第五章-電容元件及

引言：一、動態(tài)電路分析與電阻電路分析的比較電阻電路動態(tài)電路

組成獨立源,受控源,電阻電感,電容(獨立源,受控源,電阻)特性耗能貯能(電能,磁能)——貯能狀態(tài)第二部分動態(tài)電路分析VCR（代數）(微分、積分)電路方程代數方程微分、積分（一階、二階）電阻電路著重研究過渡過程（暫態(tài)過程）電路中有開關響應恒定激勵時域分析二、動態(tài)電路分析的內容：

1.動態(tài)元件的VCR及貯能、對偶關系2.關于響應的概念和求解：全響應、零輸入響應、零狀態(tài)響應、暫態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應。3.一階恒定激勵的電路分析、初始值的計算；、時間常數的定義及計算、三要素分析法4.二階電路的特點及簡單分析第二部分動態(tài)電路分析第五章電容元件與電感元件第六章一階電路第七章二階電路

§5-1電容元件

§5-2電容的伏安關系

§5-3電容電壓的連續(xù)性質和記憶性質

§5-4電容的貯能

§5-5電感元件

§5-6電感的伏安關系

§5-7電容與電感的對偶性狀態(tài)變量

第五章電容元件與電感元件1.電容元件的特性

重點：2.電感元件的特性5.1電容元件電容器

在外電源作用下，正負電極上分別帶上等量異號電荷，撤去電源，電極上的電荷仍可長久地聚集下去，是一種儲存電能的部件。_+qqU電導體由絕緣材料分開就可以產生電容。注意1.定義電容元件儲存電能的兩端元件。任何時刻其儲存的電荷q

與其兩端的電壓

u能用q～u

平面上的一條曲線來描述。uq庫伏特性o電容元件是實際電容器的理想化模型。圖(c)所描述的電容元件為非時變的線性電容元件；圖(a)所描述的電容元件為時變電容元件；圖(b)所描述的電容元件為非時變的非線性電容元件；

任何時刻，電容元件極板上的電荷q與電壓u成正比。qu

特性曲線是過原點的直線。quo2.線性時不變電容元件電容器的電容

電路符號C＋－u+q-qF(法拉),常用F，pF等表示。

單位1F=106

F1F

=106pF3.電容器的漏電與額定工作電壓++++––––+q–q4.電容器的類別按介質材料分為：云母電容、瓷介電容、紙介電容、有機薄膜電容、電解電容電容器的幾種電路模型5.2電容的伏安關系q=CucCicuc+–+q–q電容的VCR：(設uc，ic取關聯(lián)參考方向)即：電容元件VCR的微分形式(1)ic的大小取決于uc

的變化率，與uc

的大小無關；電容是動態(tài)元件；(3)若uc，ic非關聯(lián)取向，則(2)電容元件具有隔直流通交流的特點。如右圖Cuc+–Euc=E(直流）ic=Cduc/dt＝0直流電路中電容相當于開路。ic=0表明

(微分形式)例1已知C=0.5F電容上的電壓波形如圖所示，

試求電壓電流采用關聯(lián)參考方向時的電流iC(t),并畫

出波形圖。

1.當0st1s時，uC(t)=2t，根據上式可以得到

2.當1st3s時，uC(t)=-2t+4，根據上式可以得到

3.當3st5s時，uC(t)=-8+2t，根據上式可以得到

4.當5st時，uC(t)=12-2t，根據上式可以得到5.3電容電壓的連續(xù)性質和記憶性質電容元件VCR的積分形式從上式可以看出電容具有兩個基本的性質某一時刻的電容電壓值與-到該時刻的所有電流值有關，即電容元件有記憶電流的作用，故稱電容元件為記憶元件。結論:記憶性質一、電容電壓的記憶性質初始值研究某一初始時刻t0

以后的電容電壓，只需要知道t0時刻開始作用的電流i

和t0時刻的電壓u（t0）。③上式中u(t0)稱為電容電壓的初始值，它反映電容初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態(tài)。

例2

C=0.5F的電容電流波形如圖(b)所示，試求電容

電壓uC(t)。解：根據圖(b)波形的情況，按照時間分段來進行計算1．當t0時，iC(t)=0，根據式可以得到2．當0t<1s時，iC(t)=1A，根據式可以得到3．當1st<3s時，iC(t)=0，根據式可以得到4．當3st<5s時，iC(t)=1A，根據式可以得到5．當5st時，iC(t)=0，根據式可以得到根據以上計算結果，可以畫出電容電壓的波形如圖(c)所示，由此可見任意時刻電容電壓的數值與此時刻以前的全部電容電流均有關系。

例如，當1s<t<3s時，電容電流iC(t)=0，但是電容電壓并不等于零，電容上的2V電壓是0<t<1s時間內電流作用的結果。圖7-9例3圖(a)的電路可計算脈沖數目，圖(b)為相應的電路模型，如圖(c)所示，脈沖寬度為1us當=9.9V時有多少個脈沖作用于電路，畫出波形。解：∵∴＋Uc－V(V)0.099V2×0.099V3×0.099V從例的計算結果可以看出，電容電流的波形是不連續(xù)的矩形波，而電容電壓的波形是連續(xù)的。從這個平滑的電容電壓波形可以看出電容電壓是連續(xù)的一般性質。即電容電流在閉區(qū)間[t1,t2]有界時，電容電壓在開區(qū)間(t1,t2)內是連續(xù)的。這可以從電容電壓、電流的積分關系式中得到證明。

將t=T和t=T+dt代入式中，其中t1<T<t2和t1<T+dt<t2得到

實際電路中通過電容的電流

i

為有限值，則電容電壓u必定是時間的連續(xù)函數。tu0結論:連續(xù)性質*電容電壓不能躍變二、電容電壓的連續(xù)性對于初始時刻t=0來說，上式表示為＊t=0，0-，0+的意義0t0-0+開關動作所引起的電路變化稱為換路0－表示換路前瞬間；0＋表示換路后瞬間；0表示正在換路。uc(0+)=uc(0-)（換路定律）例4圖所示電路的開關閉合已久，求開關在t=0時刻

斷開瞬間電容電壓的初始值uC(0+)。解：開關閉合已久，各電壓電流均為不隨時間變化的恒定

值，造成電容電流等于零，即利用電容電壓的連續(xù)性，可以確定電路中開關發(fā)生作用后一瞬間的電容電壓值。電容的等效電路設電容的初始電壓等效+-ucuC(t0)=U0iC+-U0uciCuC

(t0)=05.4電容的功率和儲能當電容充電，p>0,

電容吸收功率。當電容放電，p<0,電容發(fā)出功率。

功率u、i取關聯(lián)參考方向

電容的儲能從t0到t

電容儲能的變化量：電容的儲能只與當時的電壓值有關，電容電壓不能躍變，反映了儲能不能躍變；電容儲存的能量一定大于或等于零。表明例5＋－C0.5Fi求電容電流i、功率P(t)和儲能W(t)21t/s20uS/V電源波形解uS(t)的函數表示式為:解得電流21t/s1i/A-1021t/s20p/W-2吸收功率發(fā)出功率21t/s10WC/J電容能在一段時間內吸收外部供給的能量轉化為電場能量儲存起來，在另一段時間內又把能量釋放回電路，因此電容元件是儲能元件，它本身不消耗能量。表明21t/s1i/A-1若已知電流求電容電壓，有0i(t)+-u(t)電感線圈

把金屬導線繞在一骨架上構成一實際電感線圈，當電流通過線圈時，將產生磁通，是一種抵抗電流變化、儲存磁能的部件。(t)＝N(t)N匝磁鏈，單位：韋伯（Wb)5.5電感元件(inductor)如圖電感線圈，當線圈中通以電流i(t)時，建立起磁通。1.定義電感元件儲存磁能的兩端元件。任何時刻，其特性可用～i

平面上的一條曲線來描述。i韋安特性o

電路符號+-u(t)iL線性電感元件：電感元件的磁鏈與電流iL成正比。（如：空心線圈）電感的大小由線圈的匝數、幾何形狀、尺寸及其芯材料的磁導率等因素決定。非線性電感元件：電感元件的磁鏈與電流iL不成正比。（如：鐵芯線圈）

任何時刻，通過電感元件的電流i

與其磁鏈

成正比。~i

特性為過原點的直線。2.線性時不變電感元件io電感器的自感H(亨利)，常用H，mH表示。

單位1H=103

mH1mH

=103

H3.電感器與額定工作電流電感器的幾種電路模型對于線性電感，設uL,iL取關聯(lián)參考方向:自感電壓：5.6電感的伏安關系LiLuL+–根據電磁感應定律與楞次定律電感元件VCR的微分關系i+–u–+e(1)uL的大小取決于i

L的變化率，與iL的大小無關。(2)電感元件是動態(tài)元件。當iL為常數(直流)時，diL/dt=0uL=0。電感在直流電路中相當于短路線。(3)uL，iL為非關聯(lián)方向時，uL=–LdiL/dt。LiLuL+–表明例1電路如圖(a)所示，已知L=5H電感上的電流

波形如圖(b)所示，求電感電壓u(t),并畫出波形

圖。圖例2.當0t3s時，i(t)=2103t，根據式可以得到解：根據圖(b)波形的具體情況，按照時間分段來進

行計算1.當t0時，i(t)=0，根據式可以得到3.當3st4s時，i(t)=24103-6103t，根據式可以得到4.當4st時，i(t)=0，根據式可以得到根據以上計算結果，畫出相應的波形，如圖(c)所示。這說明電感電流為三角波形時，其電感電壓為矩形波形。電感元件VCR的積分關系電感電流的連續(xù)性質和記憶性質從上式可以看出電感具有兩個基本的性質。表明某一時刻的電感電流值與-到該時刻的所有電流值有關，即電感元件有記憶電壓的作用，電感元件也是記憶元件。研究某一初始時刻t0

以后的電感電流，不需要了解t0以前的電流，只需知道t0時刻開始作用的電壓u

和t0時刻的電流i（t0）。一、電感元件是一種記憶元件③上式中i(t0)稱為電感電壓的初始值，它反映電感初始時刻的儲能狀況，也稱為初始狀態(tài)。例電路如圖(a)所示，已知L=0.5mH的電感電壓波

形如(b)所示，試求電感電流。解：根據圖(b)波形，按照時間分段來進行積分運算1.當t<0時，u(t)=0，根據式可以得到2.當0<t<1s時，u(t)=1mV，根據式可以得到3.當1s<t<2s時，u(t)=-1mV，根據式可以得到4.當2s<t<3s時，u(t)=1mV，根據式可以得到5.當3s<t<4s時，u(t)=-1mV，根據式可以得到從電感電壓、電流的積分關系式可以看出,電感電壓在閉區(qū)間[t1,t2]有界時，電感電流在開區(qū)間(t1,t2)內是連續(xù)的。二、電感電流的連續(xù)性（換路定律）iL(0+)=iL(0-)即：電感電流不能突變。實際電路中電感的電壓

u為有限值，則電感電流i不能躍變，必定是時間的連續(xù)函數.利用電感電流的連續(xù)性，可以確定電路中開關發(fā)生作用后一瞬間的電感電流值。例圖(a)所示電路的開關閉合已久，求開關在t=0斷

開時電容電壓和電感電流的初始值uC(0+)和iL(0+)。解：由于各電壓電流均為不隨時間變化的恒定值，電感相

當于短路；電容相當于開路，如圖(b)所示。此時當開關斷開時，電感電流不能躍變；電容電壓不能躍變。電感的等效電路設電感的初始電流為abil（t）Lil（t0）=I0u（t）+-abil（t）Lil（t0）=0u（t）+-il（t）（b）（a）功率：>0,表吸收功率,轉化為磁場能儲存起來，本身不耗能。<0,表產生功率,即釋放所儲存的磁場能。電感的貯能電路的狀態(tài)一、貯能公式注：電感是非耗能元件，它本身不消耗能量，而是起存儲轉換磁場能的作用。電感的儲能只與其電流iL有關，與其電壓無關。某時刻t電感的儲能：即：二、電路狀態(tài)例電路如圖(a)所示，電感和電容無初始貯能，如圖(b)所示，求和，并畫出波形。vv5.7電路的對偶性(R1+R2)im=us(G1+G2)un=isR2+–usimR1G1G2unis電阻R電壓源us網孔電流imKVL串聯(lián)網孔電導G電流源is節(jié)點電壓unKCL并聯(lián)節(jié)點對應元素互換，兩個方程可以彼此轉換，兩個電路互為對偶。（或陳述）S成立，則將S中所有元素，分別以其對應的對偶對偶原理：兩個對偶電路N，N，如果對電路N有命題元素替換，所得命題（或陳述）S對電路N成立。對偶關系基本定律

U=RI

I=GU

U=0I=0分析方法

網孔法節(jié)點法對偶結構

串聯(lián)并聯(lián)網孔節(jié)點

△

Y

對偶狀態(tài)

開路短路對偶元件

RGLC

對偶結論開路電流為零，短路電壓為零；理想電壓源不能短路，理想電流源不能開路；戴維南定理，諾頓定理；電容元件與電感元件的比較：電容C電感L變量電流i磁鏈關系式電壓u電荷q

iL(0+)=iL(0-)uc(0+)=uc(0-)換路定理直流穩(wěn)態(tài)電容開路電感短路在動態(tài)電路的諸電壓、電流變量中，電容電壓uc（t）和電感電流il（t）占有特殊重要的地位，他們是電路的狀態(tài)（state）變量。在電路及系統(tǒng)理論中，狀態(tài)變量是指一組最少的變量，若已知它們在t0時的數值（初始狀態(tài)），則連同所有在t>t0時的輸入就能確定在t>t0時電路中的任何電路變量，電容電壓uc（t）和電感電流il（t）是符合這一定義的。全面地論述狀態(tài)變量分析法已超出本書的范圍，但本書將在隨后的動態(tài)電路分析問題中把電容電壓和電感電流作為主要的分析對象。小結1．線性時不變電容元件的特性曲線是通過u-q平面坐標原點的一條直線，該直線方程為