自動控制理論第七章 非線性系統(tǒng)

第七章非線性系統(tǒng)的分析系統(tǒng)的非線性程度比較嚴重，無法用小范圍線性化方法化為線性系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。有兩種情況：

（1）系統(tǒng)中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進的非線性。7.1基本概念1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應的性質(zhì)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且還與輸入信號及初始條件有關(guān)。即可能在某個初始條件下穩(wěn)定，而在另一個初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。2、線性系統(tǒng)只有兩種基本運動形式：發(fā)散（不穩(wěn)定）和收斂（穩(wěn)定）。非線性系統(tǒng)除了發(fā)散和收斂兩種運動形式外，即使無外界作用，也可能會發(fā)生自持振蕩。一、非線性系統(tǒng)的特點3、在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的輸出是同頻率正弦信號。非線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號。4、線性系統(tǒng)分析可用迭加原理，在典型輸入信號下系統(tǒng)分析的結(jié)果也適用于其它情況。非線性系統(tǒng)不能應用迭加原理，沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。對非線性系統(tǒng)分析研究的重點是：（1）系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）有無自持振蕩；（3）若存在自持振蕩，確定自持振蕩的頻率和振幅；（4）研究消除或減弱自持振蕩的方法。二、典型非線性系統(tǒng)及對系統(tǒng)性能的影響1、死區(qū)非線性常見于測量、放大元件中。死區(qū)非線性特性導致系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，且用提高增量的方法也無法消除。2、飽和非線性常見于放大器中，在大信號作用下，放大倍數(shù)小，因而降低了穩(wěn)態(tài)精度。3、間隙非線性常見于齒輪傳動機構(gòu)、鐵磁元件的磁滯現(xiàn)象。可使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大，也使系統(tǒng)的動態(tài)特性變差。4、繼電器特性繼電器特性中包含了死區(qū)、回環(huán)和飽和特性，因此對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能和穩(wěn)定性都有不利影響。三、非線性系統(tǒng)的分析方法1、相平面法時域方法2、描述函數(shù)法頻域方法相平面法是一種時域分析方法。設非線性系統(tǒng)框圖如圖所示，其中N表示非線性環(huán)節(jié)，G(S)是線性部分的傳遞函數(shù)。7.2非線性系統(tǒng)的相平面分析方法用相平面法分析非線性系統(tǒng)，線性部分傳遞函數(shù)G(S)必須是二階。線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：相平面圖是在平面中，繪制隨時間t變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點是。奇點是指的點。根據(jù)奇點附近相軌跡的特征，奇點有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運動的性質(zhì)。一、線性二階系統(tǒng)奇點的類型1、無阻尼運動二階系統(tǒng)的極點分布和相平面圖如下無阻尼運動時，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個橢圓代表一個簡諧運動。這樣的奇點稱為中心點。2、欠阻尼運動系統(tǒng)的自由運動是衰減振蕩。相軌跡是對數(shù)螺旋線，收斂于原點。奇點稱為穩(wěn)定焦點。3、過阻尼運動系統(tǒng)的自由運動是非周期地趨向于原點。相軌跡是趨于原點的拋物線，原點是奇點，稱為穩(wěn)定節(jié)點。4、系統(tǒng)的自由運動是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點出發(fā)的螺旋線，原點處的奇點稱為不穩(wěn)定焦點。5、

系統(tǒng)的運動是非周期發(fā)散運動。相軌跡是由原點出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點處的奇點稱為不穩(wěn)定節(jié)點。6、是對稱于原點的實數(shù)系統(tǒng)的自由運動是發(fā)散運動，原點處的奇點稱為鞍點。以上6種奇點，類似的奇點在非線性系統(tǒng)中也常見到。二、非線性系統(tǒng)的相平面分析借助Matlab等軟件工具可以方便地繪制非線性系統(tǒng)的相平面圖。例1：有死區(qū)繼電器非線性的系統(tǒng)框圖如下系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，該二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率，阻尼比，根據(jù)前面對奇點的分類，可知為穩(wěn)定焦點。二、非線性系統(tǒng)的相平面分析繼電器的輸入－輸出關(guān)系為在平面，根據(jù)繼電器的非線性特性，可分為三個區(qū)域，

設初始狀態(tài)，，繪制相軌跡如圖所示，(設r=3)

根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡，可對系統(tǒng)的性能分析如下：2、相軌跡最后沒有到達原點，即，說明系統(tǒng)在階躍信號輸入下，存在穩(wěn)態(tài)誤差，引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因是死區(qū)繼電器特性。系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)表明，系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)，對階躍響應的穩(wěn)態(tài)誤差應為0，可見死區(qū)繼電器非線性對穩(wěn)態(tài)精度的影響。1、系統(tǒng)的相軌跡收斂于A點，是穩(wěn)定的，奇點為穩(wěn)定焦點。e是單調(diào)衰減的。例2：非線性系統(tǒng)框圖如下其中繼電器回環(huán)特性的參數(shù)M=0.2，a=0.2。系統(tǒng)的線性部分是欠阻尼情況，奇點是穩(wěn)定焦點。非線性環(huán)節(jié)的輸入－輸出關(guān)系為y＝

M

或－M

或根據(jù)上述關(guān)系，可將平面分為二個區(qū)域。分別繪制初始狀態(tài)分別為和的兩條相軌跡。從圖知，無論從哪一組初始條件出發(fā)，相軌跡均收斂于極限環(huán)，這是一個穩(wěn)定的極限環(huán)，意味著系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。一般不希望系統(tǒng)有自持振蕩。當振蕩難以消除時，應盡量將振蕩限制在一個較小的、可以接收的范圍內(nèi)。實際上，對于此系統(tǒng)，通過減少繼電器回環(huán)的寬度a，可減小振蕩。相平面法是分析非線性系統(tǒng)的一種時域法、圖解法，不僅可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩（極限環(huán)），而且可以求取系統(tǒng)的動態(tài)響應。這種方法只運用于二階系統(tǒng)，但由于一般高階系統(tǒng)又可用二階系統(tǒng)來近似，因此相平面法也可用于高階系統(tǒng)的近似分析。

7.3描述函數(shù)法描述函數(shù)是非線性特性的一種近似表示，是一種諧波線性化方法，忽略非線性環(huán)節(jié)輸出中的高次諧波，用基波分量表示其輸出。描述函數(shù)法主要用于分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性、自振蕩特性及消除自振蕩的方法。雖然是一種近似方法,但對常見實際非線性系統(tǒng)而言,分析結(jié)果基本滿足工程需要,在非線性系統(tǒng)分析及設計中得到了廣泛應用。設非線性環(huán)節(jié)的輸入為：其輸出的穩(wěn)定分量y是與x同周期的非正弦周期信號，可用傅氏級數(shù)表示：式中由于y的高次諧波幅值小于基波幅值，且系統(tǒng)的線性部分都具有低通濾波性質(zhì)，可以假設只有基波分量起作用，而將高次諧波忽略不計。設非線性特性為對稱型，則傅氏級數(shù)中的直流分量y的基波為非線性特性的描述函數(shù)定義為這是一個復函數(shù)，模為輸出基波幅值與輸入幅值之比，相角是輸出基波對輸入的相位移。描述函數(shù)N(X)表示了當x為正弦信號時，輸出基波分量與x在幅值和相位上的關(guān)系。一、描述函數(shù)的定義1、死區(qū)非線性的描述函數(shù)二、典型非線性特性的描述函數(shù)2、理想繼電器非線性的描述函數(shù)表7-1常見非線性特性描述函數(shù)許多包含非線性環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng),經(jīng)過對方框圖的變換及簡化,都可以表示成由線性部分G（s）（低通濾波器）與非線性部分N相串聯(lián)的系統(tǒng)。如圖所示對非線性系統(tǒng)進行分析時,必然要分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及是否產(chǎn)生自振蕩。非線性系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)7.4非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析描述函數(shù)法對系統(tǒng)穩(wěn)定性、產(chǎn)生自振蕩的條件、自振蕩的振幅及頻率、消除自振蕩的途徑等問題,都可得出較為符合實際的結(jié)果。自振蕩是非線性系統(tǒng)內(nèi)部自發(fā)的持續(xù)振蕩,與外加給定信號及干擾信號無關(guān),可認為r(t)=0,n(t)=0。和相平面法不同，諧波平衡法對非線性環(huán)節(jié)進行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。非線性系統(tǒng)的特征方程為即：稱為描述函數(shù)的負倒幅特性。如果滿足上式，表示與有交點，此時非線性系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，這相當于線性系統(tǒng)的極坐標圖在復平面中穿過（－1，j0）點。將非線性的負倒幅特性和線性部分的極坐標圖繪制在一個復平面中，根據(jù)二者的相對位置可分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定一、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩圖示系統(tǒng)在a點產(chǎn)生穩(wěn)定的自持振蕩。由交點可確定自持振蕩的頻率和幅值。二、非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定二、非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定三、非線性系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩

例：，是與負實軸重合的直線。結(jié)論：該非線性系統(tǒng)存在自持振蕩，振蕩頻率為，振幅為2.1。描述函數(shù)法是一種頻域法，基于諧波線性化的近似分析方法。其基本思想是首先通過描述函數(shù)將非線性環(huán)節(jié)線性化，然后應用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)進行分析。描述函數(shù)法在應用時是有條件限制的，其應用條件是：（i）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡化成只有一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分串聯(lián)的典型負反饋結(jié)構(gòu)。若不是這種典型結(jié)構(gòu)，則必需首先利用系統(tǒng)中信號間的傳遞關(guān)系簡化成這種典型結(jié)構(gòu)，才能應用描述函數(shù)法做進一步的分析。（ii）非線性環(huán)節(jié)的靜特性曲線是奇對稱的。（iii）線性部分應具有良好的高頻衰減特性。（iv）只能用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

（i）首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(X)。（ii）分別畫出線性部分的G(j)曲線和非線性部分的1/N(X)曲線。（iii）用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性和自振蕩，若存在穩(wěn)定的自振蕩，則進一步求出自振蕩的振幅和頻率。描述函數(shù)法分析穩(wěn)定性和自振蕩的一般步驟是：特別強調(diào)的是，應用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)，其結(jié)果的準確程度取決于線性部分高頻衰減特性的強弱。在對數(shù)坐標圖上，取決于L()曲線高頻段的斜率和位置，其高頻段斜率越負，位置越低，高頻衰減特性越強，分析結(jié)果就越準確。

非線性系統(tǒng)的運動形態(tài)是十分豐富的，非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是不滿足疊加原理。直到現(xiàn)在非線性系統(tǒng)理論的研究還在不斷進行中，目前由于缺少處理各種非線性問題的一般方法，非線性系統(tǒng)研究的重點通常在系統(tǒng)穩(wěn)定性分析上，討論非線性系統(tǒng)動態(tài)性能問題的條件尚不成熟。

第七章小結(jié)1、基本要求通過本章學習，應該達到：（1）正確理解相平面圖的基本概念。（2）熟練掌握線性二階系統(tǒng)的典型相平面圖及其特征。（3）掌握運用相平面法分析非線性系統(tǒng)的動態(tài)響應的方法和步驟。（4）正確理解描述函數(shù)的基本思想和應用條件。（5）準確理解描述函數(shù)的定義、物理意義和求法，并會靈活應用。（6）熟練掌握理想繼電特性、死區(qū)繼電特性、滯環(huán)繼電特性和死區(qū)特性等典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)，并會運用典型非線性特性的串并聯(lián)分解求取復雜非線性特性的描述函數(shù)。（7）熟練掌握運用諧波平衡法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩的方法和步驟，并能正確計算自振蕩的振幅和頻率。2．內(nèi)容提要及小結(jié)本章介紹了非線性系統(tǒng)的兩種基本分析方法：相平面法和諧波平衡法。（1）相平面法是分析非線性系統(tǒng)的一種時域法、圖解法，不僅可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩（極限環(huán)），而且可以求取系統(tǒng)的動態(tài)響應。這種方法只運用于二階系統(tǒng)，但由于一般高階系統(tǒng)又可用二階系統(tǒng)來近似，因此相平面法也可用于高階系統(tǒng)的近似分析。

（2）相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（i）首先選擇合適的相平面坐標，并根據(jù)非線性特性將相平面劃分成若干個線性區(qū)域。若系統(tǒng)沒有外部輸入，而是分析初始條件下系統(tǒng)的動態(tài)過程，可選取系統(tǒng)的輸出量c及其導數(shù)，作為相坐標。當系統(tǒng)有階躍或斜坡輸入時，選取系統(tǒng)的誤差

e和

作為相坐標，會更為方便。（ii）根據(jù)系統(tǒng)的微分方程式繪制各區(qū)域的相軌跡。（iii）把相鄰區(qū)域的相軌跡，在區(qū)域的邊界上適當連接起來，便得到系統(tǒng)的相平面圖。然后根據(jù)相平面圖，進一步分析系統(tǒng)的動態(tài)響應。

（3）諧波平衡法法這是一種頻域法，基于諧波線性化的近似分析方法。其基本思想是首先通過描述函數(shù)將非線性環(huán)節(jié)線性化，然后應用線性系統(tǒng)的頻率法對系統(tǒng)進行分析。描述函數(shù)法在應用時是有條件限制的，其應用條件是：（i）非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡化成只有一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分串聯(lián)的典型負反饋結(jié)構(gòu)。若不是這種典型結(jié)構(gòu)，則必需首先利用系統(tǒng)中信號間的傳遞關(guān)系簡化成這種典型結(jié)構(gòu)，才能應用描述函數(shù)法做進一步的分析。（ii）非線性環(huán)節(jié)的靜特性曲線是奇對稱的。（iii）線性部分應具有良好的高頻衰減特性。（iv）只能用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩。

（5）

描述函數(shù)N(X)的計算及其物理意義描述函數(shù)N(X)可以從定義式出發(fā)求得，一般步驟是：（i）首先畫出非線性特性在正弦信號輸入下的輸出波形，并寫出輸出波形的數(shù)學表達式。（ii）利用付氏級數(shù)求出輸出的基波分量。（iii）將求得的基波分量代入定義式，即得N(X)。對于復雜的非線性特性也可以將其分解為若干簡單的典型非線性特性的串并聯(lián)，然后再由已知的這些簡單非線性特性的描述函數(shù)求出復雜非線性特性的描述函數(shù)。描述函數(shù)的物理意義是描述了一個非線性元件對基波正弦量的傳遞能力。

（6）諧波平衡法法分析穩(wěn)定性和自振蕩的一般步驟是：（i）首先求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(X)。（ii）分別畫出線性部分的G(j)曲線和非線性部分的1/N(X)曲線。（iii）用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性和自振蕩，若存在穩(wěn)定的自振蕩，則進一步求出自振蕩的振幅和頻率。特別強調(diào)的是，應用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)，其結(jié)果的準確程度取決于線性部分高頻、衰減特性的強弱。在對數(shù)坐標圖上，取決于L()曲線高頻段的斜率和位置，其高頻段斜率越負，位置越低，高頻衰減特性越強，分析結(jié)果就越準確。

設三個非線性系統(tǒng)的負倒幅特性和幅相頻率特性如下圖a）、b）c）所示。試用描述函數(shù)法定性分析這三個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)如圖(a)所示,-1／N(A)曲線不被G(j)曲線所包圍,則非線性系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)如圖(b)所示,-1／N(A)曲線被G(j)曲線所包圍,,則非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定。(3)如圖(c)所示,在復平面上,-1／N(A)曲線與G(j)曲線相交,則在非線性系統(tǒng)中產(chǎn)生周期性振蕩。圖中-1／N(A)曲線與G(j)曲線有兩個交點a和b。在a點隨著A的增加-1／N(A)曲線從不穩(wěn)定區(qū)到穩(wěn)定區(qū)，因此a點是穩(wěn)定的等幅振蕩點,形成可觀察到的穩(wěn)定自持振蕩。