高中數(shù)學(xué)人教A版3第三章統(tǒng)計(jì)案例 2023版第3章章末分層突破

章末分層突破[自我校對(duì)]①散點(diǎn)圖②eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))③殘差圖④相關(guān)指數(shù)⑤等高條形圖線性回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．根據(jù)兩個(gè)變量的一組觀測(cè)值，可以畫(huà)出散點(diǎn)圖或利用相關(guān)系數(shù)r，判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，可得出線性回歸直線方程．利用公式求回歸直線方程時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，利用公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)，先求出eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋x3＋…＋xn)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)(y1＋y2＋y3＋…＋yn)．再由eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)求eq\o(a,\s\up6(^))的值，并寫(xiě)出回歸直線方程．(2)回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本的中心點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．(3)回歸直線方程中的截距eq\o(a,\s\up6(^))和斜率eq\o(b,\s\up6(^))都是通過(guò)樣本估計(jì)得來(lái)的，存在誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差．(4)回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中的eq\o(b,\s\up6(^))表示x每增加1個(gè)單位時(shí)預(yù)報(bào)變量y的平均變化量，而eq\o(a,\s\up6(^))表示預(yù)報(bào)變量y不隨x的變化而變化的部分．(5)在一元線性回歸模型中，相關(guān)指標(biāo)R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫(huà)線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果．|r|越大，R2就越大，用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好．關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得eq\o(b,\s\up6(^))＝，(1)求y與x的線性回歸方程；(2)現(xiàn)有第二個(gè)線性模型：eq\o(y,\s\up6(^))＝7x＋17，且R2＝.若與(1)的線性模型比較，哪一個(gè)線性模型擬合效果比較好，請(qǐng)說(shuō)明理由．【規(guī)范解答】(1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^)).eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(30＋40＋60＋50＋70,5)＝50，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\o(a,\s\up6(^))經(jīng)過(guò)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴50＝×5＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝，∴y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(2)由(1)的線性模型得yi－eq\o(y,\s\up6(^))i與yi－eq\o(y,\s\up6(－))的關(guān)系如下表：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i－－10－yi－eq\o(y,\s\up6(－))－20－1010020所以eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝(－2＋(－2＋(－10)2＋(－2＋＝155.eq\i\su(i＝1,5,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1000.所以Req\o\al(2,1)＝1－eq\f(\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,5,)yi－\o(y,\s\up6(－))2)＝1－eq\f(155,1000)＝.由于Req\o\al(2,1)＝，R2＝知Req\o\al(2,1)>R2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好．[再練一題]1．已知某連鎖經(jīng)營(yíng)公司的5個(gè)零售店某月的銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額資料如下表：商店名稱ABCDE銷(xiāo)售額x(千萬(wàn)元)35679利潤(rùn)額y(千萬(wàn)元)23345(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)根據(jù)如下的參考公式與參考數(shù)據(jù)，求利潤(rùn)額y與銷(xiāo)售額x之間的線性回歸方程；(3)若該公司還有一個(gè)零售店某月銷(xiāo)售額為10千萬(wàn)元，試估計(jì)它的利潤(rùn)額是多少．(參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).其中，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝200)【解】(1)散點(diǎn)圖．(2)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算得n＝5，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(30,5)＝6，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(17,5)＝，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(112－5×6×,200－5×6×6)＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝－×6＝.則線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.(3)將x＝10代入線性回歸方程中得到eq\o(y,\s\up6(^))＝×10＋＝(千萬(wàn)元)．即估計(jì)該零售店的利潤(rùn)額約為千萬(wàn)元．非線性回歸分析一般地，有些非線性回歸模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系．具體處理方法為：(1)描點(diǎn)，選模．畫(huà)出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與已經(jīng)學(xué)過(guò)的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)．(2)解模．先對(duì)變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來(lái)解模．(3)比較檢驗(yàn)．通過(guò)回歸分析比較所建模型的優(yōu)劣．常見(jiàn)的非線性函數(shù)轉(zhuǎn)換方法：(1)冪型函數(shù)y＝axm(a為正數(shù)，x，y取正值)解決方案：對(duì)y＝axm兩邊取常用對(duì)數(shù)，有l(wèi)gy＝lga＋mlgx，令u＝lgy，v＝lgx，則原式可變?yōu)閡＝mv＋lga，其中m，lga為常數(shù)，該式表示u，v的線性函數(shù)．(2)指數(shù)型函數(shù)y＝cax(a，c>0，且a≠1)解決方案：對(duì)y＝cax兩邊取常用對(duì)數(shù)，則有l(wèi)gy＝lgc＋xlga，令u＝lgy，則原式可變?yōu)閡＝xlga＋lgc，其中l(wèi)ga和lgc為常數(shù)，該式表示u，x的線性函數(shù)．與冪函數(shù)不同的是x保持不變，用y的對(duì)數(shù)lgy代替了y.(3)反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k>0)解決方案：令u＝eq\f(1,x)，則y＝ku，該式表示y，u的線性函數(shù)．(4)二次函數(shù)y＝ax2＋c解決方案：令u＝x2，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝au＋c，該式表示y，u的線性函數(shù)．(5)對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝clogax解決方案：令x＝au，則原函數(shù)可變?yōu)閥＝cu，該式表示y，u的線性函數(shù)．某種書(shū)每?jī)?cè)的成本費(fèi)y(元)與印刷冊(cè)數(shù)x(千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到如下數(shù)據(jù)：x123510203050100200y作出x與y的散點(diǎn)圖，判斷x與y之間的關(guān)系，并建立y與x的回歸方程．【精彩點(diǎn)撥】首先作出x與y的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖特征，判斷x與y的關(guān)系并建立y與x的回歸方程．【規(guī)范解答】散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可知，該散點(diǎn)圖與反比例函數(shù)圖象擬合得最好．于是，作變量變換u＝eq\f(1,x)，問(wèn)題所給數(shù)據(jù)變成如下表所示的10對(duì)數(shù)據(jù)：ui1yiuiyi然后作相關(guān)性檢驗(yàn)：r≈8，我們認(rèn)為u與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，由y對(duì)u的回歸方程有意義，通過(guò)計(jì)算可知eq\o(b,\s\up6(^))≈，eq\o(a,\s\up6(^))≈，故回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋，最后代回u＝eq\f(1,x)可得，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋eq\f,x).[再練一題]2．一個(gè)昆蟲(chóng)的某項(xiàng)指標(biāo)和溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了7組數(shù)據(jù)如下表：溫度x/℃2345678某項(xiàng)指標(biāo)y試建立某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸模型，并判斷你所建立的回歸模型的擬合效果．【解】畫(huà)出散點(diǎn)圖如圖所示，樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，而是分布在某一條二次函數(shù)曲線y＝Bx2＋A的周?chē)頧＝x2，則變換后的樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在y＝bX＋a(b＝B，a＝A)的周?chē)梢阎獢?shù)據(jù)可得變換后的樣本數(shù)據(jù)表：X491625364964某項(xiàng)指標(biāo)y計(jì)算得到線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝94X＋03.用x2替換X，得某項(xiàng)指標(biāo)y關(guān)于溫度x的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝94x2＋03.計(jì)算得R2≈997，幾乎為1，說(shuō)明回歸模型的擬合效果非常好．獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)是判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系的一種方法．在判斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)系時(shí)，作出等高條形圖只能近似地判斷兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，而獨(dú)立性檢驗(yàn)可以精確地得到可靠的結(jié)論．獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟：(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式計(jì)算K2的觀測(cè)值k.(3)比較k與臨界值的大小關(guān)系作統(tǒng)計(jì)推斷．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)540名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果是：患胃病者生活不規(guī)律的共60人，患胃病者生活規(guī)律的共20人，未患胃病者生活不規(guī)律的共260人，未患胃病者生活規(guī)律的共200人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表；(2)判斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律是否有關(guān)．【精彩點(diǎn)撥】(1)解決本題關(guān)鍵是首先弄清問(wèn)題中的兩個(gè)分類變量及其取值分別是什么，其次掌握2×2列聯(lián)表的結(jié)構(gòu)特征．(2)利用2×2列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值，再結(jié)合臨界值表來(lái)分析相關(guān)性的大?。疽?guī)范解答】(1)由已知可列2×2列聯(lián)表如下：患胃病未患胃病總計(jì)生活規(guī)律20200220生活不規(guī)律60260320總計(jì)80460540(2)根據(jù)列聯(lián)表得K2的觀測(cè)值為k＝eq\f(540×20×260－200×602,80×460×220×320)≈.因?yàn)?gt;，因此，我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病和生活規(guī)律有關(guān)．[再練一題]3．為了解某班學(xué)生喜愛(ài)打籃球是否與性別有關(guān)，對(duì)本班50人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：喜愛(ài)打籃球不喜愛(ài)打籃球總計(jì)男生5女生10總計(jì)50已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整(不用寫(xiě)計(jì)算過(guò)程)；(2)能否有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由．(參考公式：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d)【解】(1)依題意可知喜愛(ài)打籃球的學(xué)生的人數(shù)為30.列聯(lián)表補(bǔ)充如下：喜愛(ài)打籃球不喜愛(ài)打籃球總計(jì)男生20525女生101525總計(jì)302050(2)因?yàn)閗＝eq\f(50×20×15－5×102,25×25×30×20)≈>，所以，有99%的把握認(rèn)為喜愛(ài)打籃球與性別有關(guān).1．已知變量x與y正相關(guān)，且由觀測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)eq\x\to(x)＝3，eq\x\to(y)＝，則由該觀測(cè)數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是()\o(y,\s\up6(^))＝＋ \o(y,\s\up6(^))＝2x－\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋ \o(y,\s\up6(^))＝－＋【解析】因?yàn)樽兞縳和y正相關(guān)，則回歸直線的斜率為正，故可以排除選項(xiàng)C和D.因?yàn)闃颖军c(diǎn)的中心在回歸直線上，把點(diǎn)(3,的坐標(biāo)分別代入選項(xiàng)A和B中的直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，可以排除B，故選A.【答案】A2．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x(萬(wàn)元)支出y(萬(wàn)元)根據(jù)上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶年收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為()A．萬(wàn)元 B．萬(wàn)元C．萬(wàn)元 D．萬(wàn)元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－×10＝，∴當(dāng)x＝15時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝×15＋＝(萬(wàn)元)．【答案】B3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y－－－得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＜0，b＜0【解析】作出散點(diǎn)圖如下：觀察圖象可知，回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a的斜率b＜0，當(dāng)x＝0時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝a＞0.故a＞0，b＜0.【答案】B4．下圖3-1是我國(guó)2023年至2023年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位：億噸)的折線圖．年份代碼t注：年份代碼1～7分別對(duì)應(yīng)年份2023～2023.圖3-1(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到，預(yù)測(cè)2023年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))yi＝，eq\o(∑,\s\up6(7))eq\o(,\s\do4(i＝1))tiyi＝，eq\r(\o(∑,\s\up6(7))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).【解】(1)由折線圖中的數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)