常微分方程初值問題的數(shù)值解法

常微分方程初值問題的數(shù)值解法第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日問題的提出數(shù)值求解方法第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日6.1歐拉方法

歐拉公式與改進歐拉公式算法：第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日選擇不同的數(shù)值積分公式來求近似值就得到初值問題的各種數(shù)值解法1.歐拉公式這稱為歐拉公式第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日2.后退歐拉公式這稱為后退歐拉公式后退歐拉公式是一個隱式公式，通常采用迭代法求解。第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日例6.1以

h=0.1為步長，用歐拉法求常微分方程初值問題xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9000000.9093629.362x10-3………..….….立表(見表6-1（書121頁）)第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日

梯形公式與改進歐拉公式3.梯形公式---梯形公式也是隱式單步法公式圖1梯形公式

第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日用梯形公式計算時，通常取歐拉公式的解作為迭代初值進行迭代計算，即采用下式(1)(2)第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日4.改進歐拉公式這稱為改進歐拉公式第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日例6.2仍取步長h=0.1，采用改進歐拉法重新計算例6.1的常微分方程初值問題。(見表6-2（書125頁）)這時改進歐拉公式為解xiyiy(xi)y(xi)-yi01100.10.9095240.9093621.363x10-4………..….….立表第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日6.2計算公式的誤差分析

定義6.1

若yi+1是yi=y(xi)從計算得到的近似解，則稱y(xi+1)－yi+1為所用公式的局部截斷誤差，簡稱為截斷誤差。

定理6.1

若單步法yi+1=yi+h(xi,yi,h)的局部截斷誤差為O(hp+1)，且增量函數(shù)(x,y,h)關于y滿足李普希茲條件，即存在常數(shù)L>0，使對成立不等式則其整體截斷誤差y(xi)－yi=O(hp)第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日截斷誤差的估計(基本假設：yi

=y(xi))設y(x)C3[x0,b],則（1）對歐拉公式，有因此，歐拉公式的局部截斷誤差為O(h2)（2）對后退歐拉公式，有因此，后退歐拉公式的局部截斷誤差為O(h2)第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日（3）對梯形公式，注意到其公式可改寫為故由式（6-8）和（6-9）得因此，梯形公式的局部截斷誤差為O(h3)第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日（4）對改進歐拉公式，有而由，故有與式（6-7）比較得y(xi+1)－yi+1=O(h3)因此，改進歐拉公式的局部截斷誤差為O(h3)

第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日

定義6.2

若一種求解常微分方程初值問題的數(shù)值計算方法的局部截斷誤差為O(hp+1)，則稱該方法為p階精度，或稱該方法為p階方法。由此定義知，歐拉方法與后退歐拉方法為一階精度，梯形法與改進歐拉方法為二階精度。第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日6.3龍格-庫塔方法由中值定理，有因此，以上介紹的各種單步法本質(zhì)上都是對平均斜率f(,y())進行近似，龍格-庫塔據(jù)之提出了適當選取若干點上的斜率值作近似以構造高精度計算公式的方法，其基本思想是基于泰勒展式的待定系數(shù)法。第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日

二階Rung-Kutta公式問題：建立二階精度的計算格式形為在y(xi)=yi的假設下，有故解第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日變形歐拉公式根據(jù)格式為二階精度，即y(xi+1)－yi+1=O(h3)比較兩式系數(shù)得而

系數(shù)滿足(6-13)的形為(6-12)計算格式統(tǒng)稱為二階R-K公式。當令1=1/2時，解得2=1/2

，a=b=1，即為改進歐拉公式。若令1=0，解得2=1，a=b=1/2，則得另一計算公式第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日

四階R-K公式每一步需計算的f值的個數(shù)1234567n8精度階1234456n-2

1965年，Butcher研究發(fā)現(xiàn)顯式R-K公式的精度與需要組合的斜率值的個數(shù)具有如下關系

可見，超過四階精度的R-K公式效率并不高，實際計算通常選用如下四階格式經(jīng)典R-K公式第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日這時經(jīng)典R-K公式為

例6.3取步長h=0.2，采用經(jīng)典R-K法計算例6.1的常微分方程初值問題。取h=0.2計算得到表6-4(書133頁）。與例6.1和例6.2比較可見，用經(jīng)典R-K法計算得到的解比用歐拉法和改進歐拉法所得到的解精確得多。解第二十頁，共二十二頁，2022年，8月28日

步長的自動選擇對于

p階精度的計算格式，當取步長為h

時，記為從y(xi)計算得到的y(xi+1)(xi+1=xi+h)的近似解，則有為便于進行事后誤差估計，實際計算時通常采用步長減半算法。第二十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日記，則對給定的精度要求，可根據(jù)按如下方式調(diào)整步長：（1）若