高中數(shù)學人教A版3第一章計數(shù)原理單元測試 一等獎

選修2-3第一章1.3一、選擇題1．若(3eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))n的展開式中各項系數(shù)之和為256，則展開式的常數(shù)項是eq\x(導學號03960251)()A．第3項 B．第4項C．第5項 D．第6項[答案]C[解析]令x＝1，得出(3eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))n的展開式中各項系數(shù)和為(3－1)n＝256，解得n＝8；∴(3eq\r(x)－eq\f(1,\r(x)))8的展開式通項公式為：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·(3eq\r(x))8－r·(－eq\f(1,\r(x)))r＝(－1)r·38－r·Ceq\o\al(r,8)·x4－r，令4－r＝0，解得r＝4.∴展開式的常數(shù)項是Tr＋1＝T5，即第5項．故選C．2．若9n＋Ceq\o\al(1,n＋1)·9n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)·9＋Ceq\o\al(n,n＋1)是11的倍數(shù)，則自然數(shù)n為eq\x(導學號03960252)()A．奇數(shù) B．偶數(shù)C．3的倍數(shù) D．被3除余1的數(shù)[答案]A[解析]9n＋Ceq\o\al(1,n＋1)·9n－1＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)·9＋Ceq\o\al(n,n＋1)＝eq\f(1,9)(9n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)9n＋…＋Ceq\o\al(n－1,n＋1)92＋Ceq\o\al(n,n＋1)9＋Ceq\o\al(n＋1,n＋1))－eq\f(1,9)＝eq\f(1,9)(9＋1)n＋1－eq\f(1,9)＝eq\f(1,9)(10n＋1－1)是11的倍數(shù)，∴n＋1為偶數(shù)，∴n為奇數(shù)．3．(2023·濰坊市五校聯(lián)考)已知(x2－eq\f(1,x))n的展開式中，常數(shù)項為15，則n的值可以為eq\x(導學號03960253)()A．3 B．4C．5 D．6[答案]D[解析]通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)(x2)n－r(－eq\f(1,x))r＝(－1)rCeq\o\al(r,n)x2n－3r，當r＝eq\f(2,3)n時為常數(shù)項，即(－1)eq\s\up7(\f(2,3))nCeq\o\al(eq\f(2n,3),n)＝15，經(jīng)檢驗n＝6.4．若a為正實數(shù)，且(ax－eq\f(1,x))2023的展開式中各項系數(shù)的和為1，則該展開式第2023項為eq\x(導學號03960254)()A．eq\f(1,x2023) B．－eq\f(1,x2023)C．eq\f(4032,x2023) D．－eq\f(4032,x2023)[答案]D[解析]由條件知，(a－1)2023＝1，∴a－1＝±1，∵a為正實數(shù)，∴a＝2.∴展開式的第2023項為：T2023＝Ceq\o\al(2023,2023)·(2x)·(－eq\f(1,x))2023＝－2Ceq\o\al(1,2023)·x－2023＝－4032x－2023，故選D．5．(湖北高考)若二項式(2x＋eq\f(a,x))7的展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，則實數(shù)a＝eq\x(導學號03960255)()A．2 B．eq\r(5,4)C．1 D．eq\f(\r(2),4)[答案]C[解析]二項式(2x＋eq\f(a,x))7的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)(2x)7－r(eq\f(a,x))r＝Ceq\o\al(r,7)27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.6．(2023·南安高二檢測)233除以9的余數(shù)是eq\x(導學號03960256)()A．8 B．4C．2 D．1[答案]A[解析]233＝(23)11＝(9－1)11＝911－Ceq\o\al(1,11)910＋Ceq\o\al(2,11)99＋…＋Ceq\o\al(10,11)9－1＝9(910－Ceq\o\al(1,11)99＋…＋Ceq\o\al(10,11)－1)＋8，∴233除以9的余數(shù)是8.故選A．二、填空題7．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x3)))n展開式的各項系數(shù)之和為32，則n＝________，其展開式中的常數(shù)項為________(用數(shù)字作答).eq\x(導學號03960257)[答案]510[解析]令x＝1，得2n＝32，得n＝5，則Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·(x2)5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x3)))r＝Ceq\o\al(r,5)·x10－5r，令10－5r＝0，r＝2.故常數(shù)項為T3＝10.8．已知(x－eq\f(a,x))8展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項系數(shù)的和是\x(導學號03960258)[答案]1或38[解析]Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)x8－r(－eq\f(a,x))r＝(－a)r·Ceq\o\al(r,8)·x8－2r，令8－2r＝0得r＝4，由條件知，a4Ceq\o\al(4,8)＝1120，∴a＝±2，令x＝1得展開式各項系數(shù)的和為1或38.9．在二項式(eq\r(x)＋eq\f(3,x))n的展開式中，各項系數(shù)之和為A，各項二項式系數(shù)之和為B，且A＋B＝72，則n＝\x(導學號03960259)[答案]3[解析]由題意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3.三、解答題10．設(shè)(1－2x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023(x∈R).eq\x(導學號03960260)(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2023的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2023的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2023|的值．[解析](1)令x＝1，得：a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(－1)2023＝－1①(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2023＝32023②①－②得：2(a1＋a3＋…＋a2023＋a2023)＝－1－32023，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2023＝－eq\f(1＋32023,2).(3)∵Tr＋1＝Ceq\o\al(r,2023)·12023－r·(－2x)r＝(－1)r·Ceq\o\al(r,2023)·(2x)r，∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2023|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2023－a2023＝32023.一、選擇題1．若n為正奇數(shù)，則7n＋Ceq\o\al(1,n)·7n－1＋Ceq\o\al(2,n)·7n－2＋…＋Ceq\o\al(n－1,n)·7被9除所得的余數(shù)是eq\x(導學號03960261)()A．0 B．2C．7 D．8[答案]C[解析]原式＝(7＋1)n－Ceq\o\al(n,n)＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－Ceq\o\al(1,n)·9n－1＋Ceq\o\al(2,n)·9n－2－…＋Ceq\o\al(n－1,n)·9(－1)n－1＋(－1)n－1，n為正奇數(shù)，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，則余數(shù)為7.2．(2023·上饒市高二檢測)設(shè)函數(shù)f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx，eq\f(f′0,f0)＝－12，則f(x)的展開式中x4的系數(shù)為eq\x(導學號03960262)()A．－240 B．240C．－60 D．60[答案]B[解析]∵n＝6eq\i\in(0,eq\f(π,2),)cosxdx＝6sinxeq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),0))＝6，∴f(x)＝(2x＋a)6，∴f′(x)＝12(2x＋a)5，∵eq\f(f′0,f0)＝－12，∴eq\f(12a5,a6)＝－12，∴a＝－1.∴f(x)＝(2x－1)6.其展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x)6－r(－1)r＝(－1)rCeq\o\al(r,6)·26－rx6－r，令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展開式中x4的系數(shù)為(－1)2Ceq\o\al(2,6)·24＝240，故選B．二、填空題3．觀察下列等式：eq\x(導學號03960263)(1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8，……由以上等式推測：對于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，則a2＝________.[答案]eq\f(nn＋1,2)[解析]觀察給出各展開式中x2的系數(shù)：1,3,6,10，據(jù)此可猜測a2＝eq\f(nn＋1,2).4．設(shè)(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，則eq\x(導學號03960264)(1)a8＋a7＋…＋a1＝________；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝________.[答案](1)255(2)32896[解析]令x＝0，得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.②①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝eq\f(1,2)(28＋48)＝32896.三、解答題5．在(2x－3y)10的展開式中，求：eq\x(導學號03960265)(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)x的奇次項系數(shù)和與x的偶次項系數(shù)和．[解析]設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和．(1)二項式系數(shù)和為Ceq\o\al(0,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋…＋Ceq\o\al(10,10)＝210.(2)令x＝y(tǒng)＝1，各項系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)x的奇次項系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9＝eq\f(1－510,2)；x的偶次項系數(shù)和為a0＋a2＋a4＋…＋a10＝eq\f(1＋510,2).6．在二項式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))n的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列.eq\x(導學號03960266)(1)求展開式中的常數(shù)項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．[解析](1)二項式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))n的展開式中，前三項系數(shù)分別為1，eq\f(n,2)，eq\f(nn－1,8)，再根據(jù)前三項系數(shù)成等差數(shù)列，可得n＝1＋eq\f(nn－1,8)，求得n＝8或n＝1(舍去)．故二項式(eq\r(x)＋eq\f(1,2\r(x)))8的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)·2－r·x4－r.令4－r＝0，求得r＝4，可得展開式的常數(shù)項為T5＝