自動(dòng)控制原理根軌跡

第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法4-1根軌跡法的基本概念4-2根軌跡繪制的基本法則4-3廣義根軌跡4-4系統(tǒng)性能的分析第四章線性系統(tǒng)的根軌跡法

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1根軌跡法的基本概念C(s)R(s)-20j-20jG(s)C(s)R(s)H(s)第二節(jié)繪制根軌跡的基本法則2、根軌跡的對(duì)稱性：一般物理系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是實(shí)數(shù)，其根必為實(shí)根或共軛復(fù)根。即位于復(fù)平面的實(shí)軸上或?qū)ΨQ于實(shí)軸。

用解析法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面討論的內(nèi)容通過研究根軌跡和開環(huán)零極點(diǎn)的關(guān)系，根軌跡的特殊點(diǎn)，漸近線和其他性質(zhì)將有助于減少繪圖工作量，能夠較迅速地畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。以下的討論是針對(duì)參數(shù)的180度根軌跡的性質(zhì)。1、根軌跡的連續(xù)性：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的某些系數(shù)是增益的函數(shù)。當(dāng)從0到無窮變化時(shí)，這些系數(shù)是連續(xù)變化的。故特征方程的根是連續(xù)變化的，即根軌跡曲線是連續(xù)曲線。4、根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：

根軌跡方程為：時(shí)為起點(diǎn)，時(shí)為終點(diǎn)。3、根軌跡的支數(shù)：

n階特征方程有n個(gè)根。當(dāng)從0到無窮大變化時(shí)，n個(gè)根在復(fù)平面內(nèi)連續(xù)變化組成n支根軌跡。即根軌跡的支數(shù)等于系統(tǒng)階數(shù)。當(dāng)時(shí)，只有時(shí)，上式才能成立。而是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)，所以根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)。n階系統(tǒng)有n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，分別是n支根軌跡的起點(diǎn)。

我們稱系統(tǒng)有n-m個(gè)無限遠(yuǎn)零點(diǎn)。有限值零點(diǎn)加無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于極點(diǎn)數(shù)。

那么，n-m支根軌跡是如何趨于無限遠(yuǎn)呢？當(dāng)時(shí)，①，上式成立。是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點(diǎn)，有m個(gè)。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點(diǎn)在m個(gè)有限零點(diǎn)處。②若n>m，那么剩余的n-m個(gè)終點(diǎn)在哪里呢？在無窮遠(yuǎn)處。由根軌跡方程知：當(dāng)時(shí)5.根軌跡的漸近線：若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)m小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n，則當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)增益Kg→∞時(shí)趨向無窮遠(yuǎn)處的根軌跡共有n-m條。這n-m條根軌跡趨向無窮遠(yuǎn)的方位可由漸近線決定。由根軌跡方程可得：式中，當(dāng)Kg→∞，由于m<n，故s→∞滿足根軌跡方程，上式近似為兩邊開n-m次方利用二項(xiàng)式定理當(dāng)時(shí)，，令，設(shè)s=x+jy,利用－1=cos(2k+1)π+jsin(2k+1)π，并根據(jù)代數(shù)定理(cosq+jsinq)n=cos(nq)+jsin(nq)，上式可寫為這是與實(shí)軸交點(diǎn)為s，斜率為的直線方程。也就是漸近線方程。漸近線與實(shí)軸的夾角(稱為漸近線的傾斜角)為5.根軌跡的漸近線：漸近線包括兩個(gè)內(nèi)容：漸近線的傾角和漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。傾角：設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn)，則s平面上所有的開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到的相角都相等，即為漸近線的傾角。代入根軌跡的相角條件得：規(guī)定：相角逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)假設(shè)根軌跡在無限遠(yuǎn)處有一點(diǎn)，則s平面上所有開環(huán)有限零點(diǎn)和極點(diǎn)到的矢量長度都相等?？梢哉J(rèn)為：對(duì)無限遠(yuǎn)閉環(huán)極點(diǎn)而言，所有的開環(huán)有限零點(diǎn)、極點(diǎn)都匯集在一起，其位置為，這就是漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)。幅值條件[例4-2]系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為，試確定根軌跡支數(shù)，起點(diǎn)和終點(diǎn)。若終點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)處，求漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)和傾角。[解]：根軌跡有3支。起點(diǎn)為開環(huán)極點(diǎn)無有限值零點(diǎn)，所以三支根軌跡都趨向無窮遠(yuǎn)。漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)：漸近線與實(shí)軸的傾角：零極點(diǎn)分布和漸近線（紅線）如圖所示。6、實(shí)軸上的根軌跡：

實(shí)軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方開環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)。[證明]：例如在實(shí)軸上有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2，復(fù)平面上有一對(duì)共軛極點(diǎn)p3、p4和一對(duì)共軛零點(diǎn)z1、z2。先看試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)：所以s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件，于是[－p2,－p1]為實(shí)軸上的根軌跡。②成對(duì)出現(xiàn)的共軛零點(diǎn)z1、z2對(duì)實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0°；③試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn)p2對(duì)試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為0°；④試探點(diǎn)右邊的極點(diǎn)p1對(duì)試探點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為180°；再看s2點(diǎn)：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn)。①成對(duì)出現(xiàn)的共軛極點(diǎn)p3、p4對(duì)實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0°；同樣s3點(diǎn)也不是根軌跡上的點(diǎn)。[例4-3]設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試求實(shí)軸上的根軌跡。[解]：零極點(diǎn)分布如下：紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：[-10，-5]和[-2，-1]。注意在原點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)，雙重極點(diǎn)用“”表示。7、根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)：若干根軌跡在復(fù)平面上某一點(diǎn)相遇后又分開，稱該點(diǎn)為分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)。如圖所示某系統(tǒng)的根軌跡，由開環(huán)極點(diǎn)出發(fā)的兩支根軌跡，隨著的增大在實(shí)軸上A點(diǎn)相遇再分離進(jìn)入復(fù)平面。隨著的繼續(xù)增大，又在實(shí)軸上B點(diǎn)相遇并分別沿實(shí)軸的左右兩方運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，一支根軌跡終止于另一支走向。A、B點(diǎn)稱為根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)。一般說來，若實(shí)軸上兩相鄰開環(huán)極點(diǎn)之間有根軌跡，則這兩相鄰極點(diǎn)之間必有分離點(diǎn)；如果實(shí)軸上相鄰開環(huán)零點(diǎn)（其中一個(gè)可為無窮遠(yuǎn)零點(diǎn)）之間有根軌跡，則這相鄰零點(diǎn)之間必有會(huì)合點(diǎn)。如果實(shí)軸上根軌跡在開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)之間，則它們之間可能既無分離點(diǎn)也無會(huì)合點(diǎn)，也可能既有分離點(diǎn)也有會(huì)合點(diǎn)。[分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)的求法]：由重根法，求極值法和作圖法等。①重根法：根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)表示這些點(diǎn)是閉環(huán)特征方程的重根點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：即[分離角]：在分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)上，根軌跡的切線和實(shí)軸的夾角稱為分離角。與相分離的根軌跡的支數(shù)l有關(guān)：因閉環(huán)特征方程為：設(shè)時(shí)，特征方程有重根，則必同時(shí)滿足由此得：即：注意：由上式可求得的點(diǎn)是分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必要條件，還需求出這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的增益，若增益為大于零的實(shí)數(shù)，則所求出的點(diǎn)為分離會(huì)合點(diǎn)。②極值法：若以Kg為縱坐標(biāo)，以實(shí)軸為橫坐標(biāo)，在根軌跡的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)上，Kg具有極值。即③求分離回合點(diǎn)的另一個(gè)公式設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：因閉環(huán)特征方程為：即閉環(huán)特征方程為重根時(shí)還滿足[例4-4]單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定實(shí)軸上根軌跡的會(huì)合點(diǎn)和分離點(diǎn)的位置。實(shí)軸上根軌跡區(qū)間是：注意：分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)也可能出現(xiàn)在復(fù)平面上，由于根軌跡對(duì)稱于實(shí)軸，所以，復(fù)平面上的分離點(diǎn)和會(huì)合點(diǎn)必對(duì)稱于實(shí)軸。顯然，分離回合點(diǎn)為-0.4725，而-3.5275不是分離回合點(diǎn)。[解]：閉環(huán)特征方程為：8、起始角與終止角

當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有復(fù)數(shù)極點(diǎn)或零點(diǎn)時(shí)，根軌跡是沿著什么方向離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)或進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)的呢？這就是所謂的起始角和終止角問題,先給出定義如下：

⑴起始角根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處在切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖（a）中的和。

⑵終止角根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線方向與實(shí)軸正方向的夾角。參看圖（b）中的和。圖(a)根軌跡的起始角和終止角

圖(b)根軌跡的起始角和終止角

通過例來分析起始角與終止角的大小。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

且和為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，和分別為實(shí)極點(diǎn)和實(shí)零點(diǎn)，它們在S平面上的分布如圖所示。試依據(jù)相角條件求出根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)和的起始角和。

對(duì)于根軌跡上無限靠近p1的點(diǎn)A，由相角條件可得

由于A點(diǎn)無限靠近點(diǎn)，

推廣為一般情況可得求起始角的關(guān)系式為同理，可得到求終止角的關(guān)系式為8、根軌跡的出射角和入射角：當(dāng)開環(huán)零、極點(diǎn)處于復(fù)平面上時(shí)，根軌跡離開的出發(fā)角稱為出射角；根軌跡趨于復(fù)零點(diǎn)的終止角成為入射角。如圖：圖中有四個(gè)開環(huán)極點(diǎn)，一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。為共軛極點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)算的出射角。設(shè)為。在離開附近的根軌跡上取一點(diǎn)s1,則s1點(diǎn)應(yīng)滿足相角條件：當(dāng)時(shí)，即為離開根軌跡上的出射角，，則：式中：為除了以外的開環(huán)極點(diǎn)到的矢量的相角；為開環(huán)零點(diǎn)到的矢量的相角。同樣，進(jìn)入復(fù)零點(diǎn)的根軌跡入射角為：式中：為除了以外的開環(huán)零點(diǎn)到的矢量相角；為各開環(huán)極點(diǎn)到的矢量相角。的出射角應(yīng)與的出射角關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。[例4-5]如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的出射角。[解]：根據(jù)對(duì)稱性，可知點(diǎn)的出射角為：相角要注意符號(hào)；逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)；注意矢量的方向。[注意]：9、根軌跡和虛軸的交點(diǎn)：根軌跡和虛軸相交時(shí)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。則閉環(huán)特征方程至少有一對(duì)共軛虛根。這時(shí)的增益稱為臨界根軌跡增益。交點(diǎn)和

的求法：

在閉環(huán)特征方程中令

，然后使特征方程的實(shí)、虛部為零即可求出

和

。

由勞斯穩(wěn)定判據(jù)求解。方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：[例4-6]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和。當(dāng)時(shí)，為根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn)）當(dāng)

時(shí)，

，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為

。方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程

的根。1、令，得臨界增益為：2、令，得（開環(huán)極點(diǎn)）。10、閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)之和與之積：開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：(1)設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為：

，則(2)比較（1）、（2）式得：

當(dāng)n-m>=2時(shí)，

即：對(duì)于任意的

，閉環(huán)極點(diǎn)之和等于開環(huán)極點(diǎn)之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)

變化時(shí)，部分閉環(huán)極點(diǎn)在復(fù)平面上向右移動(dòng)（變大），則另一些極點(diǎn)必然向左移動(dòng)（變?。?。

閉環(huán)極點(diǎn)之積為：

根據(jù)上述10個(gè)性質(zhì)（或準(zhǔn)則），可以大致畫出根軌跡的形狀。為了準(zhǔn)確起見，可以用相角條件試探之。當(dāng)有為零的開環(huán)極點(diǎn)：根軌跡作圖步驟一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺；二、實(shí)軸上的根軌跡；三、n-m條漸近線；四、根軌跡的出射角、入射角；五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)；六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)；結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和及之積等性質(zhì)畫出根軌跡。⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離會(huì)合點(diǎn)，這也可將代入得為復(fù)數(shù)。⒊漸近線[例]開環(huán)傳遞函數(shù)為：

，畫根軌跡。⒋出射角，⒌求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為解：⒈求出開環(huán)零極點(diǎn)，即：⒉實(shí)軸上的根軌跡：(－∞，0]將代入得：⒍求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程由圖知這兩點(diǎn)都在根軌跡上，所以都是分離會(huì)合點(diǎn)。例已知開環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制K由時(shí)的閉環(huán)根軌跡。解：1、根軌跡分支數(shù)：42、實(shí)軸上的根軌跡：（－20，0）3、漸近線：4、根軌跡的起始角5、分離點(diǎn)d6、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)

小結(jié)

需掌握繪制根軌跡的十個(gè)準(zhǔn)則根軌跡的連續(xù)性和對(duì)稱性；根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和漸進(jìn)線；根軌跡實(shí)軸上的點(diǎn)和根軌跡的分離點(diǎn)，會(huì)合點(diǎn)；根軌跡的出射角、入射角和虛軸的交點(diǎn)；閉環(huán)極點(diǎn)之積和之和。4－3廣義根軌跡廣義根軌跡：（1）參數(shù)根軌跡--除開環(huán)增益K以外的參數(shù)變化；（2）開環(huán)傳遞函數(shù)中零點(diǎn)個(gè)數(shù)多于極點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)的根軌跡；（3）零度根軌跡。一、參數(shù)根軌跡---開環(huán)增益K以外的參數(shù)變化時(shí)的閉環(huán)根軌跡1、引入等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)概念其中A為除K以外任意變化的參數(shù)，P(s)和Q(s)是與變化的參數(shù)A無關(guān)的首一多項(xiàng)式，得到等效系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)2、作時(shí)的根軌跡。C(s)R(s)_C(s)R(s)_C(s)R(s)_系統(tǒng)Ⅰ系統(tǒng)Ⅱ系統(tǒng)Ⅲ例1設(shè)位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖示。系統(tǒng)Ⅰ為比例控制系統(tǒng)，系統(tǒng)Ⅱ?yàn)楸壤⒎挚刂葡到y(tǒng)，系統(tǒng)Ⅲ為測速反饋控制系統(tǒng)，表示微分器時(shí)間常數(shù)。試分析對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：系統(tǒng)Ⅱ和Ⅲ具有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，即但閉環(huán)傳遞函數(shù)是不相同的，即但兩者具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)。兩者的閉環(huán)特征方程為可改寫為構(gòu)造了一個(gè)新系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖為C(s)R(s)_新系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制參量根軌跡的步驟：

列出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程；以特征方程中不含參變量的各項(xiàng)除特征方程，得等效的系統(tǒng)根軌跡方程。該參量稱為等效系統(tǒng)的根軌跡增益。用已知的方法繪制等效系統(tǒng)的根軌跡，即為原系統(tǒng)的參量根軌跡。例已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制以時(shí)間常數(shù)T為可變參數(shù)的根軌跡。

解⑴系統(tǒng)的特征方程是或用去除等式兩邊得令

則有

我們稱為系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)。在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中，除時(shí)間常數(shù)T取代了普通根軌跡中開環(huán)根軌跡增益的位置外，其形式與繪制普通根軌跡的開環(huán)傳遞函數(shù)完全一致，這樣便可根據(jù)繪制普通根軌跡的七條基本規(guī)則來繪制參數(shù)根軌跡。⑵系統(tǒng)特征方程的最高階次是3，由規(guī)則一和規(guī)則二知，該系統(tǒng)有三條連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)軸的根軌跡，根軌跡的終點(diǎn)(T=∞)是等效開環(huán)傳遞函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)，即；本例中，系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)的零點(diǎn)數(shù)m=3,極點(diǎn)數(shù)n=2，即m＞n。我們在前面已經(jīng)指出，這種情況在實(shí)際物理系統(tǒng)中一般不會(huì)出現(xiàn)，然而在繪制參數(shù)根軌跡時(shí)，其等效開環(huán)傳遞函數(shù)卻常常出現(xiàn)這種情況。與n＞m情況類似，這時(shí)我們認(rèn)為有m-n條根軌跡起始于S平面的無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。因此，本例的三條根軌跡的起點(diǎn)(T=0)分別為，和無窮遠(yuǎn)處（無限極點(diǎn)）。由規(guī)則三知，實(shí)軸上的根軌跡是實(shí)軸上-1至-∞線段。由規(guī)則六可求出兩個(gè)等效開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)的起始角分別為

由規(guī)則七可求出根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用代入特征方程得由此得到虛部方程和實(shí)部方程分別為解虛部方程得的合理值為，代入實(shí)部方程求得秒，所以為根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn)。時(shí)間常數(shù)時(shí)：系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，T>1時(shí)：根軌跡在S平面右半部，系統(tǒng)不穩(wěn)定。二、零度根軌跡在下面兩種情況下，繪制根軌跡要按零度根軌跡繪制法則：（1）非最小相位系統(tǒng)中包涵s最高次冪的系數(shù)為負(fù)的因子；（2）正反饋系統(tǒng)。根軌跡方程為幅值方程與常規(guī)根軌跡相同，而相角方程不同，因?yàn)槔L制零度根軌跡時(shí)，要對(duì)常規(guī)根軌跡的部分法則作修改：法則3實(shí)軸上的根軌跡應(yīng)為：實(shí)軸上的某一區(qū)域，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)，則該區(qū)域必是根軌跡。法則4漸近線的交角應(yīng)為：法則5根軌跡的起始角和終止角應(yīng)為：例單位正反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制根軌跡。解：1、根軌跡的分支數(shù)：3開環(huán)極點(diǎn)：開環(huán)零點(diǎn)：2、實(shí)軸上的根軌跡段：3、漸近線：4、起始角：4、分離點(diǎn)坐標(biāo)：利用模值方程三、系統(tǒng)中有兩個(gè)參數(shù)同時(shí)變化時(shí)的根軌跡例單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)其中K可自行選定。試分析時(shí)間常數(shù)T對(duì)系統(tǒng)性能的影響。解：閉環(huán)特征方程為

四、附加開環(huán)零點(diǎn)的作用例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為其中z1為附加的開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)。

例系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)以上兩幅圖，附加零點(diǎn)分別為－3、－1，從穩(wěn)定性來看：（b)優(yōu)于（a）從動(dòng)態(tài)性能來看：（a)優(yōu)于(b)。（a）圖：主導(dǎo)極點(diǎn)可為共軛復(fù)數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)可近似為一個(gè)二階振蕩系統(tǒng)；（b）圖：閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為實(shí)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)等價(jià)為一階系統(tǒng)。第五章線性系統(tǒng)的頻率法分析頻率特性的基本概念頻率特性的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖頻率特性的極坐標(biāo)圖奈魁斯特穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定裕度閉環(huán)系統(tǒng)的性能分析本章主要內(nèi)容

考察一個(gè)系統(tǒng)的好壞，通常用階躍輸入下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)來分析系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。有時(shí)也用正弦波輸入時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)來分析，但這種響應(yīng)并不是單看某一個(gè)頻率正弦波輸入時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)，而是考察頻率由低到高無數(shù)個(gè)正弦波輸入下所對(duì)應(yīng)的每個(gè)輸出的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。因此，這種響應(yīng)也叫頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)盡管不如階躍響應(yīng)那樣直觀，但同樣間接地表示了系統(tǒng)的特性。頻率響應(yīng)法是分析和設(shè)計(jì)系統(tǒng)的一個(gè)既方便又有效的工具。頻域法是利用頻率特性研究自動(dòng)控制系統(tǒng)的一種古典方法，它有如下特點(diǎn)1)應(yīng)用Nyquist(奈奎斯特)穩(wěn)定性判據(jù)，可以根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而不必求特征方程的根。2)對(duì)于二階系統(tǒng)，頻率響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)之間有確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而高階系統(tǒng)也存在類似的關(guān)系。因?yàn)橄到y(tǒng)的頻率特性與系統(tǒng)參數(shù)、結(jié)構(gòu)之間有著密切關(guān)系，所以可以利用研究頻率特性的方法，把系統(tǒng)的參數(shù)、結(jié)構(gòu)變化和瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)之間聯(lián)系起來。3)頻率特性有明確的物理意義，很多元件的這一特性都可以用實(shí)驗(yàn)的方法確定，這對(duì)難于分析其物理規(guī)律來列出微分方程的元部件和系統(tǒng)，有很重要的工程實(shí)際意義。4)頻率特性分析法不僅適用于線性系統(tǒng)，而且可以推廣到某些非線性系統(tǒng)。5)當(dāng)系統(tǒng)在某些頻率范圍存在著嚴(yán)重噪聲時(shí)，應(yīng)用頻率法，可以設(shè)計(jì)出能夠很好抑制這些噪聲的系統(tǒng)。5.2頻率特性一.頻率特性的基本概念

RC網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為

輸入信號(hào)輸出信號(hào)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出定義：RC網(wǎng)絡(luò)幅頻特性RC網(wǎng)絡(luò)相頻特性將s以j代入RC網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)，即得RC網(wǎng)絡(luò)頻率特性RC電路的這一特性，對(duì)于任何穩(wěn)定的線性網(wǎng)絡(luò)都成立

雖然在前面的分析中，設(shè)定輸入信號(hào)是正弦信號(hào)，然而頻率特性是系統(tǒng)的固有特性，與輸入信號(hào)無關(guān)，即當(dāng)輸入為非正弦信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)仍然具有自身的頻率特性。頻率特性定義為輸出量的Fourier變換與輸入量的Fourier變換之比，即頻率特性的定義：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)在正弦作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅、相位與所加正弦作用的頻率之間的依賴關(guān)系。對(duì)于一般的線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)。式中，為極點(diǎn)。若：則：拉氏反變換為：若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點(diǎn)都在s左半平面。當(dāng)，即穩(wěn)態(tài)時(shí)：式中，分別為：而式中：Rm、Cm分別為輸入輸出信號(hào)的幅值。上述分析表明，對(duì)于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，加入一個(gè)正弦信號(hào)，它的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是一個(gè)與輸入同頻率的正弦信號(hào)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與輸入不同之處僅在于幅值和相位。其幅值放大了倍，相位移動(dòng)了。

和都是頻率的函數(shù)。定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與正弦輸入信號(hào)的相位差為系統(tǒng)的相頻特性，它描述系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)的相位移特性；定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值與輸入信號(hào)的幅值之比為系統(tǒng)的幅頻特性，它描述系統(tǒng)對(duì)不同頻率輸入信號(hào)在穩(wěn)態(tài)時(shí)的放大特性；

幅頻特性和相頻特性可在復(fù)平面上構(gòu)成一個(gè)完整的向量 ，它也是的函數(shù)。稱為頻率特性。這里和分別稱為系統(tǒng)的實(shí)頻特性和虛頻特性。

還可將寫成復(fù)數(shù)形式，即由于這種簡單關(guān)系的存在，頻率響應(yīng)法和利用傳遞函數(shù)的時(shí)域法在數(shù)學(xué)上是等價(jià)的。頻率特性與傳遞函數(shù)的關(guān)系為：幅頻特性、相頻特性和實(shí)頻特性、虛頻特性之間具有下列關(guān)系：[結(jié)論]：當(dāng)傳遞函數(shù)中的復(fù)變量s用代替時(shí)，傳遞函數(shù)就轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性。反之亦然。到目前為止，我們已學(xué)習(xí)過的線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數(shù)、脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率特性。它們之間的關(guān)系如下：微分方程頻率特性傳遞函數(shù)脈沖函數(shù)從另一方面，若線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)輸入作用下，在穩(wěn)態(tài)情況下，輸入輸出都是正弦函數(shù)，可用矢量表示：可見，頻率特性就是輸出、輸入正弦函數(shù)用矢量表示時(shí)之比。表示線性系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)情況下，輸出、輸入正弦信號(hào)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。是頻率域中的數(shù)學(xué)模型。[例子]：設(shè)傳遞函數(shù)為：微分方程為：頻率特性為：頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之一在于它可以通過實(shí)驗(yàn)量測來獲得，而不必推導(dǎo)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，當(dāng)傳遞函數(shù)的解析式難以用推導(dǎo)方法求得時(shí)，常用的方法是利用對(duì)該系統(tǒng)頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數(shù)模型。此外，在驗(yàn)證推導(dǎo)出的傳遞函數(shù)的正確性時(shí)，也往往用它所對(duì)應(yīng)的頻率特性同測試結(jié)果相比較來判斷。頻率響應(yīng)法的優(yōu)點(diǎn)之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中有非常重要的作用。頻率特性的推導(dǎo)是在線性定常系統(tǒng)是穩(wěn)定的假設(shè)條件下得出的。如果不穩(wěn)定，則動(dòng)態(tài)過程c(t)最終不可能趨于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)cs(t)，當(dāng)然也就無法由實(shí)際系統(tǒng)直接觀察到這種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。但從理論上動(dòng)態(tài)過程的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來的，而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此可以擴(kuò)展頻率特性的概念，將頻率特性定義為：在正弦輸入下，線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比。所以對(duì)于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，盡管無法用實(shí)驗(yàn)方法量測到其頻率特性，但根據(jù)式由傳遞函數(shù)還是可以得到其頻率特性。獲取系統(tǒng)頻率特性的途徑有兩個(gè):

一、解析法當(dāng)已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí)，用代入傳遞函數(shù)可得到系統(tǒng)的頻率特性G(jω)。因此，頻率特性是特定情況下的傳遞函數(shù)。它和傳遞函數(shù)一樣，反映了系統(tǒng)的內(nèi)在聯(lián)系。這種通過傳遞函數(shù)確定頻率特性的方法是求取頻率特性的解析法。

二、實(shí)驗(yàn)法當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，尚不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時(shí)，在系統(tǒng)的輸入端輸入一正弦信號(hào)，測出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的振幅Y和相移φ，便可得到它的幅頻特性和相頻特性。這種通過實(shí)驗(yàn)確定系統(tǒng)頻率特性的方法是求取頻率特性的實(shí)驗(yàn)法。工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有：1．極坐標(biāo)圖，也稱奈奎斯特(Nyquist)圖。是以開環(huán)頻率特性的實(shí)部為直角坐標(biāo)橫坐標(biāo)，以其虛部為縱坐標(biāo)，以為參變量的幅值與相位的圖解表示法。2．對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，也稱伯德(Bode)圖。它是由兩張圖組成，以為橫坐標(biāo)，對(duì)數(shù)分度，分別以和作縱坐標(biāo)的一種圖示法。3．對(duì)數(shù)幅相頻率特性圖，也稱尼柯爾斯(Nichols)圖。它是以相位為橫坐標(biāo)，以為縱坐標(biāo)，以為參變量的一種圖示法。二、頻率特性的表示方法：頻率特性可以寫成復(fù)數(shù)形式：，也可以寫成指數(shù)形式：