第五章 材料疲勞性能

第五章

金屬的疲勞緒言很多機件和構(gòu)件都是在變動載荷下工作的，如曲軸、連桿、齒輪、彈簧及橋梁等，其失效形式主要是疲勞斷裂。疲勞破壞在全部失效事件中約占80％左右，極易造成事故，危害性極大。因此，工程技術(shù)界對其極為重視，從力學(xué)、設(shè)計、材料及工藝等方面開展疲勞研究，尋求有效對策，至今已有百余年的歷史，取得了很大進展，成為材料強度科學(xué)領(lǐng)域中的一個重要組成部分。本章研究工程材料：疲勞的一般規(guī)律疲勞破壞過程及機理疲勞性能及其影響因素等以便為疲勞強度設(shè)計和選用材料提供必備的基礎(chǔ)知識。

第一節(jié)疲勞破壞的一般規(guī)律

一、疲勞破壞的變動應(yīng)力工件在變動載荷和應(yīng)變長期作用下，因累積損傷而引起的斷裂現(xiàn)象，稱為疲勞。變動載荷是指大小，甚至方向隨時間變化的載荷。變動載荷在單位面積上的平均值稱為變動應(yīng)力，分為規(guī)則周期變動應(yīng)力(或稱循環(huán)應(yīng)力)和無規(guī)則隨機變動應(yīng)力兩種，可用應(yīng)力－時間曲線描述如下。機件承受的變動應(yīng)力多為循環(huán)應(yīng)力。循環(huán)應(yīng)力是周期性變化的應(yīng)力，變化的波形有正弦波、矩形波和三角波等。其中最常見的為正弦波。表征循環(huán)應(yīng)力特征的參量有：

按照應(yīng)力幅和平均應(yīng)力的相對大小，循環(huán)應(yīng)力有以下幾種類型。

(1)對稱循環(huán)，σm=0，r=－l，大多數(shù)旋轉(zhuǎn)軸類零件承受此類應(yīng)力。(2)不對稱循環(huán)：大拉小拉、大壓小壓、

大拉小壓、大壓小拉等。(3)脈動循環(huán)（屬于不對稱循環(huán)）：σm=σa>0，r=0，齒輪的齒根及某些壓力容器承受此類應(yīng)力；σm=σa<0，r=∞，軸承承受脈動循環(huán)壓應(yīng)力。(4)波動循環(huán)（屬于不對稱循環(huán)）：σm>σa，0<r<1。發(fā)動機氣缸蓋、螺栓、無塔供水的容器、液化氣罐等承受這種應(yīng)力。（大拉小拉）隨機變動應(yīng)力：循環(huán)應(yīng)力呈隨機變化，如運行時因道路或云層的變化，汽車、拖拉機及飛機等的零件，工作應(yīng)力隨時間隨機變化。二、疲勞破壞的概念和特點

1、疲勞破壞的概念疲勞的破壞過程是材料內(nèi)部薄弱區(qū)域的組織在變動應(yīng)力作用下，逐漸發(fā)生變化和損傷累積、開裂，當裂紋擴展達到一定程度后發(fā)生突然斷裂的過程，是一個從局部區(qū)域開始損傷累積，最終引起整體破壞的過程。疲勞破壞的斷裂應(yīng)力水平往往低于材料的抗拉強度，甚至低于其屈服強度。機件疲勞失效前的工作時間稱為疲勞壽命，疲勞斷裂壽命隨循環(huán)應(yīng)力不同而改變。應(yīng)力高，壽命短；應(yīng)力低，壽命長。當應(yīng)力低于材料的疲勞強度時，壽命可無限長。疲勞斷裂也經(jīng)歷了裂紋萌生和擴展過程。由于應(yīng)力水平較低，因此具有較明顯的裂紋萌生和穩(wěn)態(tài)擴展階段，相應(yīng)的斷口上也顯示出疲勞源、疲勞裂紋擴展區(qū)與瞬時斷裂區(qū)的特征。

2、疲勞破壞的特點

疲勞破壞與靜載或一次性沖擊破壞比較具有以下特點：(1)該破壞是一種潛藏的突發(fā)性破壞，無論材料在靜載下顯示韌性破壞還是脆性破壞，它在疲勞破壞前均不會發(fā)生明顯的塑性變形，呈脆性斷裂，易引起事故造成經(jīng)濟損失。(2)疲勞破壞屬低應(yīng)力循環(huán)延時斷裂，對于疲勞壽命的預(yù)測就顯得十分重要和必要（壓力容器）。(3)疲勞對缺陷(缺口、裂紋及組織)十分敏感。因為缺口或裂紋會引起應(yīng)力集中，加大對材料的損傷作用；組織缺陷(夾雜、疏松、白點、脫碳等)，將降低材料的局部強度，二者綜合更加速疲勞破壞的起始與發(fā)展。(4)疲勞斷裂包括裂紋萌生和擴展過程。具有較明顯的裂紋萌生和穩(wěn)態(tài)擴展階段，相應(yīng)的斷口上也顯示出疲勞源、疲勞裂紋擴展區(qū)與瞬時斷裂區(qū)的特征。

疲勞分類可按不同方法對疲勞形式分類：

按應(yīng)力狀態(tài)分，有彎曲疲勞、扭轉(zhuǎn)疲勞、拉壓疲勞、接觸疲勞及復(fù)合疲勞；按應(yīng)力高低和斷裂壽命分，有高周疲勞和低周疲勞。

高周疲勞的斷裂壽命(N)較長，N>105，斷裂應(yīng)力水平較低，σ<σs，又稱低應(yīng)力疲勞，為常見的材料疲勞形式；低周疲勞的斷裂壽命較短，N<102～105，斷裂應(yīng)力水平較高，σ≥σs，往往伴有塑性應(yīng)變發(fā)生，常稱為高應(yīng)力疲勞或應(yīng)變疲勞。三、疲勞斷口的宏觀特征

疲勞斷口保留了整個斷裂過程的所有痕跡，記載著很多斷裂信息，具有明顯的疲勞斷口形貌特征，而這些特征又受材料性質(zhì)、應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力大小及環(huán)境因素的影響，因此對疲勞斷口的分析是研究疲勞過程、分析疲勞失效原因的一種重要方法。典型疲勞斷口具有3個特征1、疲勞源2、疲勞裂紋擴展區(qū)3、瞬斷區(qū)。

疲勞源是疲勞裂紋的萌生地，多出現(xiàn)在機件表面，常和缺口、裂紋、刀痕、蝕坑等缺陷相連。但若材料內(nèi)部存在嚴重冶金缺陷(夾雜、縮孔、偏析、白點等)，也會因局部材料強度降低而在機件內(nèi)部引發(fā)出疲勞源。因疲勞源區(qū)裂紋表面受反復(fù)擠壓，摩擦次數(shù)多，疲勞源區(qū)比較光亮，而且因加工硬化，該區(qū)表面硬度會有所提高。機件疲勞破壞的疲勞源可以是一個，也可以是多個，它與機件的應(yīng)力狀態(tài)及過載程度有關(guān)。如單向彎曲疲勞僅產(chǎn)生一個源區(qū)，雙向反復(fù)彎曲可出現(xiàn)兩個疲勞源。過載程度愈高，名義應(yīng)力越大，出現(xiàn)疲勞源的數(shù)目就越多。若斷口中同時存在幾個疲勞源，可根據(jù)每個疲勞區(qū)大小、源區(qū)的光亮程度確定各疲勞源產(chǎn)生的先后，源區(qū)越光亮，相連的疲勞區(qū)越大，就越先產(chǎn)生；反之，產(chǎn)生的就晚。

疲勞裂紋擴展區(qū)是疲勞裂紋亞臨界擴展形成的區(qū)域。其宏觀特征是：斷口較光滑并分布有貝紋線。斷口光滑程度隨裂紋向前擴展逐漸減弱，反映裂紋擴展快慢、擠壓摩擦程度上的差異。貝紋線是疲勞擴展區(qū)的最典型特征，是因載荷變動引起的，因為機器運轉(zhuǎn)時不可避免地常有啟動、停歇、偶然過載等，均要在裂紋擴展前沿線留下弧狀貝紋線痕跡。不是每一次應(yīng)力循環(huán)就產(chǎn)生一條貝紋線。貝紋線好像一簇以疲勞源為圓心的平行弧線，凹側(cè)指向疲勞源，凸側(cè)指向裂紋擴展方向。近疲勞源區(qū)貝紋線較細密，表明裂紋擴展較慢；遠離疲勞源區(qū)貝紋線較稀疏、粗糙，表明此段裂紋擴展較快。貝紋區(qū)的總范圍與過載程度及材料的性質(zhì)有關(guān)，若機件承受較高的名義應(yīng)力或材料韌性較差，則疲勞區(qū)范圍較小，貝紋線不明顯；反之，低名義應(yīng)力或高韌性材料，疲勞區(qū)范圍較大，貝紋線粗且明顯。貝紋線的具體形狀則由裂紋前沿線各點的擴展速度、載荷類型、應(yīng)力大小及應(yīng)力集中等決定。①軸類機件拉壓疲勞時，若表面無缺口應(yīng)力集中，截面上應(yīng)力分布均勻，裂紋擴展等速，貝紋線呈一簇平行的圓弧線。若機件表面有環(huán)狀缺口的應(yīng)力集中，裂紋沿表層的擴展比中間區(qū)快。

高名義應(yīng)力時，疲勞區(qū)范圍小，表層與中間區(qū)的裂紋擴展相差無幾，貝紋線的形狀從起始的半圓弧狀到半橢圓狀最后為波浪狀變化；低名義應(yīng)力時，因疲勞區(qū)大，表層裂紋擴展比中間超前許多，故貝紋線形狀由起始的半圓弧狀到半橢圓弧狀、波浪弧狀最后為凹向橢圓弧狀變化。②機件彎曲疲勞時，表面應(yīng)力最高，其貝紋線變化與帶缺口機件的拉壓疲勞相似。表面有缺口時，應(yīng)力集中增強，變化會更大。

③機件扭轉(zhuǎn)疲勞時，因最大正應(yīng)力方向與扭轉(zhuǎn)軸傾斜450，最大切應(yīng)力垂直或平行于軸向分布，故正斷型疲勞斷口與軸向呈450，且易出現(xiàn)鋸齒狀或星形狀斷口，像花鍵軸斷口，由切應(yīng)力引起的切斷型疲勞斷口沿最大切應(yīng)力即垂直于扭轉(zhuǎn)軸方向，上面一般看不到貝紋線。

4、旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞：瞬斷區(qū)是裂紋失穩(wěn)擴展形成的區(qū)域。在疲勞亞臨界擴展階段，隨應(yīng)力循環(huán)增加，裂紋不斷增長，當增加到臨界尺寸時，裂紋尖端的應(yīng)力場強度因子達到材料斷裂韌性時，裂紋就失穩(wěn)快速擴展，導(dǎo)致機件瞬時斷裂。該區(qū)的斷口比疲勞區(qū)粗糙，宏觀特征如同靜載，隨材料性質(zhì)而變。脆性材料斷口呈結(jié)晶狀；韌性材料斷口，在心部平面應(yīng)變區(qū)呈放射狀或人字紋狀，邊緣平面應(yīng)力區(qū)則有剪切唇區(qū)存在。瞬斷區(qū)一般應(yīng)在疲勞源對側(cè)。但對旋轉(zhuǎn)彎曲來說，低名義應(yīng)力時，瞬斷區(qū)位置逆旋轉(zhuǎn)方向偏轉(zhuǎn)一角度；高名義應(yīng)力時，多個疲勞源同時從表面向內(nèi)擴展，使瞬斷區(qū)移向中心位置。瞬斷區(qū)大小與機件承受名義應(yīng)力及材料性質(zhì)有關(guān)，高名義應(yīng)力或低韌性材料，瞬斷區(qū)大；反之，瞬斷區(qū)則小。大量研究表明：疲勞微裂紋由不均勻滑移和顯微開裂引起。主要方式有：表面滑移帶開裂；第二相、夾雜物與基體界面或夾雜物本身開裂；晶界或亞晶界處開裂。

第二節(jié)疲勞抗力指標

在機械設(shè)計中，材料疲勞抗力指標是疲勞設(shè)計的基本依據(jù)，其中作為材料疲勞抗力指標的疲勞強度、過載持久值、疲勞缺口敏感度及疲勞裂紋擴展速率等都是材料的基本力學(xué)性能指標。一、疲勞試驗方法

最簡單的疲勞試驗是用一組光滑小試樣模擬火車輪軸的應(yīng)力狀態(tài),在旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞試驗機上測量材料的S～N曲線，以表征疲勞應(yīng)力(S)和疲勞壽命(N)間的關(guān)系。該試驗機結(jié)構(gòu)簡單，操作簡便，能夠?qū)崿F(xiàn)r=-1和σm=0的對稱循環(huán)和恒應(yīng)力幅的要求，應(yīng)用比較廣泛。由于疲勞曲線是維勒(Wohler)在1860年為解決火車軸斷裂失效時首先提出的，所以后人也稱該曲線為維勒曲線。

測定疲勞曲線的方法按標準(GB4337—84)的規(guī)定先準備若干個尺寸相同的試樣，從0.67σb到0.4σb，選擇幾個不同的最大循環(huán)應(yīng)力σ1，σ2，…，σn。分別對每個試樣進行循環(huán)加載試驗，測定它們從加載開始到試樣斷裂所經(jīng)歷的應(yīng)力循環(huán)數(shù)Nl，N2，…，Nn，然后在直角坐標圖上將這些數(shù)據(jù)繪制成σ—N曲線，或σ—lgN曲線。

用其他不對稱循環(huán)應(yīng)力也可作出相應(yīng)的疲勞曲線，如拉壓拉疲勞曲線、脈動疲勞曲線及扭轉(zhuǎn)疲勞曲線等，它們統(tǒng)稱為S－N曲線。S表示應(yīng)力，可以是最大應(yīng)力值，也可以是應(yīng)力幅值；N表示應(yīng)力S經(jīng)歷的循環(huán)周次，即疲勞壽命。

由曲線可見，循環(huán)應(yīng)力高時，疲勞壽命短；循環(huán)應(yīng)力低時，疲勞壽命就長。當循環(huán)應(yīng)力低到某臨界值σ－l時，疲勞曲線成為水平線，表明在此應(yīng)力作用下試樣可經(jīng)歷無限次循環(huán)而不發(fā)生斷裂；當循環(huán)應(yīng)力大于σ－l時，則試樣僅經(jīng)歷有限次循環(huán)就會疲勞斷裂。故將σ－l定義為材料的疲勞強度，σ≤σ－l作為無限壽命的疲勞應(yīng)力判據(jù)。對于非對稱循環(huán)應(yīng)力的疲勞來說，疲勞強度記為σr(r表示應(yīng)力比)，疲勞應(yīng)力判據(jù)為σ≤σr。金屬材料疲勞曲線有兩種類型：一類有水平線，如一般結(jié)構(gòu)鋼和球墨鑄鐵的疲勞曲線，據(jù)此，可標定出無限壽命的疲勞強度σ－l；另一類無水平線，如有色合金、不銹鋼和高強鋼的疲勞曲線，只能根據(jù)材料的使用要求測定有限壽命N=106、107或108下的條件疲勞強度。

二、疲勞強度

疲勞強度：在指定疲勞壽命下，材料能承受的上限循環(huán)應(yīng)力。根據(jù)要求，指定的疲勞壽命可為無限周次也可為有限周次。疲勞強度是保證機件疲勞壽命的重要材料性能指標，是評定材料和疲勞設(shè)計的依據(jù)。應(yīng)力比r對疲勞強度有很大影響，應(yīng)根據(jù)實際循環(huán)應(yīng)力狀態(tài)測定選用相應(yīng)的疲勞強度。

1、對稱循環(huán)疲勞強度常見的對稱循環(huán)載荷有對稱彎曲、對稱扭轉(zhuǎn)、對稱拉壓等。對應(yīng)的疲勞強度分別記為σ－l、τ－l及σ－lP，其中σ－l是最常用的。2、不對稱循環(huán)疲勞強度對于在不對稱循環(huán)載荷下工作的材料或機件，設(shè)計或使用時還需測定材料在相應(yīng)的不對稱循環(huán)載荷下的疲勞強度。理論上，可模擬不對稱循環(huán)載荷進行實驗，測定相應(yīng)的疲勞曲線以確定疲勞強度，但常因?qū)嶒灄l件所限，很難實現(xiàn)。一般多用工程作圖法，由疲勞圖（2種）求出各種不對稱循環(huán)應(yīng)力下的疲勞強度。

1、σa－σm疲勞圖σr=σa+σm是每一r下的以最大應(yīng)力值表示的疲勞極限。2、σmax(σmin)—σm疲勞圖

圖中縱坐標表示σmax和σmin，橫坐標表示σm。將不同應(yīng)力比r下的疲勞強度分別以σmax、σmin和σm表示于該材料的坐標系中就形成上述疲勞圖。圖中的AHB曲線就是在不同應(yīng)力比r下的σmax值。顯然疲勞強度隨平均應(yīng)力(σm)或應(yīng)力比(r)增加而增加，而由曲線AHB和AEC確定的應(yīng)力幅σa則減小。在B點，σm=0，r=－l，σa=σ－l=σmax，屬對稱循環(huán)態(tài)；在A點，σm=σb，r=1，σa=0，屬于靜拉伸狀態(tài)。AHB曲線上各點σmax值即表示由r=－1～1各狀態(tài)下的疲勞強度。r值與AHB線上任一點與原點O的連線與橫坐標夾角α存在以下關(guān)系：由此即可根據(jù)已知循環(huán)應(yīng)力比r求得α的值作圖，在AHB上對應(yīng)點的縱坐標值即為此r相應(yīng)的疲勞強度σrmax。其實，這種疲勞圖的AHB曲線和AEC曲線，也可根據(jù)材料σ－l、σb值利用Geber關(guān)系繪制。需要說明的是，上述疲勞圖僅適合于脆性材料。對于塑性材料，應(yīng)該用屈服強度σS進行修正，如圖所示。3、不同應(yīng)力狀態(tài)下的疲勞強度的經(jīng)驗關(guān)系

試驗表明，同種材料的彎曲、扭轉(zhuǎn)和抗壓疲勞強度存在以下經(jīng)驗關(guān)系式。同種材料的疲勞強度σ－l>σ－lP>τ－l。彎曲疲勞時，試樣截面上應(yīng)力分布不均勻，表面應(yīng)力最大，只有表面層才產(chǎn)生疲勞損傷，而拉壓疲勞時，試樣截面的應(yīng)力均勻分布，整個截面都有可能疲勞損傷，因而σ－l>σ－lP。扭轉(zhuǎn)疲勞時切應(yīng)力大，比變動拉應(yīng)力更易使材料發(fā)生滑移，產(chǎn)生疲勞損傷，故τ－l最小。這些經(jīng)驗關(guān)系盡管有誤差(10％～30％)，但對于估計疲勞強度值有一定的參考價值。4、疲勞強度與靜強度間關(guān)系材料的抗拉強度愈大，其疲勞強度也愈大。對于中、低強度鋼，疲勞強度與抗拉強度間大體呈線性關(guān)系，如圖所示，且可近似表示成σ－l=0.5σb。但抗拉強度較高時，這種線性關(guān)系要改變，因為強度較高時，材料的塑性和斷裂韌性降低，裂紋易于形成和擴展?？梢越ㄗh用下列經(jīng)驗公式計算各對稱循環(huán)應(yīng)力時材料的疲勞強度。三、抗疲勞過載能力過去一直認為，對于承受變動載荷的機件按疲勞強度設(shè)計是安全的。實際上，服役過程中機件不可避免要受到偶然的過載作用，如設(shè)備緊急剎車、突然起動等，材料在受到偶然過載作用后，又回到正常應(yīng)力下服役，疲勞極限會發(fā)生怎樣的變化？

又有的機件并不要求無限壽命,常在高于疲勞強度的應(yīng)力下進行有限壽命服役,壽命有多長？顯然僅依據(jù)材料的疲勞強度并不能評定上述兩種情況下的材料抗疲勞性能，為此提出過載持久值和過載損傷界的概念。1、過載持久值材料在高于疲勞強度的一定應(yīng)力下工作，發(fā)生疲勞斷裂的應(yīng)力循環(huán)周次稱為材料的過載持久值，也稱為有限疲勞壽命。過載持久值表征了材料對過載荷疲勞的抗力，該值可由疲勞曲線傾斜部分確定。曲線傾斜得愈陡直，持久值就愈高，表明材料在相同的過載條件(縱坐標值)下能經(jīng)受的應(yīng)力循環(huán)周次愈多，材料對過載荷的抗力愈高。(反過來講)過載應(yīng)力又稱為材料耐久強度。2、過載損傷界實際上，機件往往預(yù)先受短期過載，而后再在正常的工作應(yīng)力下運行。這種短期的過載對材料的性能(σ－l或疲勞壽命)是否產(chǎn)生影響，取決于過載應(yīng)力及過載周次。實驗證明，材料在過載應(yīng)力水平下只有運轉(zhuǎn)一定周次后，疲勞強度或疲勞壽命才會降低，造成過載損傷。把在每個過載應(yīng)力下運行能引起損傷的最少循環(huán)周次連接起來就得到該材料的過載損傷界。圖上a，b，c，…，可由實驗確定。過載損傷界到疲勞曲線間的影線區(qū)，稱為材料的過載損傷區(qū)。凡是機件過載運轉(zhuǎn)到這個區(qū)內(nèi)都會不同程度地降低材料的疲勞壽命(疲勞強度)，離疲勞曲線愈近，降低的程度越厲害。過載應(yīng)力越大，開始發(fā)生過載損傷的循環(huán)周次愈少，能造成過載損傷的周次范圍就越寬。材料的過載損傷界越陡直，損傷區(qū)愈窄，則其抵抗疲勞過載能力就愈強。工程上在過載疲勞機件選材時，有時寧可選σ－l低些，也要選疲勞損傷區(qū)窄的材料，以確保安全。疲勞過載現(xiàn)象解釋：當過載運轉(zhuǎn)一定循環(huán)周次后，疲勞損傷累積形成的裂紋尺寸超過材料在σ－l下的非擴展裂紋尺寸時，則會降低疲勞強度；反之，過載累積損傷造成的裂紋尺寸小于σ－l應(yīng)力的非擴展裂紋的尺寸時，裂紋不會擴展，過載對材料并未造成損傷。過載損傷界就是在不同過載應(yīng)力下，損傷積累造成的裂紋尺寸達到或超過σ－l下的非擴展裂紋尺寸的循環(huán)次數(shù)。四、疲勞缺口敏感度

實際機件常帶有臺階、拐角、鍵槽、油孔、螺紋等結(jié)構(gòu)，它們類似于缺口作用，造成該區(qū)域的應(yīng)力集中，因而會縮短機件疲勞壽命，降低材料疲勞強度。

材料在變動應(yīng)力作用下的缺口敏感性，常用疲勞缺口敏感度qf表征

Kt為理論應(yīng)力集中系數(shù)，可查有關(guān)手冊，Kt>1。Kf為疲勞缺口系數(shù),為光滑試樣和缺口試樣疲勞強度之比，Kf>1，具體值與缺口幾何形狀、材料等因素有關(guān)。1>qf>0

當Kf=1時，qf趨近零，表明材料對缺口完全不敏感，缺口不降低疲勞強度，缺口應(yīng)力集中完全被松弛消除（極端情況）；Kf=Kt時，qf=l，表明材料對缺口十分敏感，缺口應(yīng)力集中完全不能消除（極端情況）。一般說來，qf隨材料強度增高而增大。結(jié)構(gòu)鋼：qf=0.6～0.8；球鐵：qf=0.11～0.25；灰鑄鐵：qf=0～0.05。低周疲勞時，因缺口根部一部分區(qū)域已處在塑變區(qū)，發(fā)生應(yīng)力松弛，降低了應(yīng)力集中，缺口敏感度降低。

五、疲勞裂紋擴展速率及疲勞門檻值

疲勞裂紋擴展速率指的是疲勞裂紋亞穩(wěn)擴展階段的擴展速率。該階段是疲勞過程第Ⅱ階段，是材料整個疲勞壽命的主要組成部分。通常利用三點彎曲切口試樣(TPB)或中心裂紋試樣(CCT)，或緊湊拉伸試樣(CT)預(yù)制疲勞裂紋，在固定應(yīng)力比r及應(yīng)力幅⊿a條件下由實驗測定。通過疲勞裂紋長度測量裝置對每一定循環(huán)周次N測出對應(yīng)的裂紋長度a，直到斷裂為止，作出a和N的關(guān)系曲線，如圖所示。由圖可見，在一定循環(huán)應(yīng)力條件下，裂紋長度a是不斷擴展增長的。若用曲線的斜率da／dN表示疲勞裂紋擴展速率，則該值在裂紋擴展中也是不斷增加的。當裂紋a長大到臨界裂紋尺寸ac時，da／dN無限增大，裂紋將失穩(wěn)擴展，試樣斷裂。裂紋擴展速率da／dN不僅與裂紋長度a有關(guān)，還與應(yīng)力水平有關(guān)。應(yīng)力增加，裂紋擴展加快，a—N曲線向左上方移動，ac相應(yīng)減少。若用斷裂力學(xué)中應(yīng)力場強度因子幅⊿KⅠ的概念，即可將a和⊿σ的影響綜合一起。⊿KⅠ就是裂紋尖端控制疲勞裂紋擴展的復(fù)合力學(xué)參量，并可以建立由da／dN—⊿KⅠ曲線，以研究疲勞裂紋的擴展問題。具體作法是將a—N曲線上各點的da／dN值計算出來，再將相應(yīng)各點的⊿KⅠ值求出，并在雙對數(shù)坐標上描點連接即得lg(da／dN)—lg⊿KⅠ曲線。由圖可見，da／dN和⊿KⅠ的關(guān)系曲線可分為I、Ⅱ、Ⅲ3個區(qū)段。

I區(qū)是疲勞裂紋的初始擴展階段，da／dN值很小，約10－8～10－6mm／周次。從△Kth開始，隨著⊿KⅠ值增加，da／dN快速增高，但因該階段⊿KⅠ值變化范圍很小(裂紋長度a增加很小，僅有數(shù)個晶粒)，所以da／dN增加值有限，占裂紋擴展壽命的比例較小。Ⅱ區(qū)是疲勞裂紋擴展的主要階段，占據(jù)擴展區(qū)的絕大部分，是決定壽命的主要組成部分。該區(qū)的da／dN約為10-5～10-2mm／周次，lg(da／dN)和lg⊿KⅠ呈線性關(guān)系，可用下式表示，稱為Paris公式。式中：C、n為材料常數(shù)，由實驗確定。該區(qū)裂紋擴展進程較快，⊿KⅠ變化范圍較廣，所占擴展壽命較長。Ⅲ區(qū)是疲勞裂紋擴展的最后階段，該區(qū)的da／dN值很高，并隨⊿KⅠ增加而急劇增大，很快導(dǎo)致材料失穩(wěn)斷裂，該區(qū)占裂紋擴展壽命的比例不長。在I區(qū)，隨⊿KⅠ值的降低，da／dN快速降低，當⊿KⅠ值降低至⊿Kth時，da／dN=0，意為疲勞裂紋不會擴展；只有⊿KⅠ>⊿Kth時，才有da／dN>0，裂紋才會擴展。因此⊿Kth代表疲勞裂紋不擴展的⊿KⅠ臨界值，稱為疲勞裂紋擴展門檻值，表征材料阻止疲勞裂紋開始擴展的能力。該值越大，材料的疲勞裂紋開始擴展所受的阻力越大，材料抗疲勞裂紋擴展的能力就越強。應(yīng)特別指出：同為表征材料無限壽命疲勞性能的⊿Kth和σ-1，含義完全不同，σ-1

代表的是光滑試樣的無限壽命疲勞強度，適用于傳統(tǒng)的疲勞強度設(shè)計和校核；⊿Kth

代表的是裂紋試樣的無限壽命疲勞性能，適于裂紋件的設(shè)計和疲勞強度校核。根據(jù)定義，含裂紋件不發(fā)生疲勞斷裂(無限壽命)的校核公式為在⊿Kth、a、⊿σ三參量中，已知其中兩個即可求得第三個。

1、已知裂紋件的原始裂紋長度a和材料的疲勞門檻值⊿Kth、，可求得該件在無限疲勞壽命時的承載能力：該式算出的⊿σ值顯然遠低于光滑試樣的疲勞強度σ-1。2、已知裂紋件的工作載荷⊿σ和材料的疲勞門檻值⊿Kth，即可求得裂紋的允許尺寸a：實際實驗時，很難根據(jù)da／dN=0，確定⊿Kth值。為此，工程上，常規(guī)定在平面應(yīng)變狀態(tài)下，da／dN=10-6～10-7mm／周次時對應(yīng)的⊿KI值為⊿Kth，并稱之為條件疲勞裂紋擴展門檻值。大多金屬材料的⊿Kth值很小，約為(5％～10％)KIc。如鋼，⊿Kth≤9MPa·ml／2；鋁合金⊿Kth≤4MPa·ml／2。

Paris公式雖然簡單實用，但畢竟是經(jīng)驗公式，只適用于低應(yīng)力，低擴展速率(da／dN<10-2