自動控制原理 第五章 線性電路的頻域分析法

第五章線性電路的頻率響應(yīng)法

5.1頻率特性

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

5.3控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.5開環(huán)頻域指標(biāo)

5.6閉環(huán)頻率特性1頻率法的思路建立頻率特性→作為一種數(shù)學(xué)模型→以伯德圖或其它圖表作為分析工具→分析系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能→頻率指標(biāo)→利用與時域指標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系→轉(zhuǎn)換成時域指標(biāo)。

頻率法是20世紀(jì)30-40年代，由奈奎斯特、伯德和尼柯爾斯等人發(fā)展起來的。在常規(guī)控制系統(tǒng)中，最有效。在魯棒控制中，也是不可或缺的。2頻率法的特點

使用方便，對問題的分析明確，便于掌握，廣泛應(yīng)用。

(1)應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性，而不必解特征方程的根；

(2)用頻率法設(shè)計系統(tǒng)，可以兼顧動態(tài)響應(yīng)和噪聲抑制兩方面的要求，可使噪聲忽略或達(dá)到規(guī)定的程度；

(3)頻率法不僅應(yīng)用于線性系統(tǒng)，還可推廣用于某些非線性系統(tǒng)（描述函數(shù)法）；

(4)系統(tǒng)的頻率特性可用實驗方法測出，而不必推導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型；

(5)物理意義明確，頻域指標(biāo)和時域指標(biāo)有明確（1、2階系統(tǒng)）或近似的對應(yīng)關(guān)系（高階系統(tǒng)）。

又一種經(jīng)典方法5-1

頻率特性

例：RC線性電路，當(dāng)輸入為正弦電壓r(t)=Rsint

時，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？

5.1.1頻率特性的基本概念解：RC電路的微分方程為

式中，T=RC。網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為：RC

r(t)c(t)同頻，變幅，相移我們關(guān)注函數(shù)：

該函數(shù)完整的描述出了網(wǎng)絡(luò)在sin函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相角發(fā)生變化的情況，它們皆是頻率的函數(shù)，稱它為頻率特性。

不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的頻率特性就是G(j)

，對任何穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)該結(jié)論都是正確的。G(j)是G(s)的特例，是頻域下的數(shù)學(xué)模型。r(t)=Rsint

1

頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相量比(對頻率的關(guān)系特性)，用G(j)

表示。物理意義：反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力同頻，變幅，相移。2幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比，用A()表示。

A()=G(j)3相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位差，用()表示。()=G(j)4

實頻特性：G(j)

的實部，用Re[G()]表示。

5

虛頻特性：G(j)的虛部，用Im[G

()]表示。5.1.2定義

特點是：把頻率看成參變量，當(dāng)從0時，將幅頻特性和相頻特性表示在同一個復(fù)數(shù)平面上(頻率特性在復(fù)平面上的軌跡)。畫RC電路的極坐標(biāo)圖。5.1.3頻率特性的幾何表示法1.極坐標(biāo)圖（幅相頻率特性曲線，簡稱幅相特性）奈氏曲線=1/T

=

=0ImRe02.伯德圖（對數(shù)頻率特性曲線）包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標(biāo)表示頻率，按對數(shù)分度，單位是rad/s。G(j)10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101

橫軸按頻率的對數(shù)lg標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是頻率本身的數(shù)值。因此，橫軸的刻度是不均勻的。橫軸壓縮了高頻段，擴展了低頻段。

在軸上，對應(yīng)于頻率每一倍變化，稱為一倍頻程，例如從1到2，2到4，3到6，10到20等的范圍都是一倍頻程；=1=1023456789

每變化十倍，稱為十倍頻程(dec)，例如從1到10，2到20，10到100等的范圍都是十倍頻程；所有的十倍頻程在軸上對應(yīng)的長度都相等。203040

對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是dB（分貝）。

L()=20lgA()

?可以將幅值的乘除化為加減。L()/dB2020(rad/s)

123456102030100

相頻曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。()=∠G(j)

?可以采用簡便的方法繪制近似的對數(shù)幅頻特性曲線。

?對一些難以建立傳遞函數(shù)的系統(tǒng)或環(huán)節(jié)，可以采用實驗的方法獲得頻率特性曲線，能方便的進(jìn)行系統(tǒng)分析。()/(°)90°90°(rad/s)

123456102030100下圖是

RC網(wǎng)絡(luò)G(j)=1/(1+jT)，T=0.5時對應(yīng)的伯德圖。L()/dB0202(1/T)-20dB/dec-90°()/(°)0°-90°()/(°)0°5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

1比例環(huán)節(jié)

其傳遞函數(shù)為

G(s)=K

頻率特性為

G(j

)=K

（1）極坐標(biāo)圖

A()=K

()=

0

（2）伯德圖

L(

)=20lgK

()=

0ImRe0K20lgKL()/dB020()=

0

同傳遞函數(shù)，復(fù)雜頻率特性也可以看成是一些常見因式（典型環(huán)節(jié)的頻率特性）的乘積，先介紹典型環(huán)節(jié)頻率特性的繪制方法和特點很有必要。（2）伯德圖

L()=20lgA()=20lg

()=90ImRe0=0+=（1）極坐標(biāo)圖

()=

9090°()/(°)0°20dB/dec110

2積分環(huán)節(jié)

頻率特性

每變化10倍，L()下降20dB。L()/dB020-203微分環(huán)節(jié)

頻率特性G(j)=j

（1）極坐標(biāo)圖

A()=

()=90

（2）伯德圖

L()=20lgA()=20lg

()=90

由于微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，L()和

()

僅相差一個符號。因此，伯德圖是對稱于軸的。ImRe0=0+=90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec4慣性環(huán)節(jié)

頻率特性為（1）極坐標(biāo)圖

其模角表達(dá)式為：ImRe0

=

=012222221)(Im)21)(Re()Re()(Im)(Re

=+-=+wwwwwG(j0)=10G(j1/T)=0.70745

G(j)=090

實部與虛部表達(dá)式為：極坐標(biāo)圖為一半圓（2）伯德圖對數(shù)幅頻特性

慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條直線近似表示，這兩條直線稱為漸近線。兩條直線交于T=1或

=1/T。頻率1/T

稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。1/TL()〔1〕當(dāng)

1/T時，L()

20lg1=020dB/dec〔2〕當(dāng)

1/T時，L()

20lgT每變化10倍的1/T，L()下降20dB。用漸近線近似表示L()，必然存在誤差ΔL()ΔL()可按以下公式計算：ΔL()=L()La()式中，L()表示準(zhǔn)確值，La()表示近似值，有如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB-0.97-0.04相頻特性為：()=arctanT

=0()=0°

=1/T()=45°

()=90°

L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0實際設(shè)計系統(tǒng)時，工作點往往都遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)折頻率。5一階微分環(huán)節(jié)

頻率特性G(j)=1+jT

（1）極坐標(biāo)圖（2)伯德圖幅頻特性相頻特性為

()=arctanT

幅頻特性為相頻特性()=arctanT

ImRe01=0=90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec

與一階振蕩環(huán)節(jié)以橫軸互為鏡像。(1)極坐標(biāo)圖幅頻特性為相頻特性為

6振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為0ReIm1=0值小值大n繪制極坐標(biāo)圖G(j0)=10G(jn)=1/290G(j)=0180

可以看出：

1）

>0.707，沒有峰值，A()單調(diào)衰減；

2）

=0.707，Mr=1，r=0，這正是幅頻特性曲線的初始點；

3）

<0.707，Mr>1，

r>0，幅頻A()出現(xiàn)峰值。而且

越小，峰值Mr及峰值頻率r越高；

由圖可見，幅頻特性的最大值隨

減小而增大其值可能大于1?？梢郧蟮迷谙到y(tǒng)參數(shù)所對應(yīng)的條件下，在某一頻率

=r（諧振頻率）處振蕩環(huán)節(jié)的幅值會產(chǎn)生峰值Mr

。在產(chǎn)生峰值處，必有根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。當(dāng)

<<n時，L()0；當(dāng)

>>n時，L()20lg2

/n2

=40lg

/n

。4）

=0，峰值Mr趨于無窮，峰值頻率r趨于n。峰值過高，意味著動態(tài)響應(yīng)的超調(diào)大，過程不平穩(wěn)。對振蕩環(huán)節(jié)或二階系統(tǒng)來說，相當(dāng)于阻尼比

小，這和時域分析法一章所得結(jié)論是一致的。（2）伯德圖幅頻特性每變化10倍的n，L()下降40dB。L()誤差計算公式是：

n

40dB/dec

這是一條斜率為40dB/dec直線，和零分貝線交于

=n的地方。故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為n。每變化10倍的n，L()下降40dB。L()20lg2

/n2

=40lg

/n

下圖為L(,)

的曲線0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8=0.05=0.8相頻特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，(

)在

=n鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。0.1,0.2,0.4,0.6,0.8,1,2ImRe0=01=7二階微分環(huán)節(jié)其頻率特性為

由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉(zhuǎn)畫出。極坐標(biāo)圖為：

由于(

)隨頻率的增長而線性滯后，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。ImRe0大()/(°)0°L()/dB0小=0

8延遲環(huán)節(jié)

其頻率特性為：G(j)=ejτ

幅值為：A()=ejτ

=1

相角為：()=

(rad)=57.3()

由于幅值總是1，相角隨頻率而變化，其極坐標(biāo)圖為一單位圓。5.3控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

利用典型環(huán)節(jié)的頻率特性，可以方便的做出控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，進(jìn)而根據(jù)圖形對系統(tǒng)的性能進(jìn)行分析。

5.3.1開環(huán)極坐標(biāo)圖

1.用幅頻特性和相頻特性計算作圖設(shè)開環(huán)頻率特性為：式中

分別計算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計算出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標(biāo)圖。

解:RC超前網(wǎng)絡(luò)的傳函為()=90

arctanT例5-1

如圖所示RC超前網(wǎng)絡(luò),要求繪制它的幅相曲線。式中T=RC。其頻率特性為RC

r(t)c(t)5.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲線如下圖所示：ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

10()=90

arctanT2.按實頻特性和虛頻特性計算作圖

把開環(huán)頻率特性按實部和虛部分開(代數(shù)形式)，然后再用一系列值代入，計算相應(yīng)的實頻和虛頻值,繪制出開環(huán)幅相曲線。

3.由零點—極點分布圖繪制

根據(jù)零極點形式的開環(huán)傳遞函數(shù)，在s平面上標(biāo)出零點和極點，令s=j，可作出相應(yīng)零點或極點對應(yīng)的矢量(頻率特性)，根據(jù)所對應(yīng)的值，計算出有關(guān)矢量的長度和角度，就能求得頻率特性。

例5-2由極點-零點分布圖求例1中的頻率特性。解：G(j0+)=090G(j1/T)=0.70745G(j2/T)=0.89530G(j5/T)=0.98211.3

G(j)=100

j-1/Tj+1/TImRe0=1/T2/T5/T

=4.開環(huán)極坐標(biāo)圖的近似繪制上面的方法費時費力，實際上，我們一般不要求繪制精確的極坐標(biāo)圖，但要正確的估計形狀。采用所謂的三點法。起點－終點－交點

(1)根據(jù)開環(huán)零-極點圖確定起點(=0+)：精確求出A(0+)，(0+)；

(2)確定終點(=)：求出A()，()；

(3)確定曲線與坐標(biāo)軸的交點：G(j)=Re()+jIm()

與實軸的交點：令I(lǐng)m()=0求出x

代入Re(x)(4)由起點出發(fā)，繪制曲線的大致形狀。關(guān)于極坐標(biāo)圖起點與終點的一些特點：A.起點B.終點A.起點（1）Gk(j0)=k0

（2）Gk(j)=0180（3）當(dāng)增加時，()是單調(diào)減的，從0變化到180，所以無需再求交點。0j-1/T1-1/T2試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

例5-3已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為ImRe0=0幅相曲線大致形狀如圖:

通過分析=0和=時的幅角，就可知幅相曲線是否與橫軸有無交點。（1）Gk(j0)=k0

（2）Gk(j)=0180（3）當(dāng)增加時，()是單調(diào)減的，從0變化到180，所以無需再求交點。例5-4已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：系統(tǒng)零極點分不圖為

（1）Gk(j0+)=90

（2）Gk(j)=0180（3）與實軸的交點:0j-1j+1

顯然曲線與坐標(biāo)軸無交點。

通過分析實部和虛部函數(shù)，當(dāng)

=0時，實部等于-1，可以作為漸近線。開環(huán)概略極坐標(biāo)圖如下所示：ImRe0=0→－1例5-5已知系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：根據(jù)零-極點分布圖0j-1-2-0.51）Gk(j0+)=180

2）Gk(j)=02703）與實軸的交點：令I(lǐng)m()=0x=0.707Re(x)=2.67kImRe0=0→－2.67k開環(huán)概略極坐標(biāo)圖如下所示：

Gk(j0+)=180

Gk(j)=02705.3.2

開環(huán)伯德圖

開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性分別為說明：

Lk()和k()分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。

例5-6已知一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為要求繪制伯德圖。解：開環(huán)傳遞函數(shù)由以下三個典型環(huán)節(jié)組成：①比例環(huán)節(jié)10,②積分環(huán)節(jié)1/s,③慣性環(huán)節(jié)1/(0.2s+1)。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec分析開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，有下列特點：（1）最左端直線的斜率為20dB/dec，這一斜率完全由G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)決定，高度取決于K；（2）

=1時，曲線的分貝值等于20lgk；（3）在慣性環(huán)節(jié)交接頻率5(rad/s)處，斜率從20dB/dec變?yōu)?0dB/dec。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec一般的近似對數(shù)幅頻曲線特點：(1)最左端直線的斜率為20

dB/dec，是積分環(huán)節(jié)個數(shù)；(2)在

=1時，最左端直線或其延長線(1前有轉(zhuǎn)折頻率)的分貝值等于20lgk(3)在交接頻率處，曲線的斜率發(fā)生改變，改變多少取決于典型環(huán)節(jié)類型。例如，在慣性環(huán)節(jié)后，斜率減少20dB/dec；而在振蕩環(huán)節(jié)后，斜率減少40

dB/dec。繪制近似對數(shù)幅頻曲線的步驟：

①在軸上標(biāo)出所有的轉(zhuǎn)折頻率；②確定低頻段的斜率和位置；

20

dB/dec，20lgk（＝1）③由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，曲線的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。

對數(shù)相頻特性作圖時，首先確定低頻段的相位角，其次確定高頻段的相位角，再在中間選出一些插值點，計算出相應(yīng)的相位角，將上述特征點連線即得到對數(shù)相頻特性的草圖。兩點或三點法k()=090arctan(0.2)-90()/(°)0-180k(0)=90

k()=180k(1)=101.3k(5)=135k(10)=153.4

1510①在軸上標(biāo)出所有的轉(zhuǎn)折頻率；②確定低頻段的斜率和位置；

20

dB/dec，20lgk（＝1）③由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，曲線的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。

例5-7繪制單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線。解：將傳函化簡成標(biāo)準(zhǔn)時間常數(shù)表達(dá)式L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/decc

-幅值穿越頻率c

重要結(jié)論：采用折線法計算幅值時，在轉(zhuǎn)折頻率前只考慮各因式的實部，之后只考慮因式的虛部。

有了系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性后，就可以利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能。提出“三頻段”的概念。

低頻段指的是L()在第一個轉(zhuǎn)折頻率以前的區(qū)段。對應(yīng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目（系統(tǒng)型號）確定了開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的斜率，而低頻漸近線的高度，則決定于開環(huán)放大倍數(shù)的大小。所以，穩(wěn)態(tài)誤差完全由開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線確定。v=０v=1v=220dB/dec40dB/dec根據(jù)伯德圖，求開環(huán)增益k的方法：1

可以看出，低頻段的斜率越小，位置越高，對應(yīng)于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目越多，開環(huán)增益越大。在滿足穩(wěn)定的條件下，其穩(wěn)態(tài)誤差越小。1dyac

中頻段指的是幅值穿越頻率c

附近的區(qū)段，該區(qū)段集中反映了閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。本章5.5和5.6節(jié)詳細(xì)討論。L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/decc

-幅值穿越頻率c

系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于相角裕度

，而開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的中頻段（零分貝頻率附近）的形狀對影響最大，因此，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能主要取決于開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的中頻段。高頻段是由小時間常數(shù)的環(huán)節(jié)決定的，由于其轉(zhuǎn)折頻率遠(yuǎn)離c

，所以對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大，然而從系統(tǒng)抗干擾的角度看，高頻段特性很有意義的。對于單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)和閉環(huán)傳函的關(guān)系為

由于在高頻段，一般

20lg|G(j)<<0，即G(j)<<1，故有

即閉環(huán)幅頻等于開環(huán)幅頻。

因此開環(huán)對數(shù)幅頻特性高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對輸入端高頻信號的抑制能力，高頻段分貝值越低，系統(tǒng)抗干擾能力越強。

通過以上分析，可以看出系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性表征了系統(tǒng)的性能：低頻段決定了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，中頻段決定了系統(tǒng)動態(tài)性能，高頻段決定了系統(tǒng)的抗干擾性能。對于最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)的性能完全可以由開環(huán)對數(shù)幅頻特性反映出來。定義:

開環(huán)零點與開環(huán)極點全部位于s左半平面的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否則稱為非最小相位系統(tǒng)。例5-8已知兩個控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函分別為：試?yán)L制兩系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖。解：由定義知G1(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，G2(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，頻率特性分別為：5.3.3最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)0j1j+10.5j+0.5j

01j0.5j+0.51其對應(yīng)的零—極點分布圖如下:1()=arctanarctan22()=arctanarctan2www211)(

2jjjG+-=www211)(1jjjG++=L()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/(°)0-180-90()/(°)02()=arctan2arctan1()=arctan2

+arctan結(jié)論：

①

在具有相同的開環(huán)幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小;

②最小相位系統(tǒng)L()曲線變化趨勢與()一致；

③最小相位系統(tǒng)L()曲線與()兩者具有一一對應(yīng)關(guān)系，因此在分析時可只畫出L()

。反之，在已知L()曲線時，也可以確定出相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。④最小相位系統(tǒng)當(dāng)時，其相角

()=90?(nm)n為開環(huán)極點數(shù)，m為開環(huán)零點數(shù)。L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1710215

解：低頻段直線斜率是20dB/dec，故系統(tǒng)包含一個積分環(huán)節(jié)。據(jù)

=1時，低頻段直線的坐標(biāo)為15

dB，可知比例環(huán)節(jié)的k=5.6。交接頻率為=2和=7，可以寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

例5-9

某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖示，試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。四．已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示：

1.求出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)；5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù))是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)則。具有以下特點：

(1)應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線就可以判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

(2)便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響。

(3)很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(4)奈氏判據(jù)稍加推廣還可用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

5.4.1輔助函數(shù)F(s)

圖示控制系統(tǒng),G(s)和H(s)是兩個多項式之比G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

把閉環(huán)特征多項式和開環(huán)特征多項式之比稱之為輔助函數(shù)，記作F(s)，F(xiàn)(s)仍是復(fù)變量s的函數(shù)。=1+Gk(s)

顯然，輔助函數(shù)和開環(huán)傳函之間只相差1?？紤]到物理系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中mn，故F(s)的分子和分母兩個多項式的最高次冪一樣，均為n，F(xiàn)(s)可改寫為：式中，zi和pj分別為F(s)的零點和極點。

F(s)具有如下特征：

1）其零點是閉環(huán)特征根，極點是開環(huán)特征根；

2）零點和極點個數(shù)相同；

3）F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。j0sziAF(s)ImRe0FB5.4.2幅角原理在s平面上任選一點A

通過復(fù)變函數(shù)F(s)映射到F(s)平面上B=F(A)。在s平面上從A點出發(fā)，繞F(s)的某一零點zi

順時針沿封閉曲線s（s為不包圍也不通過F(s)任何極點和其他零點）轉(zhuǎn)一周回到A。相應(yīng)的在F(s)平面上得到一條由B點出發(fā)，繞原點順時針方向轉(zhuǎn)了一圈，又回到B點的封閉曲線F。s平面F(s)平面當(dāng)s沿s變化時，除項外，其余項都為0，因此F(s)的相角變化為：j0sziAF(s)ImRe0FBs平面F(s)平面同理，在s平面上從某點出發(fā)，繞F(s)的某一極點順時針沿封閉曲線s（s為不包圍也不通過F(s)任何零點和其他極點）轉(zhuǎn)一周，相應(yīng)的在F(s)平面上，

F(s)曲線繞其原點逆時針方向轉(zhuǎn)一圈。即：F(s)曲線繞其原點順時針方向轉(zhuǎn)一圈。

幅角原理：如果封閉曲線s內(nèi)有Z個F(s)的零點，P個F(s)的極點，則s沿封閉曲線s順時針方向轉(zhuǎn)一圈時，在F(s)平面上，曲線F(s)繞其原點逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)R為P和Z之差，即

R=PZR若為負(fù)，表示曲線F(s)繞原點順時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。j0sziAF(s)ImRe0FBs平面F(s)平面5.4.3奈氏判據(jù)-----分兩種情況討論（1）0型系統(tǒng)（開環(huán)沒有串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)）

在s平面，取s為包圍虛軸和整個右半平面的封閉曲線。那么幅角原理表達(dá)式中的Z和P分別表示輔助函數(shù)F(s)在右半平面的零極點數(shù)目。0js+0js+s平面s映射

F(s)

正虛軸j(:0)F(j)(

:0)

負(fù)虛軸j(:0)F(j)(

:0)

半徑的半圓F平面的(1,j0)點

ReIm0

=0GH平面F平面1F(s)=1+G(s)H(s)由于n>m，當(dāng)s時，G(s)H(s)=0我們已熟悉畫G(j)H(j)的曲線，而它是畫在GH平面上的。由于F(j)=1+G(j)H(j)，

即F(j)和G(j)H(j)只相差常數(shù)1。因此F(j)對F平面原點的包圍就等于G(j)H(j)對GH平面中(1，j0)點的包圍。GH平面0=0F平面1G(j)H(j)1+G(j)H(j)對于G(j)H(j):0，開環(huán)極坐標(biāo)圖；

:0，與開環(huán)極坐標(biāo)圖以軸鏡像對稱；

F平面的坐標(biāo)原點就是GH平面的(-1,j0)點。0

于是，幅角原理中的P，Z和R重新定義如下：P——F(s)在s右半平面的極點數(shù)，即開環(huán)傳函在s右半平面的極點數(shù)，為已知；Z——F(s)在s右半平面的零點數(shù)，即閉環(huán)傳函在s右半平面的極點數(shù)，待求的；R——開環(huán)奈氏曲線（:0）包圍(1，j0)點的圈數(shù)，逆時針為正，順時針為負(fù)。

奈氏判據(jù)：已知開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面根的個數(shù)為P，開環(huán)奈氏曲線（:0）包圍(1，j0)點的圈數(shù)為R，則閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面根的個數(shù)為Z，且有

Z

=PR

若Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)特征根均在s左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若Z0，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

或：

當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(P=0)，開環(huán)奈氏曲線不包圍(1,j0)點時，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(P0),開環(huán)奈氏曲線包圍(1,j0)點P圈時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例5-10判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解：由圖知（1）p=0且R=0

z=pR＝0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的ReIm0p=0

=0

ReIm01p=0

=0

（2）

p=0，R

2

z

pR

20

閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的（3）p=0，R0

z=pR＝0

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的ReIm01

=0

p=0試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：已知p=1頻率特性

例5-11一單位反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳函當(dāng)

=0，Gk(j0)=k180

當(dāng)

，Gk(j)=090

ReIm0

=0kj

01/T

z=pR=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的當(dāng)k>1，R=0，z=pR

=1

閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的ReIm0

=0k1當(dāng)k<1時，R=12.開環(huán)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)

由于與1/s對應(yīng)的開環(huán)極點是0，既不在s的左半平面，也不在s的右半平面，

并且s

會穿過這個極點。因此，奈氏判據(jù)不能直接應(yīng)用。

如果要應(yīng)用奈氏判據(jù)，需把零根視為穩(wěn)定根。

在數(shù)學(xué)上作如下處理：在平面上的s=0鄰域作一半徑為無窮小的半圓，使s繞過原點。0+0-=0j00js+ImRe0=0+增補線=0-s平面s映射

G(s)H(s)

正虛軸j(:0+)G(j)H(j)(

:0)

負(fù)虛軸j(:0-)G(j)H(j)(

:0)

半徑的半圓GH平面的原點小圓弧(:0-0+)增補線(半徑，從90°-90°)順時針旋轉(zhuǎn)1?180°

90°-

在

=0-到0+時，s平面上的這段小圓弧映射到G(j)H(j)平面上是一個半徑為無窮大，順時針旋轉(zhuǎn)N?180°

的大圓弧。把它視為奈氏曲線的一部分，如此處理之后，就可以根據(jù)奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。推廣到N型系統(tǒng):ImRe0=0+增補線=0-0js+重要結(jié)論:用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)，知p=0

（2）作開環(huán)極坐標(biāo)圖起點：Gk(j0+)=90

終點：Gk(j)=0270

與坐標(biāo)軸交點：例5-12已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為令虛部=0，得，系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖示：R=2z=pR=2

∴閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。所作的增補線如虛線所示。當(dāng)ImRe0=0+增補線1=0-當(dāng)R=0

z=pR=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。起點：Gk(j0+)=90

終點：Gk(j)=0270

例5-13已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為起點：Gk(j0+)=270

終點：Gk(j)=090

與坐標(biāo)軸交點：x=101/2

Re(x)=0.1k

開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖：0j-101用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)知

p=1（2）作開環(huán)極坐標(biāo)圖ImRe0=0++10.1k增補線=0=0--當(dāng)0.1k>

1時R=-1z=pR

=2

閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)穩(wěn)定性判別:因為是1型系統(tǒng)，需作增補線如圖。當(dāng)0.1k<

1時，R=1z=pR

=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Gk(j0+)=270

Gk(j)=090

3.由奈氏判據(jù)判穩(wěn)的實際方法（第一版）用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性時，一般只須繪制從0+時的開環(huán)幅相曲線，然后按其包圍(-1，j0)點的圈數(shù)R（逆時針為正，順時針為負(fù)）和開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面根的個數(shù)P，根據(jù)公式

Z

=P

2R來確定閉環(huán)特征方程正實部根的個數(shù)，如果Z=0，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個數(shù)為N，則繪制開環(huán)極坐標(biāo)圖后，應(yīng)從

=0+對應(yīng)的點開始，按逆時針方向畫一個半徑為，旋轉(zhuǎn)N90的大圓弧增補線，增補線的實際方向為順時針，把它視為奈氏曲線的一部分。然后再利用奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。重新做例5-10判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。（2）

p=0，R

1

z

p2R20

閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Rep=0

ReIm0

=0

解：由圖知（1）p=0且R=0

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01p=0

=0

重要結(jié)論：

把

=0+和=

的點連起來，若-1+j0在閉合曲線的里面，計1圈包圍(順時針為-，逆時針為+)；若-1+j0在連線上，計1/2圈包圍；否則，不包圍。（3）p=0，R0z=p-2R=0

閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01

=0

p=0重做例5-13

已知系統(tǒng)的開環(huán)傳函為起點：Gk(j0)=270

終點：Gk(j)=090

與坐標(biāo)軸交點：x=101/2

Re(x)=0.1k

開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖：0j-101用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：（1）從開環(huán)傳遞函數(shù)知

p=1（2）作開環(huán)極坐標(biāo)圖ImRe0=0++10.1k增補線=0-當(dāng)0.1k>

1時R=-1/2z=p2R

=2

閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。(3)穩(wěn)定性判別:因為是1型系統(tǒng)，需作增補線如圖。當(dāng)0.1k<

1時，R=1/2z=p2R

=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Gk(j0+)=270

Gk(j)=090

重要結(jié)論：

把

=0+和=

的點連起來，若-1+j0在閉合曲線的里面，計1圈包圍(順時針為-，逆時針為+)；若-1+j0在連線上，計1/2圈包圍；否則，不包圍。ReIm01(+)()5.4.4伯德圖上的穩(wěn)定性判據(jù)

由圖可知，幅相曲線是否包圍(1，j0)點。此結(jié)果也可以根據(jù)增加時幅相曲線自下向上(幅角減小，負(fù)穿越)和自上向下(幅角增加，正穿越)穿越實軸區(qū)間(，1)的次數(shù)決定。正穿越的次數(shù)用N+表示，負(fù)穿越的次數(shù)用N-表示：

R=N

N

自實軸區(qū)間（,1）開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實軸區(qū)間（,1）開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。上圖中，N＝1,

N=1故

R=N

N＝0結(jié)論一致ReIm01(+)()-180()/(°)0L()/dB()(+)(,1),A(w)>1,L(w)>0正負(fù)穿越次數(shù)還可以根據(jù)對數(shù)幅頻曲線確定！對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：

一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實部根個數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面極點數(shù)P

和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線與180

線的正負(fù)穿越次數(shù)之差R=N

N確定：

Z=P2RZ為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，不穩(wěn)定。也有半次穿越-180()/(°)0L()/dB()(+)(,1),A(w)>1例5-14

一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)

用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)知P=0，作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。

180()/(°)0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec

180()/(°)0270輔助線

G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié)

=2，故需要補畫0到180的輔助線。顯見在A(w)>1區(qū)間內(nèi)

N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。例5-15一反饋控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)

解：①由開環(huán)傳遞函數(shù)知P=1。②作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。

()=90+arctanT2(180arctanT1)（T1>T2）

當(dāng)()=180時，g

=(1/T1T2)1/2，A(g)=kT20j1/T21/T1求交點的2種方法：化成代數(shù)形式2.用幅角=-180°用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc（T1>T2）③穩(wěn)定性判別。G(s)H(s)有一個積分環(huán)節(jié)

=1，故補畫180到270的輔助線。(ⅰ)當(dāng)g<c時，即A(g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系統(tǒng)穩(wěn)定。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc(ⅱ)當(dāng)g>c時，即A(g)<1，N

=0，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc

根據(jù)奈氏判據(jù)，系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線在臨界點(-1+j0)附近的形狀，對閉環(huán)穩(wěn)定性影響很大。對于最小相位系統(tǒng)來說越接近臨界點穩(wěn)定程度越差。

定義了兩個表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)：

相角裕度和幅值裕度h。ReIm0-1ReIm0-15.5開環(huán)頻率指標(biāo)

5.5.1穩(wěn)定裕度

（1）幅值裕度h

：令相角為180時對應(yīng)的頻率為g

（相角穿越頻率），頻率為g時對應(yīng)的幅值A(chǔ)(g)的倒數(shù)，定義為幅值裕度h

，即（2）相角裕度

：令幅頻特性過零分貝時的頻率為c

（幅值穿越頻率），則定義相角裕度

為=(c)

－(－180）＝180+(c)或20lgh=20lgA(g)ReIm0-1A(g)c

h

具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)增益增大到原來的h倍時，則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定了。ReIm0-1A(g)c

對于最小相位系統(tǒng)，

h>1，系統(tǒng)穩(wěn)定；越大穩(wěn)定程度越好

具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性變化(減小)角度時，則系統(tǒng)就成為臨界穩(wěn)定了。

對于最小相位系統(tǒng)，>0,h>1，系統(tǒng)穩(wěn)定；越大穩(wěn)定程度越好；<0,h<1,系統(tǒng)不穩(wěn)定。ReIm0-1A(g)c

180()/(°)0L()/dBcg20lgA(wg)(dB)在對數(shù)曲線上h

具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么開環(huán)對數(shù)幅頻特性再向上移動20lgh分貝，則系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定了。

具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)相頻特性減小角度時，則系統(tǒng)就成為臨界穩(wěn)定了。20lgh=20lgA(g)ImRe0

=

=010ReIm1=0值大

一階、二階系統(tǒng)的總是>0,h總是>1。理論上不會不穩(wěn)定。但實際上，由于有些系統(tǒng)是近似的，經(jīng)降階處理的，因此開環(huán)增益也不能無窮大，否則也可能不穩(wěn)定。和h作為開環(huán)頻域性能指標(biāo)，分析和設(shè)計時用它們的定量值來描述。使用時是成對使用的，有時僅采用一個，如經(jīng)常使用

，這對分析系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性沒有什么影響，但在

較大，而h較小時

，對系統(tǒng)的動態(tài)性能影響較大。例5-16

已知單位負(fù)反饋的最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖示，試求開環(huán)傳遞函數(shù)；計算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為c=3.16L()/dB140dB/dec(-2)1020dB/dec60dB/dec3.16重要結(jié)論：采用折線法計算幅值時，在轉(zhuǎn)折頻率前只考慮各因式的實部，之后只考慮因式的虛部。重要結(jié)論：若出現(xiàn)－40db的下降，在沒有標(biāo)注ξ時，默認(rèn)為ξ

＝1()=arctan

180

2arctan0.1=180+(c)=arctan3.162arctan0.316=37.4當(dāng)(g)=180時，求得g=8.94k=c=3.16因為

>0,h>1，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

180()/(°)0L()/dBcg-20lgh(dB)

為了獲得滿意的性能，要求系統(tǒng)有450～750的相角裕度。這可以通過減小k來達(dá)到。但k太小會使穩(wěn)態(tài)誤差變大，需采用校正技術(shù)，達(dá)到滿意