責任，小股東則搭大股東的便車.股票市場上炒股票的大戶和小戶的關(guān)系，市場上大企業(yè)和小企業(yè)的關(guān)系也是如此.命題1

在n個參與者的標準式博弈中,如果重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略剔除掉除外的所有戰(zhàn)略，那么這一戰(zhàn)略組合為該博弈的唯一納什均衡.兩個重要的命題：命題2

在n個參與者的標準式博弈中，如果戰(zhàn)略組合那么它一定不會被重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略所剔除.是一個納什均衡，證明：首證命題2假設(shè)戰(zhàn)略組合(反證法).是標準式博弈的一個納什均衡,且假設(shè)被剔除掉了，該戰(zhàn)略組合中一定有由重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略過程，一個戰(zhàn)略首先被剔除，不妨假設(shè)第i個戰(zhàn)略首先被剔除，則在第i個參與者的戰(zhàn)略空間中一定存在另一個尚未被剔除的戰(zhàn)略嚴格優(yōu)于.代如(DS)公式，得到（1·1·1）對每一個其他參與者尚未被剔除的戰(zhàn)略空間中可能形成的戰(zhàn)略組合都成立.是納什均衡戰(zhàn)略由于中第一個被剔除的戰(zhàn)略，以上納什均衡戰(zhàn)略組合中其它參與人的戰(zhàn)略尚未被剔除，于是上面不等式的特例，下式成立.但是（1·1·2）和公式（NE）顯然是矛盾的.（1·1·2）根據(jù)(NE),

必須是針對的最優(yōu)反應(yīng),這一矛盾證明了原命題成立.那么就不可能存在一個戰(zhàn)略嚴格優(yōu)于下證命題1,在證命題2的過程中,實際上已證明了1的一部分.所需證明的只是如果重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略剔除了除之外的所有戰(zhàn)略，該戰(zhàn)略組合是納什均衡.由命題2任何其它納什均衡必定同樣未被剔除，這已證明了在該博弈中均衡的唯一性.下面只需證明余下的戰(zhàn)略組合是納什均衡即可.為簡單假設(shè)博弈G是有限博弈.用反證法假設(shè)通過重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略剔除掉除外的所有戰(zhàn)略，該戰(zhàn)略不是納什均衡，那么一定有某一參與者i,在他的戰(zhàn)略集中存在使公式（NE）不成立，但同時又必須是在剔除過程中某一階段的嚴格劣戰(zhàn)略.上述兩點的正規(guī)表述為：中存在使得（1·1·3）并且在參與者i的戰(zhàn)略集中存在,在剔除過程中的某一階段有（1·1·4）對所有其他參與者在該階段剩余戰(zhàn)略可能的戰(zhàn)略組合由于其他參與都成立.始終未被剔除，于是下式作為(1·1·4)的一個特例成立:（1.1.5）如果(即是的嚴格占優(yōu)戰(zhàn)略),則(1·1·5)和(1·1·3)相互矛盾，此時證明結(jié)束.如果由于在最終被剔除掉了，則者的戰(zhàn)略一定有其他戰(zhàn)略在其后嚴格優(yōu)于

.等式（1·1·4）和(1·1·5)中，分別用這樣在不和后不等式仍然成立.換下和明結(jié)束，再一次，如果則證否則還可構(gòu)建兩個相似的不等式.是Si中唯一未被剔除的戰(zhàn)略，由于重復(fù)這一論證過程（在一個有限的博弈中）最終一定能完成證明.奧古斯汀?古諾(Augustin

Cournot)是19世紀著名的法國經(jīng)濟學.法國經(jīng)濟學強調(diào)以數(shù)理方法對經(jīng)濟事實進行抽象，這與傳統(tǒng)的英國學派重視經(jīng)驗事實,主張從事實中進行歸納的經(jīng)驗論風格迥然不同的.古諾可以說是法果經(jīng)濟學派的開山鼻祖.他在1838年發(fā)表的《對財富理論的數(shù)學原理的研究》(ResearchesintotheMatheMaticalPrinciplesoftheTheoryofwealth),給出了兩個企業(yè)的博弈均衡的經(jīng)典式證明，直到今天仍具生命力.（平新橋《微觀經(jīng)濟學18講》167頁）古諾均衡1·2

應(yīng)用舉例古諾(1838)提出了納什所定義的均衡(但只是在特定的雙頭壟斷模型中)，但是他并沒有從理論上系統(tǒng)的定義均衡的意義.古諾的研究被為是最早的博弈論的經(jīng)典文獻之一.此模型告訴我們；（1）如何對一個問題的非正式描述轉(zhuǎn)化為一個博弈的標準式表述；（2）如何通過計算解出博弈的納什均衡；（3）重復(fù)剔除嚴格劣戰(zhàn)略的步驟.古諾的雙頭壟斷模型.令和分別表示企業(yè)1,2生產(chǎn)的同質(zhì)的產(chǎn)品的產(chǎn)量，市場中該產(chǎn)品的總供給為令表示市場的出清時的價格.更為精確一點的表述為當時,當時，為,

產(chǎn)每單位品的邊際成本為常數(shù)c，這里假設(shè)設(shè)企業(yè)i生產(chǎn)qi

的總成本即企業(yè)不存在固定成本，且生產(chǎn)根據(jù)古諾的假定，兩個企業(yè)同時進行產(chǎn)量決策.下面將此問題化為標準式博弈：三個要素

（1）參與人（企業(yè)1和企業(yè)2）；（2）參與人可以選擇的戰(zhàn)略（3）針對每一個可能出現(xiàn)的參與人的戰(zhàn)略組合，每一個參與人的收益.企業(yè)的收益是自己所選戰(zhàn)略與其它企業(yè)所選戰(zhàn)略的函數(shù),假定企業(yè)的收益就是其利潤為一對戰(zhàn)略如是納什均衡,則對每個參與者，應(yīng)滿足:（NE）上式對中每一個可選戰(zhàn)略都成立，這一條件等價于:對每個參與者,

必須是下面最優(yōu)化問題的解最優(yōu)化問題的一階條件是對收益函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，并令其等于零，其解為（1·2·1）那么,如果產(chǎn)量組合要成為納什均衡，企業(yè)產(chǎn)量選擇必須滿足：解這一對方程組得均衡解小于

,滿足上面的假設(shè).且兩個企業(yè)的利潤為另外，每家企業(yè)當然都希望成為市場的壟斷者.于

是雙方有可能結(jié)成聯(lián)盟！事實上，該博弈的納什均衡未必立刻形成！那么，雙方的聯(lián)盟(雙頭壟斷)能否結(jié)成呢？設(shè)想兩者達成共同利潤最大化和平分市場的協(xié)議.容易求出利潤最大化時的產(chǎn)量為：設(shè)Q為兩者的產(chǎn)量和.總利潤為此時兩個企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量都為：此時兩個企業(yè)的利潤都為：已經(jīng)求出古諾模型時利潤為顯然，壟斷狀態(tài)時的產(chǎn)量低于古諾模型時的產(chǎn)量，而利潤高于古諾模型時的利潤.但這種安排存在一個問題，有動機偏離它,就是每家企業(yè)都因為壟斷產(chǎn)量較低,相應(yīng)的產(chǎn)品的市場出清價格就比較高.在這一價格下,的增加會降低市場出清價格.每家企業(yè)都會傾向于提高產(chǎn)量，而不顧這種產(chǎn)量也就是說，這種結(jié)盟不能形成！前提是：雙方都按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品.因為雙方聯(lián)盟(雙頭壟斷)能結(jié)成的雙方是否都會按照壟斷產(chǎn)量生產(chǎn)產(chǎn)品呢？或者說雙方是否都會遵守協(xié)議呢？下面分析兩者是否會遵守協(xié)議決策,兩者有兩種戰(zhàn)略選擇：遵守協(xié)議和不遵守協(xié)議.此時，雙方又要進行博弈.若企業(yè)1遵守協(xié)議,選擇產(chǎn)量2不遵守協(xié)議.而企業(yè)根據(jù)利潤最大化的一階條件：企業(yè)2的產(chǎn)量選擇為則企業(yè)1和企業(yè)2的利潤分別為和;同理可得企業(yè)2遵守協(xié)議而企業(yè)1不遵守協(xié)議時的利潤于是可建立下列博弈模型：博弈模型：遵守不遵守遵守不遵守容易求出此博弈的納什均衡為：(不遵守,不遵守).協(xié)議無效.下面介紹推廣的古諾模型.將古諾模型推廣到n個企業(yè)的情形.存在n個企業(yè)條件下的古諾均衡.如果一個行業(yè)中存在n個相同的企業(yè)，并且第(n+1)個企業(yè)會被行業(yè)有效地排斥在外，每一個現(xiàn)存企業(yè)的成本函數(shù)相同，即成本為(1)設(shè)市場需求（函數(shù)）為(2)當然（否則會有問題，后面可以看到）由(1)與(2)兩式易知企業(yè)j的利潤為所謂古諾均衡,便是存在一個產(chǎn)量使得每個企業(yè)的利潤都達到最優(yōu).（3）必須使(3)式最即當所有別的企業(yè)的產(chǎn)量時，于是有(4)即(5)大化.于是令將這n個式子相加得行業(yè)的總產(chǎn)量為注意到(5)式在均衡時每個企業(yè)的產(chǎn)量相等，于是在均衡時每個企業(yè)的產(chǎn)量為價格為每個企業(yè)的利潤為注意:古諾均衡時價格和邊際成本的差為：每個企業(yè)的利潤為零.也就是說，當企業(yè)個數(shù)很大時,所以說明當企業(yè)個數(shù)無窮多時，即價格會接近邊際

成本，也即，當企業(yè)個數(shù)無窮多時,市場結(jié)構(gòu)會趨于完全競爭.1·2B

貝特蘭德的雙頭壟斷模型貝特蘭德(1883)提出企業(yè)在競爭時選擇的是產(chǎn)品價格，而古諾模型中選擇產(chǎn)量.貝特蘭德的雙頭壟斷模型和古諾的雙頭壟斷是兩個不同的模型.體現(xiàn)在：參與者的戰(zhàn)略空間不同，收益函數(shù)不同，并且兩個模型中企業(yè)的行為不同.考慮兩種同類但不同質(zhì)的產(chǎn)品（古諾模型中兩個企業(yè)的產(chǎn)品完全相同）.如果企業(yè)1和企業(yè)2分別選擇價格p1和p2,消費者對企業(yè)i的產(chǎn)品的需求為其中即只限于求函數(shù)在現(xiàn)實中并不存在，因為只要企業(yè)j的產(chǎn)品企業(yè)i的產(chǎn)品為企業(yè)j產(chǎn)品的替代品的情況(這個需品的需求都是正的).下面將會看到只有在價格足夠高，無論企業(yè)i要多高的價格，對其產(chǎn)時問題才有意義).假定企業(yè)生產(chǎn)沒有固定成本，

行動（選擇各自的價格）.并且邊際成本為常數(shù)c，兩個企業(yè)是同時每個企業(yè)的戰(zhàn)略空間其中企業(yè)i的一個典型戰(zhàn)略si是所選擇的價格pi.每個企業(yè)的收益函數(shù)等于其利潤額，當企業(yè)

i選擇價格pi