高二物理競賽晶格熱容模型課件

1、晶格熱容模型1.

Dulong

－Petit定律Dulong

－Petit定律：在常溫下大多數(shù)固體的熱容量差不多都等于6

cal/mol

·K經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論的解釋：能量均分定理一摩爾晶體的振動能為：

E

3N0kB

T

CV

3N0kB

3R

6cal

/

mol

KVV經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。困難：低溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)值明顯偏小，且當(dāng)T?0時(shí)，CV

?0

，經(jīng)典的能量均分定理無法解釋。2.

Einstein模型假設(shè)：晶體中各原子的振動相互獨(dú)立，

且所有原子都以同一頻率w0振動。即：

wwconst在一定溫度下，由N個原子組成的晶體的總振動能為：E

T

3N

0

.

CV

3NkB

定義

Einstein溫度：

E

v高溫下：T

>>

QE

即

kB

T

hw0CV

3NkB

2222CV

3NkB

exp

2kB

T

exp

2kB

T

22

hw

2

3NkB

kB

3NkBT0

hw

hw

2k

kB

T01v在低溫下：T

<<

QE

即kB

T

hw0CV

3NkB

hw

hw

3NkB

kB

exp

kB

當(dāng)T?0時(shí)，CV

?0

，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性符合。但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，

T?0

，

CV

∝T3

;根據(jù)Einstein模型，

T?0

，

CV

exp

0T0T02222

Einstein模型

金剛石熱容量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)3.

Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波可以看成連續(xù)介質(zhì)的彈性波。為簡單，

設(shè)橫波和縱波的傳播速度相同，均為c

。w

dwdq這表明，在q空間中，等頻率面為球面。

c

const.q在w－w＋dw之間晶格振動的模式數(shù)為g

w

dw

3r

q

4p

q2dq

3

4p

q2dq

3

4p

g

w

22由

g

w

dw

3Nmm0wwmCV

kB

g

w

dww

B對于大多數(shù)固體材料：

QD?102

Kmmmmmmmmmmm22m0w定義Debye溫度：

D

mkh元素QD

(K)元素QD

(K)元素QD

(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au

165Cu

343La

142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金剛石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450CV

9NkB

0

v在高溫下：T

>>

QD

，即

xD

0

CV

9NkB

0

9NkB

0

33333xDx333333xDx333333xDx3hw

DB作變換：

x

T

Tk

x

Bk

Twm

DhCV

9NkB

0

CV

9NkB

0

dxx

3NkB

T33333xD

2x3Dx3CV

9NkB

0

9NkB

0

3333

33333

3v在低溫下：T

<<

QD

，即

xD

D

利用Taylor展開式：

1

x

n

1

(

n)x

x

2

x

3

CV

9NkB

0

x4

e

x

1

2e

x

3e

2x

dx

9NkB

0

x4

n1

ne

nx

dx

9NkB

n1

n

0

x4e

nxdx利用積分公式：

x

m

e

ax

dx

0033333333333

33333333333

333333333333333333333333

3這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV

∝

T3

的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由此可見，

用Debye模型來解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相當(dāng)成功的，

尤其是在低溫下，溫度越低，Debye近似就越好。

CV

9NkB