測量學第六章誤差知識

第六章測量誤差的基本知識測量誤差概述偶然誤差特性衡量精度的標準誤差傳播定律等精度直接觀測值的最可靠值不同精度直接觀測平差§6.1測量誤差概述

一、測量與觀測值

2.測量誤差定義測量中的被觀測量，客觀上都存在著一個真實值，簡稱真值。對該量進行觀測得到觀測值。觀測值與真值之差，稱為真誤差。

二、測量誤差及其來源1、現象：D往D返h0A+B+C180△=l-X真誤差＝觀測值－真值

3.誤差來源儀器設備不盡完善觀測者感官鑒別能力的局限性自然環(huán)境的影響觀測條件觀測條件好-----測量誤差小-----觀測成果質量高觀測條件差-----測量誤差大-----觀測成果質量低觀測成果質量的高低客觀地反應了觀測條件的優(yōu)劣誤差不可避免-----任何觀測中都含有誤差-----最基本最普遍的事實。因此，我們必須學習誤差理論的基本知識。三、目的：了解誤差產生的原因及規(guī)律；正確處理觀測數據，評定觀測質量；指導測量實踐,使測量結果達到預期的要求。四.名詞解釋1、真值：任何一個物理量，客觀上總存在一個能代表其真正大小的數值，這一數值稱為該量的真值。一般用X表示。真值一般是未知的，可知二種理論真值約定真值2、觀測值：對某量進行測量而得到的數值，用Li表示。

i=1.2.3………..n。3、測量誤差（真誤差）：觀測值與真值之差，用i表示。

i=Li-X4、未知量X的最優(yōu)估值：5、觀測值的改正數：6、等精度觀測：觀測條件相同的各次觀測。7、非等精度觀測：觀測條件不相同的各次觀測。8、高斯和符合：[]=如[]=1+2……+n

[]=

12+22……+n2

(1).過失誤差(疏失誤差、粗差、錯誤)

定義：性質：粗差一般大-----對測量結果危害大--------盡量避免措施：檢核多余觀測統(tǒng)計檢驗方法----粗差理論五.測量誤差的分類五.測量誤差的分類(2).系統(tǒng)誤差定義：在相同的觀測條件下，對某量進行一系列觀測，如果誤差出現的符號和大小均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。例：鋼尺的尺長誤差；水準儀的i角誤差等。性質：具累積性-------對成果影響大-----必須設法消減其影響措施：1、計算改正數，對結果進行改正；2、用一定的觀測方法加以消除或削弱；3、檢校儀器以限制誤差的大小。(3).偶然誤差：定義：在相同的觀測條件下，對某量進行一系列觀測，若誤差出現的符號和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。例：照準誤差；讀數誤差；對中誤差等。性質：偶然誤差又稱隨機誤差，即偶然誤差是一個隨機變量。五.測量誤差的分類§6.2偶然誤差特性一、偶然誤差的四個特性舉例：abc△i=ai+bi+ci-180°（i=1,2,········358）結論在一定的條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度；2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現的機會多；3.絕對值相等的正負誤差出現的機會相等；4.偶然誤差的算術平均值趨近于零，即二、誤差概率分布曲線－△+△knd△(頻率/組距)00.20.40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k/n(頻率)直方圖三、分析標準差σ1.σ與觀測誤差△及偶然誤差概率密度f(△)的關系y=f(△)－△+△y2.σ

與誤差分布曲線拐點的關系－△y=f(△)y-+3.標準差σ

的概率值P（－σ＜△＜＋σ

）+△－△y=f(△)y-+§6-3衡量（評定）精度的標準一.精度的含義一定的觀測條件確定的誤差分布條件好，誤差分布密集，即離散度小，誤差曲線比較陡峭，頂峰較高-----質量好---精度高，反之，則相反問題1：個別誤差的大小能否反映精度的高低？右圖為不同的兩組觀測對應著的兩條不同的誤差分布曲線。若1<2，則第一組觀測，誤差分布密集，圖形陡峭，精度較高；第二組觀測，誤差分布離散，圖形平緩，精度較低。ⅠⅡ0精度的含義：誤差分布的密集與離散程度。即離散度凡能反映誤差分布離散度大小的量，都可作為衡量精度的指標。二.衡量精度的指標1.方差和中誤差由數理統(tǒng)計知，表示隨機變量分布離散性的數字特征是方差測量上習慣用中誤差表示現實中，n總是有限的，故只能求得中誤差的估計值一）、用絕對誤差來衡量精度中誤差（用m表示）就是標準差σ標準差σ的計算公式中誤差的估算值的計算公式一般真誤差i不可求，我們只能根據子樣觀測值l1、l2…ln來估計母體方差，在數理統(tǒng)計中采用樣本方差作為母體方差的估計量即令則------白塞爾公式2.平均誤差3.極限誤差（容許誤差）

容許=3｜m｜~2｜m｜

容許

的概率含義二、用相對誤差來衡量精度§6.4誤差傳播定律一、倍乘二、和或差三、一般函數3.相對誤差問題2：中誤差能否準確地衡量所有觀測成果的精度？例：量距s1=200m,m1=0.2m;s2=2000m,m2=0.2m,問：丈量精度是否相同？看其單位長度上的中誤差k2<k1,第二段距離精度高于第一段距離精度相對誤差：誤差的絕對值與觀測結果的比值，化為分子為1的分數形式表達。例：相對中誤差同理，還有相對真誤差、相對容許誤差等。相對誤差是無量綱的，而中誤差、容許誤差是有量綱的，稱絕對誤差。問題3：角度觀測是否能用相對誤差表示？回顧觀測伴隨誤差系統(tǒng)誤差同時產生偶然誤差系統(tǒng)誤差累積作用設法消除、減少檢校措施加改正數次要地位觀測方法偶然誤差不可避免，不能消除，符合統(tǒng)計規(guī)律大量多余觀測產生不符值測量平差求未知量估值求精度估值

偶然誤差的特性1、2、3、4、密度函數：精度含義：誤差分布的離散度精度指標：中誤差容許誤差相對誤差?(誤差分布曲線D§6-4誤差傳播定律及其應用一、問題的提出由精度的含義及衡量精度的指標可以根據一組獨立的等精度的直接觀測值，求觀測值中誤差。X、Li------iLi-X

或由子樣觀測值Li

------------實際中，有些量無法直接觀測，而是通過測量某個或某幾個量，由一定的函數關系間接推算出來的。------§6-4誤差傳播定律及其應用由于觀測值有誤差函數必然存在誤差如何根據觀測值中誤差求函數中誤差？二、誤差傳播定律：1、定義：闡述觀測值與其函數值之間的誤差關系。

2、通式：設有觀測值的函數y=f(x1,x2…,xn)(1)式中，x1,x2…,xn是相互獨立的觀測值例即用誤差代替微分，則

y=k11+k22+…+knn(2)式中：是函數對各自變量的偏導數，代入xi求得，令設1，2…，n是相應的觀測誤差，

m1,m2…mn是相應的中誤差。對(1)式求全微分特例：①.若則

②.若則兩邊取方差,得D(y)=k12D(1)+k22D(2)+…+kn2D(N)取估值,即得:my2=k12m12+k22m22+…+kn2mn2(3)3.例題1).一個邊長為的正方形，若測量一邊有ml=1cm,求周長的中誤差？若四邊都測量，且測量精度相同，均為ml,則周長的中誤差又為多少？2).在o點觀測了三個方向，得方向值l1,l2,l3,設各方向的中誤差均為m,求m,m,m.3).如圖，三角形ABC中，測得A±m(xù)A、B±m(xù)B，BC邊長為a±m(xù)a,試計算邊長c及其中誤差mc。BCAabc4、計算步驟正確列出觀測值的函數式求全微分，用真誤差代微分，列出真誤差關系式檢查誤差是否獨立寫出中誤差關系式代入數值計算函數值中誤差。5、注意事項：系數xi是用觀測值代入而算得的常數用數值計算時，應注意各項單位的統(tǒng)一誤差獨立復雜函數，可先取對數，再求微分，較方便。三.誤差分析的應用1.水準測量的誤差分析(1)．一個測站的高差中誤差

h=a-bm站=m讀

代入考慮其它因素，取m站=3mm（2）．水準路線高差的中誤差設每站的高差中誤差均為m站，

取3倍中誤差為限差以每公里10站計，則路線長L公里取3倍中誤差為限差，規(guī)范取規(guī)范取2.水平角觀測的誤差分析(2)．半測回角值差的限差DJ6經緯儀一方向一測回中誤差為6用表示方向，m=6,則半測回一方向中誤差（1）

．半測回歸零差的限差

歸零=A-A容=2m=24（3）．測回差的限差

允=2m測=24（4）

．n個角代數和的中誤差及其限差取測角中誤差m=10f容=半=L-Rf半=2

m半=34規(guī)范取f半=40半=b-a測=1-2§6-5等精度觀測的未知量估值及精度估值一.X未知時,求未知量估值、精度估值設對某未知量進行了一組等精度觀測，其真值為Xn次獨立觀測l1l2l3……ln

真誤差123……ni=li-X[]=[l]-nX即：無窮多次觀測的算術平均值趨向于未知量的真值。N有限時，取其算術平均值作為未知量的估值，稱未知量的最或然值。即精度估值：由于X未知，故真誤差亦未知。實際應用中，多利用觀測值的改正數來計算中誤差。

所以算術平均值中誤差：例：觀測值VVV

4532247.251.844532301.21.44453248-16.8282.2445321813.2174.24453236-4.823.040532.80求：xmmx

x=[L]/n=[L0+x]/n=L0+[x]/n=453230+(-6+0+18-12+6)/5=453230+1.2=453231.2m=[vv]/(n-1)=11.54mx=m/=5.16二.X已知求精度估值及其應用則三角形閉合差：

wi=I-180(i=1,2,…n)應用1：由三角形閉合差計算測角中誤差設等精度觀測了n個三角形，內角和為i，(i=1,2,…n)，

又因為＝l1+l2+l3，若觀測值的中誤差為m則又應用2.用雙觀測列計算觀測值中誤差設對n個觀測量Xi(i=1,2,…n),各進行了兩次等精度觀測，得兩組觀測值li’

，li,其差值為

di

=di

-0=i則差值的中誤差：因為di=li-li

設觀測值的中誤差為m，則又因為Li=(li

-li)/2則平均值的中誤差為：例題：在水準點1～6點之間往返各測高差一次，各水準點之間的間距為1km，各雙觀測值如下表所列，求每公里測量一次的中誤差和全長高差平均值的中誤差。水準路線 高差雙觀測值往測l返測ld=l-l

dd

(mm) 1～2 -0.155 -0.158 +3 9 2～3 +1.626 +1.629 -3 9 3～4 +1.435 +1.430 +5 25 4～5 +0.505 +0.509 -4 16 5～6 -0.007 -0.005 -2 4 全長高差平均值的中誤差解：n＝5[dd]=63每公里測量一次的中誤差全長5km測量一次高差的中誤差最小二乘原理多余觀測的目的：發(fā)現錯誤，提高成果精度。多余觀測數r=n-t式中n為實際觀測數，t為必要觀測數。多余觀測的結果：觀測值之間產生矛盾。例：對一個三角形三內角進行觀測

r=3-2=1產生三角形閉合差=a+b+c-180

如何消除矛盾，求得未知量的最優(yōu)估計值？最小二乘原理設對n個量x1、x2、…xn分別進行精度為1、2、…n的觀測，得觀測值L1、L2、…Ln，觀測值子樣來自不同的母體Li～N（Xi,i2）i=1、2…n,如何求Xi的最優(yōu)估值？按最大似然法討論Li的概率密度則L1、L2、…Ln聯(lián)合出現的概率密度為令L=max，即令代入即：[pvv]=min或：等精度觀測時，1=2=…=n=取=，.此時[vv]=min在測量平差中，觀測值的改正數滿足[pvv]=min的平差原則，稱最小二乘原理。6-6不等精度觀測的未知量估值及精度估值例：在相同的觀測條件下，對某量進行了如下兩組觀測：

組別觀測值觀測值算術平均值平均值權中誤差中誤差

AL1mLA=(L1+L2)/2mA=m/L2mL’1mBL’2mLB=(L’1+L’2

mB=m/L’3m+L’3+L’4)/4L’4m

一、權與中誤差的關系1、權的意義：砝碼、秤跎權衡輕重，比較各觀測值的精度。2、定義：pi=μ2/mi2由定義知：μ一定時，pi與mi成反比。m大，p小，精度低權也是衡量精度高低的標準m小，p大，精度高

pimi2=μ2=C常數pi=1，μ=mi

意義：權為1的觀測值中誤差，稱單位權中誤差p恒為正，pi>0單一觀測值，P無意義。分析例1：取μ=1，PA=2/m2,