高中數學北師大版2第一章推理與證明 第1章3反證法

§3反證法1.了解間接證明的一種基本方法——反證法.2.理解反證法的概念及思考過程和特點.(難點)3.掌握反證法證題的基本步驟，會用反證法證明相關的數學問題.(重點、難點)[基礎·初探]教材整理反證法閱讀教材P13～P14“例3”以上內容，完成下列問題.1.反證法的定義在證明數學命題時，先假定命題結論的反面成立，在這個前提下，若推出的結果與定義、公理、定理相矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結論的反面不可能成立，由此斷定命題的結論成立.這種證明方法叫作反證法.2.反證法證明的思維過程反證法的證明過程可以概括為“否定——推理——否定”，即從否定結論開始，經過正確的推理，導出邏輯矛盾，從而達到新的否定(即肯定原命題)的過程.用反證法證明命題“若p則q”的過程可以用以下框圖表示：eq\x(\a\al(肯定條件p，,否定結論q))→eq\x(\a\al(導致邏,輯矛盾))→eq\x(\a\al(“p且﹁q”,為假))→eq\x(\a\al(“若p則q”,為真))判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)反證法屬于間接證明問題的方法.()(2)反證法的證明過程既可以是合情推理，也可以是一種演繹推理.()(3)反證法推出的矛盾不能與已知相矛盾.()【解析】(1)正確.反證法其實是證明其逆否命題成立，所以它屬于間接問題的方法.(2)錯誤.反證法從證明過程看是一種嚴謹的演繹推理.(3)錯誤.反證法推出的矛盾可以與已知相矛盾.【答案】(1)√(2)×(3)×[質疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]用反證法證明否定性命題等差數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1＋eq\r(2)，S3＝9＋3eq\r(2).(1)求數列{an}的通項an與前n項和Sn；(2)設bn＝eq\f(Sn,n)(n∈N＋)，求證：數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.【精彩點撥】第(1)問應用an＝a1＋(n－1)d和Sn＝na1＋eq\f(1,2)n(n－1)d兩式求解.第(2)問先假設存在三項bp，bq，br成等比數列，再用反證法證明.【自主解答】(1)設等差數列{an}的公差為d，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝\r(2)＋1，,3a1＋3d＝9＋3\r(2)，))∴d＝2，故an＝2n－1＋eq\r(2)，Sn＝n(n＋eq\r(2)).(2)證明：由(1)得bn＝eq\f(Sn,n)＝n＋eq\r(2).假設數列{bn}中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則beq\o\al(2,q)＝bpbr，即(q＋eq\r(2))2＝(p＋eq\r(2))(r＋eq\r(2))，∴(q2－pr)＋(2q－p－r)eq\r(2)＝0.∵p，q，r∈N＋，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(q2－pr＝0，,2q－p－r＝0，))∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p＋r,2)))eq\s\up8(2)＝pr，(p－r)2＝0，∴p＝r，這與p≠r矛盾.所以數列{bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數列.1.當結論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題，此類問題的反面比較具體，適合應用反證法.例如證明異面直線，可以假設共面，再把假設作為已知條件推導出矛盾.2.反證法必須從否定結論進行推理，即應把結論的反面作為條件，且必須根據這一條件進行推證，否則，僅否定結論，不從結論的反面出發(fā)進行推理，就不是反證法.3.常見否定詞語的否定形式如下表所示：否定詞語否定詞語的否定形式沒有有不大于大于不等于等于不存在存在[再練一題]1.已知方程f(x)＝ax＋eq\f(x－2,x＋1)(a>1)，證明：方程f(x)＝0沒有負數根.【證明】假設x0是方程f(x)＝0的負數根，則x0<0，x0≠－1且ax0＋eq\f(x0－2,x0＋1)＝0，所以ax0＝－eq\f(x0－2,x0＋1).又當x0<0時，0<ax0<1，故0<－eq\f(x0－2,x0＋1)<1，即0<－1＋eq\f(3,x0＋1)<1，1<eq\f(3,x0＋1)<2，解得eq\f(1,2)<x0<2.這與x0<0矛盾，所以假設不成立，故方程f(x)＝0沒有負數根.用反證法證明“至多”“至少”問題已知x，y，z均大于零，求證：x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)這三個數中至少有一個不小于4.【精彩點撥】本題中含有“至少”，不宜直接證明，故可采用反證法證明.【自主解答】假設x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)都小于4，即x＋eq\f(4,y)<4，y＋eq\f(4,z)<4，z＋eq\f(4,x)<4，于是得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))<12，而eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,x)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,z)))≥2eq\r(x·\f(4,x))＋2eq\r(y·\f(4,y))＋2eq\r(z·\f(4,z))＝12，這與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(4,y)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(4,z)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(4,x)))<12矛盾，因此假設錯誤，即x＋eq\f(4,y)，y＋eq\f(4,z)，z＋eq\f(4,x)中至少有一個不小于4.1.用反證法證明“至少”“至多”型命題，可減少討論情況，目標明確.否定結論時需弄清楚結論的否定是什么，避免出現(xiàn)錯誤.2.用反證法證明“至多”“至少”問題時常見的“結論詞”與“反設詞”如下：結論詞反設詞結論詞反設詞至少有一個一個也沒有對所有x成立存在某個x0不成立至多有一個至少有兩個對任意x不成立存在某個x0成立至少有n個至多有n－1個p或q﹁p且﹁q至多有n個至少有n＋1個p且q﹁p或﹁q[再練一題]2.若x>0，y>0，且x＋y>2，求證：eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.【導學號：94210018】【證明】假設eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)都不小于2，即eq\f(1＋y,x)≥2，eq\f(1＋x,y)≥2.∵x>0，y>0，∴1＋y≥2x，1＋x≥2y，兩式相加得2＋(x＋y)≥2(x＋y)，∴x＋y≤2，這與已知中x＋y>2矛盾，∴假設不成立，原命題成立.故eq\f(1＋y,x)與eq\f(1＋x,y)至少有一個小于2.[探究共研型]用反證法證明“唯一性”命題探究1用反證法證明數學命題的步驟是什么？【提示】(1)反設：假設命題的結論不成立，即假定原結論的反面為真.(2)歸謬：從反設和已知條件出發(fā)，經過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾的結果.(3)存真：由矛盾的結果斷定反設不真，從而肯定原結論成立.探究2如何證明兩條相交直線有且只有一個交點？【提示】假設兩條直線a，b不只有一個交點，則至少有兩個交點A和B，這樣同時經過點A，B的直線就有兩條，這與“經過兩點有且只有一條直線”相矛盾.所以兩條相交直線有且只有一個交點.已知一點A和平面α.求證：經過點A只能有一條直線和平面α垂直.【精彩點撥】【自主解答】根據點A和平面α的位置關系，分兩種情況證明.(1)如圖(1)，點A在平面α內，假設經過點A至少有平面α的兩條垂線AB，AC，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于經過點A的一條直線a.因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，aα，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β內經過點A有兩條直線都和直線a垂直，這與平面幾何中經過直線上一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.(1)(2)如圖(2)，點A在平面α外，假設經過點A至少有平面α的兩條垂線AB和AC(B，C為垂足)，那么AB，AC是兩條相交直線，它們確定一個平面β，平面β和平面α相交于直線BC，因為AB⊥平面α，AC⊥平面α，BCα，所以AB⊥BC，AC⊥BC.(2)在平面β內經過點A有兩條直線都和BC垂直，這與平面幾何中經過直線外一點只能有已知直線的一條垂線相矛盾.綜上，經過一點A只能有一條直線和平面α垂直.證明“有且只有一個”的問題，需要證明兩個命題，即存在性和唯一性.當證明結論以“有且只有”“只有一個”“唯一存在”等形式出現(xiàn)的命題時，由于反設結論易于導出矛盾，所以用反證法證其唯一性就較簡單明了.[再練一題]3.若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上單調遞增，求證：f(x)在(a，b)內有且只有一個零點.【證明】由于f(x)在[a，b]上的圖像連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)內至少存在一個零點，設零點為m，則f(m)＝0，假設f(x)在(a，b)內還存在另一個零點n，即f(n)＝0，則n≠m.若n>m，則f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，則f(n)<f(m)，即0<0，矛盾.因此假設不正確，即f(x)在(a，b)內有且只有一個零點.[構建·體系]1.應用反證法推出矛盾的推理過程中可作為條件使用的是()①結論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結論.A.①② B.②③C.①②③ D.①②④【解析】根據反證法的基本思想，應用反證法推出矛盾的推導過程中可把“結論的否定”“已知條件”“公理、定理、定義等”作為條件使用.【答案】C2.實數a，b，c不全為0等價于()，b，c均不為0，b，c中至多有一個為0，b，c中至少有一個為0，b，c中至少有一個不為0【解析】不全為0即至少有一個不為0，故選D.【答案】D3.命題“△ABC中，若A>B，則a>b”的結論的否定應該是()<b ≤b＝b ≥b【解析】“大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”，故選B.【答案】B4.用反證法證明某命題時，對某結論：“自然數a，b，c中無偶數”，正確的假設為________.【導學號：94210019】【解析】a，b，c中無偶數，即a，b，c都是奇數，反設應是“a，b，c中至少有一個偶數”.【答案】a，b，c中至少有一個偶數5.若a，b，c互不相等，證明：三個方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一個方程有兩個相異實根.【證明】假設三個方程中都沒有兩個相異實根，則Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，∴a＝b＝c，這與a，b，c互不相等矛盾.∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根.我還有這些不足：(1)(2)我的課下提升方案：(1)(2)學業(yè)分層測評(五)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.用反證法證明“三角形中最多只有一個內角為鈍角”，下列假設中正確的是()A.有兩個內角是鈍角B.有三個內角是鈍角C.至少有兩個內角是鈍角D.沒有一個內角是鈍角【解析】“最多有一個”的反設是“至少有兩個”，故選C.【答案】C2.下列命題錯誤的是()A.三角形中至少有一個內角不小于60°B.四面體的三組對棱都是異面直線C.閉區(qū)間[a，b]上的單調函數f(x)至多有一個零點D.設a，b∈Z，若a，b中至少有一個為奇數，則a＋b是奇數【解析】a＋b為奇數?a，b中有一個為奇數，另一個為偶數，故D錯誤.【答案】D3.“自然數a，b，c中恰有一個偶數”的否定正確的為()，b，c都是奇數，b，c都是偶數，b，c中至少有兩個偶數，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數【解析】自然數a，b，c的奇偶性共有四種情形：(1)3個都是奇數；(2)2個奇數，1個偶數；(3)1個奇數，2個偶數；(4)3個都是偶數.所以否定正確的是a，b，c中都是奇數或至少有兩個偶數.【答案】D4.設x，y，z都是正實數，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，則a，b，c三個數()【導學號：94210020】A.至少有一個不大于2B.都小于2C.至少有一個不小于2D.都大于2【解析】若a，b，c都小于2，則a＋b＋c<6，①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6，②顯然①②矛盾，所以C正確.【答案】C5.(2023·溫州高二檢測)用反證法證明命題：“一個三角形中不能有兩個直角”的過程歸納為以下三個步驟：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，這與三角形內角和為180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一個三角形中不能有兩個直角；③假設三角形的三個內角A，B，C中有兩個直角，不妨設A＝B＝90°，正確順序的序號為()A.①②③ B.①③②C.②③① D.③①②【解析】根據反證法的步驟，應該是先提出假設，再推出矛盾，最后否定假設，從而肯定結論.【答案】D二、填空題6.(2023·南昌高二檢測)命題“任意多面體的面至少有一個是三角形或四邊形或五邊形”的結論的否定是__________________.【解析】“至少有一個”的否定是“沒有一個”.【答案】任意多面體的面沒有一個是三角形或四邊形或五邊形7.(2023·汕頭高二檢測)用反證法證明命題“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時，假設的內容應是________.【解析】eq\r(3,a)與eq\r(3,b)的關系有三種情況：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反設應為“eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)”.【答案】eq\r(3,a)≤eq\r(3,b)8.(2023·石家莊高二檢測)設a，b是兩個實數，給出下列條件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一個大于1”的條件是________(填序號).【解析】若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，則a2＋b2>2，故④不能推出.對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1.反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b>2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1.【答案】③三、解答題9.已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，試證明：a，b，c至少有一個不小于1.【證明】假設a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3.而與a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up8(2)＋3≥3矛盾，故假設不成立，即a，b，c至少有一個不小于1.10.已知三個正數a，b，c成等比數列，但不成等差數列，求證：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列.【證明】假設eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差數列，則eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，兩邊同時平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差數列，這與a，b，c不成等差數列矛盾.所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差數列.[能力提升]1.有以下結論：①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小于1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大于或等于1，即假設|x1|≥1.下列說法中正確的是()A.①與②的假設都錯誤B.①與②的假設都正確C.①的假設正確；②的假設錯誤D.①的假設錯誤；②的假設正確【解析】用反證法證題時一定要將對立面找準.在①中應假設p＋q>2，故①的假設是錯誤的，而②的假設是正確的.【答案】D2.已知命題“在△ABC中，A≠B.求證sinA