第2章-計算流體動力學分析-CFD軟件原理及應用

計算流體動力學分析

-CFD軟件原理與應用王福軍編著.北京:清華大學出版社,2004.9第2章基于有限體積法的

控制方程離散匯報人：華南理工大學機械與汽車工程學院機械工程2班內容提要1離散化概述2有限體積法及其網(wǎng)格簡介3一維穩(wěn)態(tài)問題的有限體積法4常用離散格式5空間離散的高階離散格式內容提要6各種離散格式的性能對比7一維瞬態(tài)問題的有限體積法8有限體積法的進一步討論9二、三維問題的離散方程一、離散化概述1.離散化的目的2023/2/36二、有限體積法及其網(wǎng)格簡介1.有限體積法的基本思想2023/2/38三、求解一維穩(wěn)態(tài)問題的

有限體積法1.問題描述2023/2/310四、常用的離散格式2023/2/3121.離散格式（discretizationscheme）：也就是插值方式。2.插值的目的：建立離散方程，通過體積上的節(jié)點物理量，求出體積界面上的物理量。3.本節(jié)介紹最基本、應用最廣泛的一階離散格式。2023/2/3131.前提：離散格式并不會影響控制方程中的源項和瞬態(tài)項，因此選取簡單的、一維、穩(wěn)態(tài)、無源項的對流-擴散問題為討論對象。1.術語與約定2.通過一些列推導，可以化簡為如下公式左圖表示控制體積P及界面上的流速。在x方向的對流-擴散行為，通過w、e兩個界面。公式中參數(shù)的含義：F：通過單位面積的對流質量通量；D：界面的擴散傳導性φ：通用變量，或者廣義未知量在速度場已知的情況下，F(xiàn)E、FW是可以得到的；因此，只需要計算φ在E和W處的值即可。因此，必須決定界面物理量如何通過節(jié)點的插值來表示。也就是確定離散格式。（？？）2023/2/3142.中心差分格式2.1中心差分格式（centraldifferencingscheme）的數(shù)學描述中心插值，也就是說采用線性插值方式來計算。通過下面的公式可以看出。經(jīng)過一系列化簡，中心插分格式的對流-擴散插值方程如下所示：方程的未知量是各點的φ值，即是

FE、Fφ、FW。求解這個方程組，可以得到未知量φ在空間的分布。原始公式：其中，2023/2/3152.中心差分格式2.2中心插分格式的特點及適用性

在上述公式中，D是由擴散項的中心差分所形成的，代表了擴散過程的影響；F則是分段線性插值方式，在均勻的網(wǎng)格下的表現(xiàn)，代表了對流過程的影響。

引入一個新參數(shù)，Pe=F/D，那么，將方程組的解與精確解對比可知：

當Pe<2時，兩者基本吻合；但當Pe>2時，計算結果完全失去意義。這是由于aE小于0的緣故。結論：根據(jù)數(shù)學上的分析可知，要滿足Pe<2的條件，只能使得速度很小、網(wǎng)格間距很小。因此，公式的限制程度很大，中心差分格式不能作為一般流動問題的離散格式。2023/2/3163.一階迎風格式3.1一階迎風格式格式的數(shù)學描述從前面的分析可知，界面w處的廣義物理量φ會同時受到臨近的兩個點P、W的共同影響，但是這個模型是從左往右流動的，因此，上游的P點的影響力是要大于下游的W點，可以知道，上一節(jié)的中心差分明顯是不合適的。

考慮到流動方向的影響，于是提出了迎風格式firstorderupwindscheme。經(jīng)過一系列化簡，中心插分格式的對流-擴散插值方程如下所示：式中各物理量的意義如前所述。由于這種插值方式存在一階的余項，因此稱之為一階迎風格式。其中，原始公式：2023/2/3173.2一階迎風格式格式的特點及適用性3.一階迎風格式一階迎風格式解決了中心插分格式中，三個a值可能為負數(shù)的問題，因此，這樣的方程組求得的解不會震蕩，看上去是合理的。這一點也使得一階迎風格式在過去有著廣泛的應用。

缺點及不足：

（1）一階迎風格式簡單的按照界面流速的正負性來決定a的取值，沒有考慮到Pe的取值。但精確解還是與Pe的大小有關；

（2）一階迎風格式的擴散項永遠按照中心差分的方式來計算。但是，在D值很小的情況下，擴散作用很?。坏藭r，迎風格式中的擴散項仍然按平均值計算，明顯有所缺陷。2023/2/3184.混合格式

將上述兩種方法綜合起來，就是混合格式hybridscheme。當|Pe|<2時，使用二階中心差分格式；|Pe|>2時，采用一階迎風格式。經(jīng)過一系列化簡，混合格式插值方程如下所示，各物理量的意義如前所述：優(yōu)點：不會出現(xiàn)震蕩解，無條件穩(wěn)定；與高階離散格式相比，計算效率較高；缺點：只具有一階精度。其中，原始公式：2023/2/3195.指數(shù)格式指數(shù)格式（exponentialscheme）是利用方程的精確解建立起來的一種離散格式。綜合考慮了傳導和對流兩方面的影響。其中，原始公式：優(yōu)點：在應用一維問題時，對于任何的P值、任意網(wǎng)格數(shù)量，都可以獲得精確解；缺點：指數(shù)運算耗費時間；只在一維且源項為0的情況下才可以實現(xiàn)。2023/2/3206.乘方格式乘方格式（power-lawscheme）則是與上述指數(shù)格式非常接近的一種離散格式。當P>10時，擴散項D按0計算；當0<P<10時，單位面積上的通量按照一個多項式來計算。其中，化簡公式：這種離散格式的計算精度與指數(shù)格式較為接近，但比指數(shù)格式要省時。它與混合格式有著類似的性質，常作為混合格式的替代格式。使用也較為普遍。2023/2/3217.各種離散格式的匯總離散格式系數(shù)aW系數(shù)aE中心差分格式一階迎風格式混合格式指數(shù)格式乘方格式對于一維、穩(wěn)態(tài)、無源項的對流-擴散方程，最終都生成了相同的離散方程：且有2023/2/3228.低階格式中的假擴散與人工粘性總結：1.本節(jié)介紹的各種離散形式，都屬于低階離散。在對流-擴散方程中，對流項引起的計算誤差稱之為“假擴散”（falsediffusion）。因為這種離散格式截差的首項包括一階導數(shù)，使得數(shù)值計算過程中擴散的作用被人為的放大了。也就相當于引進了人工粘性（artificialviscosity）或數(shù)值粘性（numbericalviscosity）；2.假擴散的成因：非穩(wěn)定項和對流項的一階導數(shù)離散；流動方向和網(wǎng)格線成傾斜交叉；非常數(shù)的源項的影響；3.為了消除或減輕數(shù)值計算中的假擴散，可以采用截斷誤差較高的離散格式；或者采用自適應網(wǎng)格，使得網(wǎng)格朝向和流動方向一致。五、空間離散的高階離散格式1.二階迎風格式2023/2/324

上述的各種離散格式，雖然可以保證計算的穩(wěn)定性、滿足流動方向的要求，但一階精度會導致假擴散。因此，本章提出高階離散格式，它的改變主要有兩點：引入更多的相鄰節(jié)點；考慮流動方向性的問題。高階離散格式可以有效降低這種誤差。

二階迎風格式與一階迎風格式類似。但區(qū)別在于，要求出P處的未知量φ前者需要用到上游兩個節(jié)點的值（WW和W），后者只需要用到上游一個點（W）的值。2023/2/3251.二階迎風格式二階迎風格式的對流-擴散方程的離散方程：化簡公式：其中，其中，當流動沿著正方向時，有Fw>0和Fe>0，α=1；當流動沿著負方向時，有Fw<0和Fe<0，α=0.二階迎風格式是在一階迎風格式的基礎上，考慮了物理量在節(jié)點間分布曲線的曲率影響。實際上，對流項采用二階迎風，擴散項仍是中心差分。顯然，其截斷誤差是二階的，可以減少假擴散。2023/2/3262.QUICK格式對流運動的二次迎風插值（QuadraticUpwindInterpolationofConvectiveKinematics）2.1QUICK格式的數(shù)學描述化簡公式：其中，其中，當Fw>0時，有αw=1；當Fe>0時，有αe=1；當Fe<0時，有αw=0；當Fe<0時，有αe=0。

2023/2/3272.QUICK格式2.2QUICK格式的特點及其改進格式

優(yōu)點：對于與流動方向對齊的結構網(wǎng)格而言，QUICK格式將可產生比二階迎風格式更為精確的計算結果，例如六面體網(wǎng)格（三維問題）和四邊形網(wǎng)格（二維問題）。對于其他類型的網(wǎng)格，一般使用二階迎風格式。缺點：QUICK格式并不是絕對穩(wěn)定。因此，很多人提出了改進的辦法。其中，化簡公式：其中，當Fw>0時，有αw=1；當Fe>0時，有αe=1；當Fe<0時，有αw=0；當Fe<0時，有αe=0。

但它總能得到穩(wěn)定解。2023/2/3283.對高階格式的討論離散格式的三個要求：（1）良好的穩(wěn)定性；（2）較高的精度；（3）適應不同的流動形式。綜合分析上述的幾種離散方式之后，可以知道兩點結論：

（1）在滿足穩(wěn)定性的范圍內，一般來說，在截斷誤差較高的格式下，對應的解準確度更高。例如，三階截差的QUICK格式往往具有較高的精度。在采用低階截差格式時，應使得網(wǎng)格足夠密，以減少假擴散；

（2）穩(wěn)定性和準確性常?；ハ嗝?。例如，一階迎風格式是無條件穩(wěn)定，但精度不高；三階QUICK格式不是無條件穩(wěn)定的，但是精度較高。常見離散格式的性能對比如表所示：2023/2/3293.對高階格式的討論離散格式穩(wěn)定性及穩(wěn)定條件精度與經(jīng)濟性中心差分條件穩(wěn)定P≤2不發(fā)生震蕩的范圍內內，可以有較準確的結果一階迎風絕對穩(wěn)定P較大時，假擴散嚴重。需要加密計算網(wǎng)格二階迎風絕對穩(wěn)定精度比一階迎風高，但仍有假擴散混合格式絕對穩(wěn)定P≤2時，性能與中心差分相同；P>2時，性能與一階迎風相同指數(shù)格式絕對穩(wěn)定適用于無源項的對流-擴散模型。當源項不是常數(shù)時，若P較