2016陜西省聚焦中考數(shù)學(xué) 專題聚焦課件：專題一 最值問題

專題一最值問題美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾經(jīng)說過：“數(shù)學(xué)的真正部分是問題的解”．毋庸置疑，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就意味著解題．解題，聯(lián)想是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化是手段，問題解決是目的．如果說：解題它是表達(dá)一個命題從題設(shè)到結(jié)論的演變過程，那么聯(lián)想與轉(zhuǎn)化它可以迅速溝通這一演變過程的作用．聯(lián)想是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化是手段，靈活應(yīng)用是關(guān)鍵，問題解決是目的，把握好這一解題策略，對于我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提高解題質(zhì)量，提高學(xué)習(xí)成績，可以起到事半功倍的作用．在近幾年的中考數(shù)學(xué)試題中，有一個流傳廣泛的數(shù)學(xué)問題，它就是“將軍飲馬問題”，它的知識模型就是：

“已知直線，在直線的同側(cè)有兩點(diǎn)A，B，請你在直線上找一點(diǎn)P，使得AP＋BP之和最小”．解決這個問題的基本方法是：(1)利用軸對稱作直線的對稱點(diǎn)；(2)利用兩點(diǎn)之間線段最短即可.它的幾何模型如右圖所示：

簡易最值問題

【例1】如圖中過A點(diǎn)最短的一條線段是(

)A．AB

B．ACC．AD

D．AE【例2】

從直線外一點(diǎn)，分別向已知直線畫垂直線段和斜線，其中___________最短．【點(diǎn)評】解答此題應(yīng)明確：點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短．C垂線段[對應(yīng)訓(xùn)練]1．如圖，在鐵路旁有一李莊，現(xiàn)要建一火車站，為了使李莊人乘車最方便，請你在鐵路線上選一點(diǎn)來建火車站，應(yīng)建在(

)A．A點(diǎn)B．B點(diǎn)C．C點(diǎn)D．D點(diǎn)A2．如圖，立定跳遠(yuǎn)比賽時，小明從點(diǎn)A起跳落在沙坑內(nèi)B處，跳遠(yuǎn)成績是4.6米，則小明從起跳點(diǎn)到落腳點(diǎn)的距離_______4.6米．(填“大于”“小于”或“等于”)大于用于正方形

【例3】正方形ABCD的邊長是8，P是CD上的一點(diǎn)，且PD的長為2，M是其對角線AC上的一個動點(diǎn)，則DM＋MP的最小值是____．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱－最短路線問題和正方形的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定點(diǎn)M的位置是解題關(guān)鍵．10[對應(yīng)訓(xùn)練]1．在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，

D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB上的一個動點(diǎn)，則EC＋ED的最小值是________.用于矩形

【例4】如圖，在矩形ABCD中，BC＝10，CD＝5.若點(diǎn)M，N分別是線段BD，BC上的兩個動點(diǎn)，則CM＋MN的最小值為____．8【點(diǎn)評】本題考查最短路徑問題，關(guān)鍵確定何時路徑最短，然后運(yùn)用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求得解．[對應(yīng)訓(xùn)練]1．如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD對角線BD上的一個動點(diǎn)，AB＝6，AD＝8，則PA＋PC的最小值為____．

102．如圖，矩形ABCD，AB＝6cm，AD＝12cm，P是AB上的動點(diǎn)，Q是AD上的動點(diǎn)．P以1cm/s的速度從B到A，Q以2cm/s的速度從A到D，P到A(或Q到D)時停止運(yùn)動．求PQ＋QC最小值．用于菱形

【例5】如圖，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上的一個動點(diǎn)，則EF＋BF的最小值是____．【點(diǎn)評】此題主要考查菱形是軸對稱圖形的性質(zhì)，容易出現(xiàn)錯誤的地方是對點(diǎn)F的運(yùn)動狀態(tài)不清楚，無法判斷什么時候會使EF＋BF成為最小值．[對應(yīng)訓(xùn)練]1．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，E是AD的中點(diǎn)，P是BD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)AP＋PE的值最小時，求PC的長．用于特殊三角形

【例6】在△ABC中，∠BAC＝30°，在AC，AB邊上各取一點(diǎn)M，N，AB＝2，則BM＋MN的最小值是____．【點(diǎn)評】本題考查的是線路最短問題及對稱的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形利用數(shù)形結(jié)合是解答此題的關(guān)鍵．9.8用于圓

【例7】如圖，MN是⊙O的直徑，MN＝4，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN＝30°，B為弧AN的中點(diǎn)，P為直徑MN上的一個動點(diǎn)，則PA＋PB的最小值____．2【點(diǎn)評】本題考查的是圓周角定理及勾股定理，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解．[對應(yīng)訓(xùn)練]1．如圖，A是半圓上的一個二等分點(diǎn)，B是半圓上的一個六等分點(diǎn)，P是直徑MN上的一個動點(diǎn)，⊙O半徑為2，則PA＋PB的最小值是_____．

5用于平面直角坐標(biāo)系

【例9】已知一個正比例函數(shù)和一個一次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(－2，2)，且一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)Q(0，4)．(1)求這兩個函數(shù)的解析式；(2)在同一坐標(biāo)系中，分別畫出這兩個函數(shù)的圖象；(3)在x軸上找點(diǎn)E，使得PE＋QE的值最小，并求出其最小值和點(diǎn)E的坐標(biāo)．【點(diǎn)評】此題主要考查線路最短問題的作圖和求值問題，有一定的難度．[對應(yīng)訓(xùn)練]1．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)P(－1，1)，Q(2，3)，x軸上有一點(diǎn)R，則PR＋RQ的最小值為____．52．(2016·創(chuàng)新題)若一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x，y軸分別交于點(diǎn)A(4，0)，B(0，6)．(1)求該一次函數(shù)的解析式；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)OA，AB的中點(diǎn)分別為C，D，P為OB上一動點(diǎn)，求PC＋PD的最小值．用于二次函數(shù)

【點(diǎn)評】本題綜合考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)解析式、拋物線的性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及軸對稱——最短路線等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，能力要求極高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．2．(2015·新疆)如圖，直線y＝－3x＋3與x軸、