高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．1圓錐曲線 第2章2

圓錐曲線1．了解橢圓、雙曲線和拋物線的定義和幾何圖形．(重點(diǎn))2．了解圓錐曲線特別是雙曲線的形成過(guò)程．(難點(diǎn))3．橢圓定義與雙曲線定義的區(qū)別．(易混點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理圓錐曲線閱讀教材P27～P28例1以上內(nèi)容，完成下列問(wèn)題．1．用平面截圓錐面能得到的曲線圖形是兩條相交直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線．2．設(shè)P為相應(yīng)曲線上任意一點(diǎn)，常數(shù)為2a(a定義(自然語(yǔ)言)數(shù)學(xué)語(yǔ)言橢圓平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距PF1＋PF2＝2a＞F1雙曲線平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距|PF1－PF2|＝2a＜F1拋物線平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線PF＝d，其中d為點(diǎn)P到l的距離判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)的距離之和為10的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓．()(2)在雙曲線定義中，若去掉“絕對(duì)值”，其軌跡不是雙曲線．()(3)在拋物線定義中，“F不在l上”可以省略．()(4)在橢圓、雙曲線、拋物線的定義中“平面內(nèi)”這一條件都不能丟掉，否則動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是空間圖形．()【解析】(1)×.因?yàn)閨F1F2|＝10，所以動(dòng)點(diǎn)軌跡是線段F1F2，不是橢圓，故不正確．(2)√.雙曲線定義中，若去掉“絕對(duì)值”，其軌跡是雙曲線的一支，不是雙曲線，故正確．(3)×.拋物線定義中，“F不在l上”不能省略，因?yàn)镕在l上時(shí)，軌跡是一條直線，故不正確．(4)√.圓錐曲線是平面圖形，因此是正確的．【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√[質(zhì)疑·手記](méi)預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問(wèn)記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問(wèn)1：解惑：疑問(wèn)2：解惑：疑問(wèn)3：解惑：[小組合作型]橢圓的定義及應(yīng)用(1)在△ABC中，B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，sinB＋sinC＝2sinA，試確定頂點(diǎn)A的軌跡；(2)已知F1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點(diǎn)，直線AB過(guò)點(diǎn)F1，若橢圓上任一點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝5，求△ABF2的周長(zhǎng)．【精彩點(diǎn)撥】(1)利用正弦定理轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓的定義求解；(2)利用橢圓的定義，把△ABF2的周長(zhǎng)分解為點(diǎn)A和點(diǎn)B到焦點(diǎn)的距離之和．【自主解答】(1)∵sinB＋sinC＝2sinA，由正弦定理可得AC＋AB＝2BC＞BC，又∵B，C是兩個(gè)定點(diǎn)，由橢圓的定義可知，點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓(除去與B，C所在同一直線的兩個(gè)定點(diǎn))．(2)由橢圓的定義可知，AF1＋AF2＝BF1＋BF2＝PF1＋PF2＝5，∴△ABF2的周長(zhǎng)為AB＋AF2＋BF2＝(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝5＋5＝10.橢圓定義的應(yīng)用方法1．判定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，關(guān)鍵分析兩點(diǎn)：(1)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之和是否為常數(shù)，(2)該常數(shù)是否大于兩定點(diǎn)之間的距離．2．判定點(diǎn)的軌跡時(shí)，應(yīng)注意對(duì)個(gè)別點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)，如本例(1)中，因?yàn)椤鰽BC三頂點(diǎn)不共線，所以應(yīng)去掉直線BC與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)．3．若已知某點(diǎn)在橢圓上時(shí)，要應(yīng)用橢圓的定義PF1＋PF2＝2a[再練一題]1．命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和PA＋PB＝2a(a>0，a為常數(shù))；命題乙：P【解析】根據(jù)橢圓的定義，應(yīng)填必要不充分．【答案】必要不充分雙曲線的定義及應(yīng)用已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足下列條件，試判斷下列各條件下點(diǎn)P的軌跡是什么圖形？(1)|eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|＝6；(2)eq\r(x＋42＋y2)－eq\r(x－42＋y2)＝6.【精彩點(diǎn)撥】把代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題解決，嚴(yán)格扣準(zhǔn)雙曲線的定義．【自主解答】(1)∵|eq\r(x＋52＋y2)－eq\r(x－52＋y2)|表示點(diǎn)P(x，y)到兩定點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)的距離之差的絕對(duì)值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．(2)∵eq\r(x＋42＋y2)－eq\r(x－42＋y2)表示點(diǎn)P(x，y)到兩定點(diǎn)F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支．在雙曲線的定義中，注意三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：①在平面內(nèi)；②差的絕對(duì)值；③定值且定值小于兩定點(diǎn)間距.在這三個(gè)條件中，缺少一個(gè)條件，其動(dòng)點(diǎn)軌跡也不是雙曲線.[再練一題]2．已知A(0，－5)，B(0,5)，若|PA|－|PB|＝6，則P點(diǎn)的軌跡為_(kāi)_______，若|PA|－|PB|＝10，則P點(diǎn)的軌跡為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390018】【解析】∵|PA|－|PB|＝6<10時(shí)，∴P的軌跡為雙曲線的一支．又∵|PA|－|PB|＝10且|AB|＝10，∴P的軌跡為射線，是以B為端點(diǎn)向上的一條射線．【答案】雙曲線的一支一條射線拋物線的定義及應(yīng)用已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(x，y)滿足|3x＋4y＋1|＝5eq\r(x－12＋y－22)，試判斷動(dòng)點(diǎn)M的軌跡．【精彩點(diǎn)撥】把條件式化為點(diǎn)M到點(diǎn)(1,2)與點(diǎn)M到直線3x＋4y＋1＝0的距離相等，利用拋物線的定義求解．【自主解答】選定直線l：3x＋4y＋1＝0，定點(diǎn)F(1,2)，則M到l的距離為d＝eq\f(|3x＋4y＋1|,5)，MF＝eq\r(x－12＋y－22).由題意知d＝MF，且F?l，由拋物線定義知，M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線．拋物線定義的應(yīng)用方法1．涉及點(diǎn)線距、兩點(diǎn)間距離的軌跡問(wèn)題，要充分聯(lián)想拋物線的定義，判別動(dòng)點(diǎn)的軌跡．2．應(yīng)用拋物線的定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，關(guān)鍵是看動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離是否相等，并且注意定點(diǎn)不在定直線上．3．若已知某點(diǎn)在拋物線上，則該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離相等．[再練一題]3．點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l：x＝－6的距離小2，則點(diǎn)P的軌跡為_(kāi)_______．【解析】由題意可知，點(diǎn)P到F(4,0)的距離與到直線x＝－4的距離相等．根據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)P的軌跡為拋物線．【答案】拋物線[探究共研型]如何區(qū)分橢圓與雙曲線探究1已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，若PF1＋PF2＝6時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是什么？若|PF1－PF2|＝2時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是什么？【提示】若PF1＋PF2＝6>4，則P的軌跡為橢圓；若|PF1－PF2|＝2<4，則P的軌跡為雙曲線．理解橢圓關(guān)注幾個(gè)詞：“和”“定值”“大于焦距”；理解雙曲線關(guān)注幾個(gè)詞：“差”“絕對(duì)值”“定值”“小于焦距”．探究2拋物線的定義應(yīng)注意什么？定點(diǎn)為F(2,0)，定直線為x＝－2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到F的距離與到直線x＝－2的距離相等，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是什么？【提示】在拋物線定義中，要特別注意：①在平面內(nèi)；②到定點(diǎn)距離等于到定直線距離；③定點(diǎn)不在定直線上．因?yàn)?2,0)不在直線x＝－2上，所以點(diǎn)P的軌跡為拋物線．已知圓C1：(x＋2)2＋y2＝1和圓C2：(x－2)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡．【精彩點(diǎn)撥】根據(jù)M到C1，C2的距離的關(guān)系，扣住圓錐曲線的定義．【自主解答】由已知得，圓C1的圓心C1(－2,0)，半徑r1＝1，圓C2的圓心C2(2,0)，半徑r2＝3.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r，因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1相外切，所以MC1＝r＋1.①又因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C2相外切，所以MC2＝r＋3.②②－①得MC2－MC1＝2，且2<C1C2＝4.所以動(dòng)圓圓心M的軌跡為雙曲線的左支，且除去點(diǎn)(－1,0)．設(shè)動(dòng)圓半徑為r，利用動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切得兩個(gè)等式，相減后消去r，得到點(diǎn)M的關(guān)系式.注意到MC2－MC1＝2中沒(méi)有絕對(duì)值，所以軌跡是雙曲線的一支，又因?yàn)閳AC1與圓C2相切于點(diǎn)－1，0，所以M的軌跡不過(guò)點(diǎn)－1，0.[再練一題]4．已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)有一定點(diǎn)B(3,0)，動(dòng)圓M過(guò)B點(diǎn)且與圓A內(nèi)切，求證：圓心M的軌跡是橢圓.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：09390019】【證明】設(shè)MB＝r.∵圓M與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，∴兩圓的圓心距MA＝10－r，即MA＋MB＝10(大于AB)，∴圓心M的軌跡是以A，B兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．[構(gòu)建·體系]1．已知F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝6，則點(diǎn)P的軌跡是________．【解析】∵PF1＋PF2＝6＞F1F2，∴點(diǎn)P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓．【答案】以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓2．已知拋物線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為eq\f(3,2)，則點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線的距離為_(kāi)_______．【解析】根據(jù)拋物線的定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離相等，故點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)3．以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)作橢圓，橢圓上一點(diǎn)P1到F1，F(xiàn)2的距離之和為10，橢圓上另一點(diǎn)P2滿足P2F1＝P2F2，則P2【解析】由橢圓的定義可知P2F1＋P2F2＝10.又∵P2F1＝P2F2，∴P2F1＝5.【答案】54．已知M(－2,0)，N(2,0)，PM－PN＝3，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為_(kāi)_______．【解析】∵M(jìn)N＝4，PM－PN＝3<4，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的右支．【答案】雙曲線的右支5．動(dòng)點(diǎn)P(x，