復(fù)變函數(shù)級數(shù)

第三章復(fù)變函數(shù)級數(shù)復(fù)變函數(shù)的無窮級數(shù)（新運(yùn)算）求和：連續(xù)求和——積分離散求和——級數(shù)重要性：積分和級數(shù)是表達(dá)函數(shù)的兩大工具內(nèi)容：級數(shù)收斂性和求和方法復(fù)變函數(shù)展開為級數(shù)（復(fù)變函數(shù)的級數(shù)表示）級數(shù)的運(yùn)算§3.1冪級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性：若級數(shù)的部分和序列有有限極限，則稱該級數(shù)收斂，其和為，否則該級數(shù)發(fā)散。絕對收斂：若組成的級數(shù)收斂，則稱該級數(shù)絕對收斂。

絕對收斂收斂？收斂判別法基本法則——Cauchy判據(jù)任給，必有N存在，當(dāng)時(shí)對任意的正整數(shù)p有特殊法則——比較判別法由基本法則可知，若對充分大的k有，則

發(fā)散發(fā)散收斂收斂具體比較判別法與標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)比較，如幾何級數(shù)比值判別法（d’Alembert判別法）根式判別法（Cauchy判別法）r<1時(shí)級數(shù)收斂；r>1時(shí)級數(shù)發(fā)散；r=1時(shí)不一定。級數(shù)的代數(shù)運(yùn)算若，加減法：兩收斂級數(shù)的和與差級數(shù)仍收斂，且乘法：兩絕對收斂級數(shù)的乘積絕對收斂，且其和與乘積項(xiàng)的排列次序無關(guān)klb0b1b2…

a0a0b0a0b1a0b2…a1a1b0a1b1a1b2…a2a2b0a2b1a2b2……

…………n012除法是乘法的逆運(yùn)算klb0b1b2…

a0a0b0a0b1a0b2…a1a1b0a1b1a1b2…a2a2b0a2b1a2b2……

…………n-101復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性：若復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某個(gè)區(qū)域D內(nèi)所有點(diǎn)處收斂，則稱該級數(shù)在D內(nèi)收斂。一致收斂性定義：若對任意e>0，必有一個(gè)不依賴于z的N(e)存在，使時(shí)，有則函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在D

上一致收斂。特殊判別法：正實(shí)常數(shù)項(xiàng)收斂級數(shù)有則在D

上一致收斂。一致收斂級數(shù)性質(zhì)：連續(xù)性：在有限（開）區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上一致收斂，則和函數(shù)在D內(nèi)連續(xù)。一致收斂級數(shù)性質(zhì)：②

積分性質(zhì)：在有限（開）區(qū)域D內(nèi)解析，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上一致收斂，則其和在D內(nèi)解析且可沿l逐項(xiàng)積分，即一致收斂級數(shù)性質(zhì)：微商性質(zhì)：在有限（開）區(qū)域D內(nèi)解析，在D內(nèi)任意閉區(qū)域上一致收斂，則其和在D內(nèi)解析且可逐項(xiàng)微商任意多次，即冪級數(shù)定義：主要研究整數(shù)冪級數(shù)，特別是非負(fù)整數(shù)冪級數(shù)；稱為以a為中心的冪級數(shù)。收斂特性：以a為中心的冪級數(shù)在某個(gè)圓內(nèi)收斂且絕對收斂在上絕對一致收斂在圓外發(fā)散收斂圓收斂半徑收斂發(fā)散Abel定理：冪級數(shù)在某點(diǎn)處收斂它在上收斂且絕對收斂它在上絕對一致收斂證：（利用比較判別法）級數(shù)在內(nèi)收斂

收斂推論：若冪級數(shù)在某點(diǎn)處發(fā)散，則它在處發(fā)散收斂半徑的求法（比值或根式判別法）冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)其和是解析函數(shù)，且可任意次逐項(xiàng)積分、逐項(xiàng)微商。例1例2§3.2泰勒級數(shù)及解析延拓Taylor展開定理：已知f(z)在z=a處解析，z0為f(z)

距離a點(diǎn)最近的奇點(diǎn)，則

其中，且展開唯一。證：1）利用解析函數(shù)的積分特征——Cauchy積分公式

2）將展開為以a為中心的冪級數(shù)

3）逐項(xiàng)積分

4）再利用Cauchy導(dǎo)數(shù)公式具體計(jì)算：展開：逐項(xiàng)積分：利用導(dǎo)數(shù)公式：唯一性：Taylor展開方法：基本方法（Taylor展開定理）特殊方法（冪級數(shù)運(yùn)算）線性運(yùn)算乘除運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算微積分運(yùn)算Taylor展開例子：例1

求ez

在鄰域的Taylor

展開。解：因?yàn)楣适諗堪霃嚼?

求ez

在鄰域的Taylor展開。解：因?yàn)楣适諗堪霃剑豪?

求和在

z=0

鄰域的Taylor展開類似的有例4

求在z=0

鄰域的Taylor展開例5

求（a為任意復(fù)常數(shù)）在z=0鄰域的泰勒展開當(dāng)a

≠整數(shù)時(shí)，f(z)為多值函數(shù)，須在指定葉上展開。z=-1是其支點(diǎn)，若取負(fù)實(shí)軸上(-∞,-1)為割線，規(guī)定（k為整數(shù)）-1-∞因所以有例6

求在z=1鄰域的泰勒展開若取負(fù)實(shí)軸(-∞,0)為割線，規(guī)定（k為整數(shù)）因有積分代入并逐項(xiàng)積分無窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域的Taylor展開：若存在R使f(z)在以z=0為圓心R為半徑的圓外（包括z=∞）解析只需作變換解析延拓延拓：定義域擴(kuò)大定義：函數(shù)f(z)在d上解析，如果能夠把它的解析區(qū)域擴(kuò)大，即在D內(nèi)解析（）這種延拓稱為d上解析函數(shù)由d到D-d的解析延拓。唯一性定理：若在區(qū)域D內(nèi)兩解析函數(shù)

Fk,k=1,2，在D上內(nèi)某條曲線l上相等則必在整個(gè)區(qū)域D內(nèi)相等。（證明：利用級數(shù)特征）解析延拓方法基本方法：利用解析函數(shù)級數(shù)或積分特征例：

§3.3洛朗級數(shù)及奇點(diǎn)分類非正整冪級數(shù)非正整冪級數(shù)非負(fù)整冪級數(shù)收斂發(fā)散收斂性：在圓外收斂且絕對收斂；在上絕對一致收斂，在圓內(nèi)發(fā)散；在圓外定義一個(gè)解析函數(shù)收斂發(fā)散根據(jù)Taylor展開定理，在z=∞點(diǎn)解析的函數(shù)可以在其鄰域展開為非正整冪級數(shù)Laurent級數(shù)定義：整冪級數(shù)稱為以a為中心的洛朗級數(shù)；它由非負(fù)整冪級數(shù)和非正整冪級數(shù)組成收斂性：在以a為中心的環(huán)內(nèi)收斂且絕對收斂其和在環(huán)內(nèi)解析Laurent展開定理：

已知f(z)在環(huán)內(nèi)解析，則，其中

c為環(huán)內(nèi)將z=a圍在其內(nèi)的任意光滑曲線。且展開唯一。證：復(fù)通區(qū)域Cauchy積分公式把被積函數(shù)展開為冪級數(shù)

逐項(xiàng)積分解析函數(shù)的積分特征幾點(diǎn)說明：若函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，則展開退化為泰勒展開盡管洛朗展開系數(shù)an的公式與泰勒展開系數(shù)的積分公式形式一樣，但一般來說Laurent展開方法：基本方法：展開公式特殊方法：利用冪級數(shù)運(yùn)算線性運(yùn)算乘積運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算微積分運(yùn)算例1求在環(huán)內(nèi)的洛朗展開基本方法：特殊方法：例2求在環(huán)內(nèi)的洛朗展開例3在的鄰域內(nèi)將展開為洛朗級數(shù)例4在的鄰域內(nèi)將展開為洛朗級數(shù)奇點(diǎn)分類：孤立奇點(diǎn)與非孤立奇點(diǎn)

已知z=z0是單值函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)，若在其一個(gè)鄰域內(nèi)除它外都解析，則稱z=z0為函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，否則稱為非孤立奇點(diǎn)。z0z0鄰域幾個(gè)例子：函數(shù)，z=0,i,∞為其孤立奇點(diǎn)；函數(shù)僅在Re(z)=0處可導(dǎo)，所以復(fù)平面上所有點(diǎn)均為非孤立奇點(diǎn);函數(shù)奇點(diǎn)為z=0和滿足方程的點(diǎn)即為孤立奇點(diǎn);為非孤立奇點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)分類：有限孤立奇點(diǎn)分類：設(shè)z=z0是f(z)有限孤立奇點(diǎn)且有洛朗展開按展開中負(fù)冪項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類：可去奇點(diǎn)：展開中不含負(fù)冪項(xiàng)m階極點(diǎn)：展開中含有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)本性奇點(diǎn)：展開中含有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)幾個(gè)例子：z=1是函數(shù)的一階極點(diǎn)z=0是函數(shù)的本性奇點(diǎn)

無窮遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)分類：設(shè)z=∞是f(z)的孤立奇點(diǎn)且在其鄰域有洛朗展開按展開中正冪項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類：可去奇點(diǎn)：展開中不含正冪項(xiàng)m階極點(diǎn)：展開中含有有限個(gè)正冪項(xiàng)本性奇點(diǎn)：展開中含有無窮多個(gè)正冪項(xiàng)幾個(gè)例子：z=∞是函數(shù)的5階極點(diǎn)z=∞是函數(shù)的本性奇點(diǎn)

孤立奇點(diǎn)分類：按極限分類：可去奇點(diǎn)：單極點(diǎn)：m階極點(diǎn)：本性奇點(diǎn)：不存在例子：z=0是函數(shù)

e1/z

的本性奇點(diǎn)，在0<z<

的環(huán)域內(nèi)，它的Laurent級數(shù)為

z

沿正實(shí)軸0時(shí)，1/z,故e1/z

z

沿負(fù)實(shí)軸0時(shí)，1/z－,故e1/z０

z

沿虛軸，按i/(2n)0

時(shí)，e1/z1

z

按序列函數(shù)

e1/z

的實(shí)部與虛部