高中數(shù)學(xué)人教A版第一章三角函數(shù) 任意角的三角函數(shù)學(xué)案2

2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)2023學(xué)年高一年級數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案（33）班級姓名學(xué)號編寫：趙海通審閱：侯國會§1.2.1任意角的三角函數(shù)（2）2．了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切．3．能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．學(xué)習(xí)重點：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域，三角函數(shù)線。學(xué)習(xí)難點：三角函數(shù)線【學(xué)法指導(dǎo)】1．三角函數(shù)線是利用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)問題的重要工具，利用三角函數(shù)線可以解或證明三角不等式，求函數(shù)的定義域及比較大小，三角函數(shù)線也是后面將要學(xué)習(xí)的三角函數(shù)的圖象的作圖工具．2．三角函數(shù)線是有向線段，字母順序不能隨意調(diào)換，正弦線、正切線的正向與y軸的正向相同，向上為正，向下為負；余弦線的正向與x軸的正向一致，向右為正，向左為負；當(dāng)角α的終邊與x軸重合時，正弦線、正切線分別變成一個點，此時角α的正弦值和正切值都為0；當(dāng)角α的終邊與y軸重合時，余弦線變成一個點，正切線不存在.一．知識導(dǎo)學(xué)1．三角函數(shù)的定義域正弦函數(shù)y＝sinx的定義域是__；余弦函數(shù)y＝cosx的定義域是__；正切函數(shù)y＝tanx的定義域是_______．2．三角函數(shù)線如圖，設(shè)單位圓與x軸的正半軸交于點A，與角α的終邊交于P點．過點P作x軸的垂線PM，垂足為M，過A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點．單位圓中的有向線段、、分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線．記作：sinα＝，cosα＝，tanα＝.二．探究與發(fā)現(xiàn)【探究點一】三角函數(shù)的定義域任意角的三角函數(shù)是在坐標(biāo)系中定義的，角的范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集．根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義可知正弦函數(shù)y＝sinx的定義域是__；余弦函數(shù)y＝cosx的定義域是__；正切函數(shù)y＝tanx的定義域是______________．在此基礎(chǔ)上，可以求一些簡單的三角函數(shù)的定義域．例如：(1)函數(shù)y＝sinx＋tanx的定義域為________________．(2)函數(shù)y＝eq\r(sinx)的定義域為________________．(3)函數(shù)y＝lgcosx的定義域為________________．【探究點二】三角函數(shù)線的作法問題1請敘述正弦線、余弦線、正切線的作法？問題2作出下列各角的正弦線、余弦線和正切線．(1)－eq\f(π,4)；(2)eq\f(17π,6)；(3)eq\f(10π,3).【探究點三】三角函數(shù)線的應(yīng)用三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，是任意角的三角函數(shù)定義的一種“形”的補充，線段的長度表示了三角函數(shù)絕對值的大小，線段的方向表示了三角函數(shù)值的正負．仔細觀察單位圓中三角函數(shù)線的變化規(guī)律，回答下列問題．問題1若α為任意角，根據(jù)單位圓中正弦線和余弦線的變化規(guī)律可得：sinα的范圍是；cosα的范圍是.問題2若α為第一象限角，證明sinα＋cosα>1.問題3若α為任意角，根據(jù)單位圓中正弦線和余弦線的變化規(guī)律探究sin2α＋cos2α與1的關(guān)系．【典型例題】例1.在單位圓中畫出滿足sinα＝eq\f(1,2)的角α的終邊，并求角α的取值集合．小結(jié)作已知角的正弦線、余弦線、正切線時，要確定已知角的終邊，再畫線，同時要分清所畫線的方向，對于以后研究三角函數(shù)很有用處．跟蹤訓(xùn)練1.根據(jù)下列三角函數(shù)值，作角α的終邊，然后求角的取值集合：(1)cosα＝eq\f(1,2)；(2)tanα＝－1.例2.在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).小結(jié)利用單位圓中三角函數(shù)線，可以非常直觀方便地求出形如sinx≥m或sinx≤m的三角函數(shù)的角的范圍，起到“以形助數(shù)”的作用．跟蹤訓(xùn)練2.已知點P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，在[0,2π)內(nèi)，求α的取值范圍．例3.求下列函數(shù)的定義域:f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2))).小結(jié)求三角函數(shù)定義域時，一般應(yīng)轉(zhuǎn)化為求不等式(組)的解的問題．利用數(shù)軸或三角函數(shù)線是解三角不等式常用的方法．解多個三角不等式時，先在單位圓中作出使每個不等式成立的角的范圍，再取公共部分．跟蹤訓(xùn)練3.求函數(shù)f(x)＝lg(3－4sin2x)的定義域．三．鞏固訓(xùn)練課后小練1．角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等，且正、余弦符號相異，那么α的值為()\f(π,4) \f(3π,4) \f(7π,4) \f(3π,4)或eq\f(7π,4)2．如圖在單位圓中角α的正弦線、正切線完全正確的是()A．正弦線PM，正切線A′T′B．正弦線MP，正切線A′T′C．正弦線MP，正切線ATD．正弦線PM，正切線AT3．在[0,2π]上，滿足sinx≥eq\f(1,2)的x的取值范圍為 ()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))4．利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大小(用“>”或“<”連接)：(1)sineq\f(2,3)π________sineq\f(4,5)π；(2)coseq\f(2,3)π________coseq\f(4,5)π；(3)taneq\f(2,3)π________taneq\f(4,5)π.四．小結(jié)1．三角函數(shù)線的意義三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值，三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負．具體地說，正弦線、正切線的方向同縱坐標(biāo)軸一致，向上為正，向下為負；余弦線的方向同橫坐標(biāo)軸一致，向右為正，向左為負．三角函數(shù)線將抽象的數(shù)