第二章 拉普拉斯變換數(shù)學(xué)方法

2023/2/31控制工程理論基礎(chǔ)

第二章拉普拉斯變換的數(shù)學(xué)方法2023/2/32提綱2.1復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)2.2拉氏變換與反拉氏變換的定義2.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換2.4拉氏變換的性質(zhì)2.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法2.6用拉氏變換解常微分方程2023/2/33拉普拉斯（Laplace）變換，簡(jiǎn)稱拉氏變換。

是分析研究線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的有力工具。時(shí)域的微分方程復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程

系統(tǒng)分析大為簡(jiǎn)化直接在頻域中研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能拉氏變換2023/2/34引言復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（1）復(fù)數(shù)的概念其中，均為實(shí)數(shù)。為虛單位。（2）復(fù)數(shù)的表示法點(diǎn)表示法向量表示法三角函數(shù)表示法指數(shù)表示法2023/2/35引言復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)（3）復(fù)變函數(shù)的概念為自變量。2023/2/36例：2023/2/37當(dāng)s＝z1,…,zm時(shí)，G(s)=0，則稱z1,…,zm為G(s)的零點(diǎn)；當(dāng)s＝p1,…,pm時(shí)，G(s)=∞，則稱p1,…,pm

為G(s)的極點(diǎn)。2023/2/382.2拉氏變換與拉氏反變換的定義1、拉氏變換有時(shí)間函數(shù)f(t)，t≥0，則f(t)的拉氏變換記作：L[f(t)]或F(s)，并定義為：(2－1)f(t)的拉氏變換F(s)存在的兩個(gè)條件：（1）在任一有限區(qū)間上，f(t)分段連續(xù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；（2）當(dāng)t→∞時(shí)，f(t)的增長(zhǎng)速度不超過(guò)某一指數(shù)函數(shù)，即滿足：該條件使得積分絕對(duì)值收斂。2023/2/392.2拉氏變換與拉氏反變換的定義2、拉氏反變換已知f(t)的拉氏變換F(s)，求原函數(shù)f(t)

的過(guò)程稱作拉氏反變換，記作：定義為如下積分：其中：s為大于F(s)所有奇異點(diǎn)實(shí)部的實(shí)常數(shù)。(2－2)2023/2/3102.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換1單位階躍函數(shù)定義為：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)的拉氏變換為：2023/2/3112.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換2單位脈沖函數(shù)定義為：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)的重要性質(zhì)：?jiǎn)挝幻}沖函數(shù)的拉氏變換為：2023/2/3122.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換3單位斜坡函數(shù)定義為：?jiǎn)挝恍逼潞瘮?shù)的拉氏變換為：2023/2/3132.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換4指數(shù)函數(shù)定義為：指數(shù)函數(shù)的拉氏變換為：2023/2/3142.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換5正弦函數(shù)用歐拉公式表示為：其拉氏變換為：6余弦函數(shù)用歐拉公式表示為：其拉氏變換為：2023/2/3152.3典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換7冪函數(shù)（作業(yè)）其拉氏變換為：例：常用時(shí)間函數(shù)的拉氏變換表，可通過(guò)直接查表求時(shí)間函數(shù)的拉氏變換。2023/2/3162.4拉氏變換的性質(zhì)1.線性性質(zhì)－線性變換(2-3)2023/2/3172.4拉氏變換的性質(zhì)2.實(shí)數(shù)域的位移定理－延時(shí)定理(2-4)其中f(t-a)是函數(shù)f(t)在時(shí)間上延遲a秒的延時(shí)函數(shù)，且：2023/2/318例2.3圖2－10所示方波的拉氏變換。圖示方波函數(shù)表達(dá)為：利用單位階躍函數(shù)的拉氏變換，以及拉氏變換的線性性質(zhì)和延時(shí)定理：2023/2/319例2.4求圖2－11所示三角波的拉氏變換。圖示三角波函數(shù)表達(dá)為：利用單位斜坡函數(shù)的拉氏變換，以及拉氏變換的線性性質(zhì)和延時(shí)定理：2023/2/3202.4拉氏變換的性質(zhì)3.周期函數(shù)的拉氏變換設(shè)f(t)是以T為周期的周期函數(shù)，即：則f(t)的拉氏變換為：2023/2/3212.4拉氏變換的性質(zhì)4.復(fù)數(shù)域位移定理(也稱衰減定理)2023/2/3222.4拉氏變換的性質(zhì)5.相似定理（也稱尺度定理）2023/2/3232.4拉氏變換的性質(zhì)6.微分定理7.積分定理2023/2/324Back8終值定理原函數(shù)f(t)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)

sF(s)在s=0鄰域內(nèi)的性質(zhì)2023/2/325Back9初值定理2023/2/3262.4拉氏變換的性質(zhì)10.tf(t)的拉氏變換11.f(t)/t的拉氏變換2023/2/3272.4拉氏變換的性質(zhì)12.卷積定理函數(shù)f(t)和g(t)的卷積定義為：拉氏變換的卷積定理：若函數(shù)f(t)和g(t)滿足拉氏變換存在的條件，則f(t)和g(t)的卷積的拉氏變換一定存在，且：其中，函數(shù)f(t)和g(t)滿足：當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=g(t)=02023/2/3281.定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)f(t)的運(yùn)算稱為拉氏反變換。記為。由F(s)可按下式求出

式中C是實(shí)常數(shù)，而且大于F(s)所有極點(diǎn)的實(shí)部。直接按上式求原函數(shù)太復(fù)雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。2.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法2023/2/3292.5拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法拉氏反變換的數(shù)學(xué)方法有：(1)查表法－簡(jiǎn)單象函數(shù)；(2)有理函數(shù)法－需要復(fù)變函數(shù)的留數(shù)定理；(3)部分分式法－復(fù)雜的象函數(shù)簡(jiǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和，分別求各分式的原函數(shù)，即可得總的原函數(shù)；(4)利用MATLAB求解。2023/2/330

若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將F(s)展開(kāi)成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。例1：例2：求的逆變換。解：2023/2/3311.部分分式法求原函數(shù)2023/2/3322023/2/3332023/2/3342023/2/3352023/2/3362023/2/3372023/2/3382023/2/3392.使用MATLAB函數(shù)求解原函數(shù)

利用MATLAB中的函數(shù)residue將原函數(shù)展開(kāi)成部分分式，然后查拉氏變換的表格得到原函數(shù)。函數(shù)格式：[r,p,k]=residue(b,a);%返回多項(xiàng)式b/a之比的部分分式展開(kāi)項(xiàng)中的殘差、極點(diǎn)和直接項(xiàng)。[b,a]=residue(r,p,k)；%將部分分式展開(kāi)項(xiàng)還原成多項(xiàng)式2023/2/340Forexample:Num=10*[12];%定義分子多項(xiàng)式Den=poly([-1;-3;-4])；%定義分母多項(xiàng)式[res,poles,k]=residue(num,den)；展開(kāi)num/den殘差、極點(diǎn)和直接項(xiàng)分別為：Res=[-6.6667;5.0000;1.6667]Poles=[-4;-3;-1]K=[];Note:(x+1)(x+3)(x+